浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法

浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法 云南省曲靖市宣威市羊场镇初级中学 张荣芝【摘要】 解二元一次方程组最常用的方法是代人法和加减法，但对于一些特殊的二元一次方程组，若能根据方程组的特征，灵活运用一些技巧，不仅可以简化解题过程，而且有助于培养同学们的创新意识。【关键词】二元一次方程组 巧解 创新意识 加减法 二元一次方程组的解题思路就是消元，通过消元把二元转化为一元。消元分代入消元法和加减消元法，这是解二元一次方程组的基本方法。解题时常遇到一些特殊形式的方程（组），它们结构巧妙而富有规律性。此时应仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种规律，联想一些解题方法与技巧，往往能避免常规解法带来的繁杂运算，找到较为简便的解法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。一、 整体代入法 例1 解方程组解：原方程组可变形为继续变形为 2 x3y+2 x=5 2 x3y=1（2）代入（1）得： 解得： 方程组的解为再如： 2ab3 (1) 3ab4 (2)解： （2）式变形为（2ab）a4 (3) 把（1）代入(3)得 3a4 a1 把a1代入（1）得b1 原方程组的解是 a1 b1二、直接加减法 a x+bym当方程组中未知数的系数具有轮换特点时，即类似于 bx + ay=n 的形式，可以直接将两个方程相加、减，反复两次，然后联立得到新方程，从而巧妙地迅速求解，我们称之谓反复加减法例2 解方程组 4x3y3 (1) 3x4y4 (2)解： （1）（2）得 7x7y7 xy1 （3） (3)（2）得 xy1 (4) 由（3），（4）得x 0 x 0 y1再如：可用此种方法快速求解三、整体叠加法例3 解方程组分析：两个方程的第一项未知数、的系数相同，并且都含有的倍数，故可将视为一个整体，把两方程相加，先求出的值，尔后将的值分别代入两方程即可得解解：（1）+（2）得3(x+y)+9(x+y)=72 x+y=6（3）把（3）代入（1）（2）得3x+30=36 x=2 3y+24=36 y=4所以原方程组的解为 x2 y4四、消常数项法例4 解方程组2x5y3 （1）4xy3 （2）解： （1）（2）得6x6y0 化简得xy （3）把（3）代入（1）得y1 把y1代入（1） 得x1所以原方程组的解为 x1 y1再如：解方程组五、设参数代入法 例5 解方程组 x3y2（1）x:y=4:3（2）解：由（2）得： 设，则x=4k,y=3k(3) 把（3）代入（1）得： 解得： 把代入（3），得： 所以原方程组的解是六、换元法所谓换元法，就是把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代换，从而达到简化式子的目的。例6 解方程组分析：从该方程组的特点可以看出，把各视为一个整体，利用换元法较为简捷。解：设2x3ya, 2x3yb 则原方程组可变形为3a+4b84 2a+3b48解得 a60b-242x3y=60 x9代入得 2x3y-24 解得这个方程组，得 y14用换元法解方程组可化繁为简，不仅可减少运算量，还可以又快又准地解出方程。七、对称方程组的解法例7 解方程组 x5y712y5x712分析：观察方程组不难发现，把期中任意一个方程中的两个未知数互换位置，得到的方程恰为另一个方程。不难验证，在这种情况下将原方程组中任一方程与yx联立求得的解即为原方程组的解。解： 原方程组与下列方程组的解相同 x5y712 （1）yx （2）把（2）代入（1）得x35， 把x35代入（2）得y35所以原方程的解为x35 y35八、简化系数法例8 解方程组 4x3y=3(1)3x4y=4(2) 解：( 1)(2)得：7x7y=7 所以xy=1(3) (1)(2)得： x+y=1(4)由(3)(4)得：其实解二元一次方程组的方法远远不止以上几种，有些二元一次方程组有特殊的结构，选择适当的方法可以使方程组的求解变得简单易