《极限的概念全》PPT课件

第一章函数极限连续,第二节极限的概念,一、数列的极限,二、函数的极限,三、无穷大量,定义设函数un=f(n),其中n为正整数,一、数列的极限,若存在一个常数M0，使得|un|M(n=1,2,)恒成立，,或存在两个数M和m，使得munM(M称为上界,m称为下界)，,若数列un满足unun+1(n=1,2,)或unun+1(n=1,2,)则分别称un为单调递增数列或单调递减数列，,则称数列un为有界数列，或称数列有界；,这两种数列统称为单调数列.,例如un:,为单调递减数列;,为单调递增数列；,是有界数列，但不是单调数列.,又如,而,前面三个数列都有一种共同的现象，即当n无限变大时，它们都无限地接近于1，这就是极限现象.,显然，数列un无限地接近于1，可用数列un与1之差的绝对值可以任意地小来描述.,如果用符号e表示任意小的正数，那么就可用|un-1|e表示.,于是,数列un的极限现象可表述为：当n无限变大时，就有|un-1|e.,一般地，当n无限变大时，数列un无限接近于一个常数A的极限现象可定义如下：,定义如果当n无限变大时，数列un与A之差的绝对值小于任意小正数e，即|unA|N就表示了这个意思，N表示了n无限变大的程度，,恒有|unA|N时，点un都落在点A的e邻域内，而不管e有多么小(如图)，,形象一点讲，数列un会密集在点A的周围.,A,A-e,A+e,uN+1,uN+2,如果把数列un中每一项都用数轴Ox上一个点来表示，那么数列un趋向于A可解释为:,定理若数列收敛，则数列有界.,并非所有数列都是有极限的，,例如,当n时,它们均不与一个常数A无限接近，所以这些数列没有极限,没有极限的数列称为发散数列或称数列发散.,二、函数的极限,当x无限接近于1时，,显然，当x1时,趋向于什么？,函数,一般地，当x无限接近于x0时，函数f(x)趋向于A的定义如下：,定义如果当x无限接近于x0时，恒有|f(x)-A|e(e是任意小的正数)，,则称当自变量x趋向于x0时，函数f(x)趋向于A，记作,几点说明：,(1)与数列极限相似，f(x)趋向于A的过程中，可以有大于A的，可以有小于A的，也可以有等于A的.,(2),x是不能等于1的，因为x=1处函数没有定义.一般地，在自变量xx0过程中是不能等于x0的.,(3)自变量xx0也可以用不等式表示.,如果用d记作充分小的正数.那么x无限接近x0，可由x0的d空心邻域表示，即0|x-x0|d.d表示x与x0接近的程度.,这样，,就是指，当0|x-x0|d时恒有|f(x)-A|e.,A-ef(x)A+e,(4)几何解释.,A,A+e,A-e,y=f(x),x0-d,x0+d,x0,不管它们之间的距离有多么小.只要x进入U(,是指：当0|x-x0|d时，恒有|f(x)-A|N(N是充分大的正数)时，恒有|f(x)-A|N时，曲线y=f(x)落在这两条直线之间.,前者是指当-x无限变大时，f(x)趋向于A，,而后者是指,例如,例3,解,例4,解,解,例5,例3,4和5说明了下列几种重要现象：,(1)函数f(x)在x0处极限存在，但函数f(x)在x0处可以没有定义(如例3).,(2)函数f(x)在x0处虽然有定义，且在x0处有极限，但两者不等，,(3)函数f(x)在x0处有定义，也有极限且两者相等.,定理若xx0(或x)时，函数f(x)的极限存在,则函数f(x)在x0的一个空心小邻域内(或|x|充分大范围内)有界.,三、无穷大量,若函数y=f(x)的绝对值|f(x)|在x的某种趋向下无限增大，则称y=f(x)为在x的这种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.,当xx0时，f(x)为无穷大量，