第二章-极限与连续高等数学

第二章极限与连续,本章主要向大家介绍以下几方面内容：,一、数列的极限,三、变量的极限,五、极限的运算法则,六、两个重要极限,七、函数的连续性,二、函数的极限,四、无穷大量和无穷小量,幻灯片86,幻灯片72,幻灯片67,幻灯片80,2010英语本科群：100370989,设函数yn=f(n),其中n为正整数,简单地说：数列就是定义在正整数集合上的函数,一、数列的极限,数列,第一张幻灯片,-单调减少,-单调增加,-有界但不单调,例,前面三个数列当n无限增大时的极限可分别表示为,显然，数列yn无限地接近于1，可用数列yn与1之差的绝对值可以任意地小来描述.,如果用符号e表示任意小的正数，那么就可用|yn-1|e表示.,于是数列yn的极限现象可表述为：当n无限变大时，就有|yn-1|N时，曲线y=f(x)一定落在这两条直线之间.,当x1时，,趋向于什么？,当时，函数的极限,显然有,f(x)在当x1时是否有极限与在X=1点处是否有定义无关,和,定义：如果当x无限接近于x0时，恒有|f(x)-A|e(e是任意小的正数),则称当自变量x趋于x0时，函数f(x)趋于A，记作,A-ef(x)A+e,A,A+e,A-e,y=f(x),x0-d,x0+d,x0,不论它们之间的距离有多么小.只要x进入,是指：当0|x-x0|d时，恒有|f(x)-A|e.即,作两条直线：y=A-ey=A+e,的d邻域内，曲线y=f(x)就会落在这两条直线之间.,几何意义,当自变量x从不同方向趋于x0时，函数f(x)趋向于A的极限，,此时称A是函数f(x)的单侧限。,-右极限,-左极限,例1试求函数,解:,函数f(x)在x=0处左、右极限存在但不相等，,所以不存在.,函数f(x)在x=1处左、右极限存在而且相等，所以有,例2,解,例3,解,解,例4设函数求,例2,3和4说明了下列几种重要现象：,(1)函数f(x)在x0处极限存在，但函数f(x)在x0处可以没有定义(如例2).,(2)函数f(x)在x0处虽然有定义，且在x0处有极限，但两者不等，,(3)函数f(x)在x0处有定义，也有极限且两者相等.,若xx0(或x)时，函数f(x)的极限存在,则函数f(x)在x0的一个空心小邻域内(或|x|充分大范围内)有界.,设变量在变化过程中无限地趋于一个常数A，就称该变量以A为极限，记作,三、变量的极限,变量y若为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极限符号下面要写明所研究的变量的自变量的变化过程.,第一张幻灯片,返回本章目录,四、无穷小量与无穷大量,第一张幻灯片,无穷大量,如果,，则称变量,是在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。,无穷小量,以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小即,，常用,等表示。,如果变量,以A为极限的充分必要条件是变量,可以表示为A与无穷小量,之和，即,定理,在相同的变化趋势下有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量（常数与无穷小量之积仍是无穷小量）。两个无穷小量的代数和仍是无穷小量（可推广）。两个无穷小量之积仍是无穷小量（可推广）,定理,例,为有界函数，,证,例,无穷大量与无穷小量的关系,在变量,的变化过程中，如果,是无穷大量，则,是无穷小量；,是无穷小量，则,是无穷大量。,无穷小量阶的比较,定义：,例,极限的运算法则,定理:在某一变化过程中，若,幻灯片1,故由无穷小量的定理可推得,lim(xy)=AB=limxlimy,证,(2)因为,xy=(Aa)(Bb),=AB(AbBaab),因为Ab,Ba，ab均为无穷小量，所以,商的极限运算法则的证明从略.,lim(xy)=AB=limxlimy,推论1,limcy=climy,推论2,求极限,例,m、n为正整数。,为常数,证,求极限,例,分别讨论当,时，,的极限是否存在，并求,练习,解：,练习,即,所以当x1时,为无穷大量，,解,练习,解,练习,练习求极限,（无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量）,例,极限存在准则,在某个变化过程中，三个变量,总有关系,，且,准则1：夹值定理,证明,证明：,准则2：单调有界定理,单调有界数列一定有极限,定义,(1),是单调增加数列，且,，所以有,(2),是单调减少数列，且,，所以有,例,幻灯片1,两个重要极限,幻灯片1,AOB面积扇形AOB面积0f(1)=-20,因此至少存在一点c(01)，使得f(c)=0