理论力学教学材料8动力学普遍定理

1,第八章动力学普遍定理,2,动力学,实际上的问题是：1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究质点系整体的运动情况。,动力学普遍定理概述,对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。,对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程，联立求解它们即可。,从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。,3,动力学,它们以简明的数学形式，明确的物理意义，表明两种量一种是运动特征量(动量、动量矩、动能等)，一种是力的作用量(冲量、力矩、功等)之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷。,本节及下一节中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理。,8-1动量定理,4,动力学,1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积：,动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。,例：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。,矢量，瞬时量，方向与相同。单位：kgm/s。,2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。,质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。,一、动量,动量沿直角坐标轴的分解式：,5,动力学,例曲柄连杆机构的曲柄OA以匀转动，设OA=AB=l,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆,质量各为m,滑块B的质量也为m。求当=45时系统的动量。,6,动力学,的大小：,方向：,7,2力是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量：冲量：,1力是常矢量：,动力学,二冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。,8,动力学,3合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和,矢量，累积量。,9,三动量定理,1质点的动量定理,质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力,即：在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量。,动力学,质点的动量定理,微分形式：,（动量的微分等于力的元冲量）,积分形式：,由微分形式：,积分：,10,投影形式：,2质点系的动量定理,质点系的动量定理,动力学,对整个质点系：,对质点系内任一质点Mi，,内力,外力,对x、y轴同样有。,微分形式：,11,质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。,质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。,动力学,由微分形式：,积分形式：,12,动力学,内力不能改变整个质点系的动量，只有外力才能改变质点系的动量（如：力大无穷的大力士不能举起自己，在车箱内无论用多大的力推车箱，车箱的运动都不会改变），但内力可以改变质点系中质点的动量（如炮弹爆炸后弹片的运动）。,由定理知：,13,动力学,在自然界中，大到天体，小到分子、原子等基本微粒间的相互作用，都遵守动量守恒定理，它是自然界中最重要最普遍的客观规律之一。例如：枪、炮的“后坐”，火箭、喷气飞机的反推，螺旋桨的反推等。,质点系的动量守恒若则常矢量。若则常量。,14,*例2质量为M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。,动力学,解：,选两物体组成的系统为研究对象。,受力分析，,由水平方向动量守恒及初始静止；则,15,运动分析，设经过时间后，流体AB运动到位置ab，,例3流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，密度为(kg/m3）。,动力学,解：,取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。,受力分析如图示。,由质点系动量定理；得,16,动力学,即,静反力,（附加）动反力,（附加）动反力：,计算时，常采用投影形式,与相反的力就是管壁上受到的流体作用的附加动压力,例如：水从水枪中以v1=60m/s的速度沿水平方向射向固定叶片上，已知水柱的横截面积s=10cm2，水的密度=103kg/m3，,17,动力学,不计水柱自重，求叶片所受的力。,解（1）研究对象：水柱,（2）受力图,（3）求水柱所受约束反力,水柱横截面积不变，水流量：,水柱对叶片的压力与、大小相等、方向相反。,18,动力学,例4小车重G1=2kN，车上的箱中装砂，箱、砂共重G2=1kN；车与箱以3.5km/h的速度在光滑直线道路上前进。现有一重G3=0.5kN的重物铅直落入箱中。求此后小车的速度；若设重物落入箱中后箱在小车上滑动0.2s才与车面相对静止，求车面与箱底间的平均摩擦力。,解：求重物落入后车的速度,以重物、车、箱、砂为研究对象,设重物落入后车、箱共同速度为v，则：,19,动力学,求箱底与车面间的摩擦力,以小车为研究对象：,小车在0.2s内速度由v0v，由,注意：速度单位应用m/s,20,动力学,8-2质心运动定理,一.质点系的质量中心（简称质心）,质点系的质心是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。,设有n个质点组成的质点系，取固定点O，则由矢径,确定的点称为质点系的质心。,M=mi质点系的总质量,以O点为原点建立直角坐标系，则质心坐标：,21,动力学,质点系运动时，xi、yi、zi是变量，因而xC、yC、zC一般也是变量；,在重力场中，质心与重心是重合的（将mi=Wi/g代入上式即得重心坐标公式），但质心的概念比重心更广泛，在非重力场，重心无意义，但质心存在。,由有：,两边对时间t求导：,22,将代入到质点系动量定理：,若质点系质量不变，,则或,动力学,上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1.投影形式：,直角坐标轴：,自然轴：,二.质心运动定理,23,2.质心运动定理是动量定理的另一种表现形式。任何一个质点系质心的运动与一个质点的运动相同，这质点的质量等于质点系的总质量，这质点的受的力等于质点系所受外力。,动力学,3.由定理知：,（1）质点系的内力不能改变质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。如：汽车在绝对光滑的路面上，运动的汽车不能停止，静止的汽车不能运动；炮弹爆炸成若干碎片，到第一块弹片落地之前，其质心的运动仍作与爆炸前一样的抛物线运动；跳水运动员、体操运动员无论在空中如何滚翻、转体，其质心运动的轨迹总是一条确定的抛物线。,24,动力学,（2）内力虽不能改变质心的运动，但可以改变质点系中质点的运动，如前例中的汽车、炮弹、运动员。,（3）应用质心运动定理不需考虑内力，使问题简便。,4.质心运动定理解决的问题,（1）已知质点系质心的运动，求作用在质点系上的外力；,（2）已知作用在质点系上的外力，求质点系质心的运动（运动方程、速度、加速度）,意义：质点系的复杂运动可以看成是随质心的运动与相对质心的转动，应用质心运动定理求解质心的运动。,25,动力学,5.质心运动守恒定理,（1）若，则常量即：如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则质心作惯性运动。,（2）若Xie0，则acx=0，vcx=常量即：如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变（质心沿该轴作惯性运动）,又若vcx=常量=0，则xc=常量，即质心在该轴的坐标保持不变。例如：人和船静止于水面上，若不计水的阻力，则人在船上走，船会向相反的方向运动。,26,解:（1）研究对象：压实机（质点系）,动力学,例5图示压实机：机壳、机座共重P；始终处于对称位置的两偏心锤均重G，偏心距e，以匀相向转动。求压实机给地面的压力。,（2）受力图,（3）建立图示坐标系，并设h、H，则,x,y,h,H,（4）建立质心运动微分方程,27,动力学,x,y,h,H,压实机给地面的压力,讨论：,压力包括：,静反力P+2G,（附加）动反力,动反力为周期力，它引起振动。要消除振动，就要消除偏心。,此题也可用动量定理求解。,28,动力学,例6图示振捣器，机身A质量M，偏心块B质量m，偏心距e，B以匀绕铅直轴z转动，求机身的在水平面内的运动。,解：（1）研究对象：机身、偏心块组成的质点系。设开始时系统静止。,（2）受力图,质心运动守恒，故以质心c为原点建坐标系，则xc=0，yc=0,x,y,c,设c1点（代表机身）坐标：x1，y1，则,29,动力学,由此得：,机身沿x、y两个方向座简谐振动，振幅，圆频率，c1点的轨迹是一个圆心在c点半径为的圆。,30,动力学,例7曲柄滑道机构，已知F、M、OA=l、（常量），均质曲柄OA重G1、滑块A重G2、滑道重G3，接触处光滑，求点O处的反力。,解：方法一：用质心运动定理求解,（1）研究对象：整体,受力图,建立图示坐标系，设C3到A点的水平距离为a，则,a,31,动力学,建立质心运动微分方程,求并代入上式（常量a求导后为零），得,a,能不能求出YO？,（2）以曲柄OA（带滑块）为研究对象（步骤同前）,32,动力学,由质心运动定理：,求并代入上式，得,33,动力学,方法二：用动量定理求解,（1）研究对象：整体,受力图,建立图示坐标系，计算动量：,以A点为动点，滑道为动系，则,34,动力学,由动量定理,（2）以曲柄OA（带滑块）为研究对象，可求YO,35,解（1）研究对象：起重船、起重杆和重物组成的质点系。,动力学,例8