第七章-两种常用的概率分布

第七章两种常用概率分布,第一节概率第二节二项分布第三节正态分布习题与思考题,第一节概率,一、事件及事件的概率1、随机事件2、事件的概率3、小概率事件二、概率的两个基本法则1、加法法则2、乘法法则,1.随机事件：在同样条件下，反复多次进行同一试验，或多次观测同一现象，所得结果并不完全一样，在每次试验或观测之前不能确切预料将出现什么结果，这样的现象叫做随机现象。随机现象有三个特点：第一、其结果至少有两个；第二、至于那种结果出现，人们事先并不知道；第三，在相同条件下反复观察或试验，呈现出一定的规律性。随机现象发生的每一个结果，叫做一个随机事件，简称事件。常用大写字母A、B、C表示。如检查一批零件的合格率，随机取出10，结果可能是“没有次品”，可能是“有一个次品”，也可能是“有两个次品”，等等。其中每一个结果都是一个事件。此外，“次品数不多于4个”、“次品数在5与10之间”等结果也都是事件。,一、事件及事件的概率,在上述这些事件中，把“没有次品”、“有一个次品”、“有两个次品”、“有10个次品”，叫做基本事件（不能分解为其他事件的最简单事件）；而把“次品数不多于4个”、“次品数在5与10之间”等叫做复合事件（由若干个基本事件复合而成）。一般来说，在试验条件下必然发生的结果叫做必然事件。在试验条件下不可能发生的结果叫做不可能事件。为研究问题的方便，它们均被看成随机事件的特例。,2.事件的概率,（1）频率频率的稳定性说明随机事件发生的可能性的大小是随机事件所固有的一种属性。（2）先验概率(古典概率)理论概率试验的各种可能结果（基本事件）是有限的；各种可能结果发生的可能性不变。具有这两个特点的试验叫古典型试验。设试验的一切基本事件有n个，而事件A所包含的基本事件有k个，则事件A的概率定义为(A),例1,袋内装有五个白球、三个黑球，从中任意取两个，计算取出的两个球都是白球的概率。解：组成试验的基本事件总数n，组成所求事件A（取到两个白球）的基本事件数k,故有,（3）经验概率（频率方法）估计值,若在n次重复试验中，事件A发生了m次，则称为事件A发生的频率。一个事件的频率不是一个固定的常数，这是因为在n次试验中，该试验发生的次数m不是一个固定的常数，它可以随机地取0、1、2、n中的任何一个值。但在试验的多次重复中，频率具有稳定性。下面的试验结果可说明这一点。,历次统计学家抛掷硬币的试验结果,从表中数字容易看出，“出正面”的频率总在附近波动，而且近似等于。在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定的在某一常数P附近上下波动。且n越大，波动幅度越小，当试验次数趋于无穷时该事件发生的频率会于常数相等，则称常数P为事件A的概率，记作P（A）。这一定义一般称为概率的统计定义，它适用于一切类型的试验。对于概率的这一定义，显然有：（1）对于任何事件A，总有0P（A）1（2）若U为必然事件，则P（U）1。（3）若V为不可能事件，则P（V）0。,频率是大量试验的结果，是一个随试验次数变化而变化的数值，是事件发生的外在表现，是一个变量。概率是一个确定值，体现了事件发生的内在实质，是一个常量。,4、小概率事件统计推断依据的基本原理,如果某一事件发生的概率很小，即在多次重复试验的情况下，发生的概率小于0.05，则称其为小概率事件。小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，这是在统计推断时所依据的基本原理。,二、概率的两个基本法则,1、加法法则概率具有可加性若事件A和事件B是两个互不相容的随机事件，则事件A与事件B之和的概率等于这两个事件分别发生的概率的和。即P（AB）P（A）P（B）,互不相容事件是指事件A与事件B不可能在一次试验中同时发生，A发生，B必然不能发生，反之亦然。两事件和的概率是指两事件中有一个发生，则第三件事（AB）发生的概率(A发生或B发生)。,假定试验做了N次，事件A发生了K次，事件B发生了L次，由于事件A与事件B互不相容，因此事件（AB）发生了KL次。当试验次数无限多时，频率就分别是事件A、B和事件（AB）的概率。因此有P（AB）P（A）P（B）上面结果可以推广到有限多个事件的情况，即如果事件A1、A2、A3、Am是m个两两互不相容的事件，则有P（A1A2A3Am）=P（A1）P（A2）P（Am）,例2某幼儿园中班有122名幼儿，其中朝鲜族幼儿10人，回族6人，蒙族3人，其余是汉族学生，若从中班幼儿中随机抽取一个孩子，问抽到少数民族的孩子的概率是多少？解：设A、B、C分别表示朝鲜族、回族和蒙族孩子三个事件，而ABC则表示少数民族孩子这一事件，在122名孩子中随机抽取一个孩子恰是少数民族学生的概率是P（ABC）P（A）P（B）P（C）0.156,对立事件,如果在一次试验中结果只有两种情况，且这两种结果是互不相融事件，这样的必有一个发生的互不相融事件称为对立事件。,2、乘法法则两个事件同时发生的概率,若事件A和事件B是相互独立的，那么这两个事件之积的概率等于这两个事件分别发生的概率的积。即P（AB）P（A）P（B）,相互独立事件是指其中任何一个事件发生与否，都不影响另一个事件发生的可能性。而两个事件之积的概率即是两个事件分别发生的概率的积适用于几种情况组合的概率。,例3某校二年级共有学生90人，其中一班有学生48人，二班有学生42人，在一次语文考试中，共有70人在80分以上。假如两班学生学习成绩是均衡的，那么从全年级随机抽取1名得80分以上而且是二班学生的概率是多少？,解：设A和B分别表示80分以上和二班这两个事件，由于A和B是独立的，因此这个问题的解决符合概率的乘法法则。随机抽取一个学生，抽到80分以上而且是二班学生的概率就是A、B两个事件同时发生的概率P（AB），由于P（A），P（B）所以P（AB）P（A）P（B）0.36从全年级随机抽取1名学生，抽得80分以上而且是二班学生的概率是0.36。,练习,1、某考生对所考知识一无所知，完全凭猜测回答3道是非题。问该生答对一题的概率有多大？2、一份10道四选一的试卷，考生完全凭猜测得满分的可能性有多大？如果每对一题得1分，该考生凭猜测得7分以上的可能性有多大？3、有一批产品共100件，其中95件是正品，5件是次品。现从中抽取10件样品，恰有2件是次品的概率。,第二节二项分布,一、二项分布的概念（一）二项试验（二）二项分布二、二项分布的平均数和标准差三、二项分布的应用,第二节二项分布,一、二项分布的概念教育研究中常用的一种离散型随机变量的概率分布。（一）二项试验凡满足下列条件的试验称为二项试验，即：（1）任何一次试验的结果只有两种可能，成功或失败，A与，如判断正误题、选择题、掷硬币等。（2）若成功的概率为p，失败的概率为q，则p+q=1。（3）每次试验中成功或失败的概率不变，即成功的概率在第一次试验中为p，则在第n次试验中的概率也是p。（4）各次试验结果相互独立，即各次试验之间互不影响。,在教育研究中属于二项试验的事例很多。例如，某小学男教师人数占3/5，从中随机抽取5名教师（有放回抽取），每抽一个教师就相当于做一次试验，共做5次试验。每抽一个教师只有男、女两种可能结果，前一次抽到男或女与后一次抽到男或女没有关系，每次抽到男教师的概率都是3/5。,二项分布就是二项试验中各种可能结果的概率分布（A事件出现各种可能结果的概率分布，k+1）。二项分布可以用次方的二项展开式来表达，二项分布中事件出现次的概率与二项展开式的各项相对应。下面用回答是非题的例子来研究二项分布与二项展开式之间的关系。当学生完全凭猜测回答两道是非题时，其可能结果有三种：全猜对、一对一错、全猜错，一对一错又有两种情况：第一道题对第二道题错、第一道题错第二道题对。若猜对事件为A，猜错事件为B，则全猜对的概率为：一对一错的概率为：,（二）二项分布,全错的概率为即可见，学生做两道是非题，做对不同题目数量的概率分布可用二次二项式来表达。当学生凭猜测回答三道是非题时，可能结果有四类：全猜对、猜对两道错一道、猜对一道错两道、全猜错；而猜对两道错一道和猜对一道错两道各有三种情况，所以共八种可能情况，各种情况的概率为：,这八种情况的概率分布如图：一切可能结果：AAAAABABABAAABBBBABABBBB每一种可能结果的概率：pppppqpqpqpppqqqqpqpqqqq做对不同题数的概率分布：p3p2qp2qp2qpq2pq2pq2q3二项分布用二项展开式表：p3+3p2q+3pq2+q3,各项概率之和等于11/8+3/8+3/8+1/8=1由上图可知，学生做三道是非题，做对不同题目数量的概率分布了用三次二项式（p+q）3的展开式来表达。同样可推知，当学生做四道是非题时，做对不同题目数量的概率之和可表示为：(p+q)4=,同理，小学生做三道四选一题时，由于每道题猜对的概率是1/4，猜错的概率是3/4，因此猜测的各种可能结果之和可表示为等等，其他类推。,由以上各例可知，二项试验的各种可能结果出现的概率恰是二项展开式各项的值，试验的次数就是二项式的指数。如果用n表示试验次数，那么在n次试验中二项试验的各种可能结果出现的次数、概率可通过的展开式来表示。二项展开式的一般形式是：,展开式中任何一项表示在n次试验中某事件发生次的概率，而系数表示在所有可能结果中，这种结果出现的次数为,在n次试验中某事件发生k次的概率可概括为一个通式：（k=0，1，2，n）这个通式叫二项分布函数式，运用这一函数式可以直接求出n次试验中A事件出现k次的概率。例4某小学生凭猜测做7道是非题，问7道题中答对2道、3道、4道的概率各是多少？解：本题试验次数为n=7,P=1/2,q=1/2，则试验7次，事件发生2次的概率为：,=0.164,7道题中答对3道的概率是：=0.2737道题中答对4道的概率为：,从二项展开式的一般形式中可以看出，只要求出值，则二项试验中某种结果发生的次数和概率就容易求出了。另外，可利用杨辉三角形直接查出值。,杨辉三角形,二、二项分布的平均数和标准,二项分布的平均数，是指二项分布中随机变量k的算术平均数，实质上它是以k为原始数据，以概率p(成功事件)为权数的加权算术平均数。二项分布的平均数为：二项分布的标准差，是指二项分布中随机变量k的标准差（成功次数的离散程度）。二项分布的标准差为,三、二项分布的应用,利用二项分布可以计算在具有两个对立事件的随机现象的多次试验中某事件出现的概率，估计带有机遇性的实际问题。例5.某班英语考试共有20道选择题，均为四选一题。规定每题答对得1分，答错或不答得0分。有一个学生说他过去没有学过英语，全凭猜测答题，问（1）凭猜测，他得10分的概率是多少？得18分以上的概率是多少？（2）答对多少道题可以认为他不是猜的？,解：做答20道选择题，可以看成是做20次试验，即n=20。每次试验只有两个结果，要么猜对，要么猜错，每题猜对的概率为,猜错的概率为。（1）凭猜测得10分的概率为：求该学生凭猜测得18分以上的概率，实际上是求他得18分或者19或者20分的概率是多少，即三种获得分数的概率之和：=1.61此概率非常小，说明完全凭猜测想得高分是不可能的。,（2）判断该学生答对多少道题可以认为他不是猜的，只需知道他答对多少题时属于小概率事件，则可判定他答对该题数时就认为不是猜的。由于本题答题的各种可能结果近似服从正态分布，因此可依据正态分布理论解决此问题。当答题得分为Z1.64时，P0.05，属于小概率事件,此时，已知所以51.64就是说当该学生答对9道题时，可以认为他不是猜的,第三节正态分布,一、一般正态分布曲线二、标准正态分布曲线的特点三、正态曲线下面积及正态分布表（一）正态曲线下的面积（二）正态分布表的使用四、正态曲线下面积的利用1、推求考试成绩中特定区间的人数2、估计录取分数线3、确定各等级的人数4、将等级评定结果转化为分数,第三节正态分布,所谓分布即指随机变量的概率分布，人们可以根据随机事件概率的原理，运用各种特定的理论分布模型，去分析、研究各种具体的随机现象。正态分布是一种最常见的、用处最广的一种连续型随机变量的概率分布，是教育家高斯在研究误差分布时发现的，又称为高斯分布。无论在自然界还是在社会领域常见的变量中，许多都呈现出中间多、两头少的正态分布状态，如同龄人的身高与体重，一个地区的降雨量等。由于人的能力，学习成绩等许多教育和心理现象的分布都是中间状态的多，两端出现的少，因此教育和心理领域常用正态分布理论与模型去分析和认识许多教育和心理现象。正态分布也是许多统计方法的前提条件，因此认识正态分布的基本特征，掌握正态分布的应用十分重要。,一、一般正态分布曲线,正态分布是一种理论上的连续变量的概率分布。其分布图是一种均匀的圆滑曲线，称为正态分布曲线。一般正态分布曲线的方程为：式中，Y是正态曲线的高度，表示某观测值出现的相对次数（随机变量的概率）概率密度是观测值，即随机变量的可能取值（-，+）是观测值总体的平均数是观测值总体的标准差=3.14（圆周率）=2.7183（自然对数之底）,从上述方程看出，只有是变量，而且与之离差被平方，所以无论离差取正值或负值，只要绝对值相等，对的结果都是一样的，故正态曲线是关于X=这一点的纵线为对称轴的轴对称图形（对称图形不一定是正态分布）。和称为正态分布的两个参数，一般正态分布曲线的位置和形状随其总体的平均数和标准差的不同而变化，即不同的值和值的组合，就会得到不同的正态分布曲线。平均数不同，曲线在横轴上的位置就不同，如图a；标准差不同，则曲线的高矮及与底线距离的长短不同，如图b。因此，平均数的大小决定了图形的位置，标准差的大小决定了图形的陡峭平缓程度。当标准差较大时，观测值分散在较大范围内，Y的最大值较小；相反，观测值分散在较小范围内，Y的最大值较大。因此，正态分布曲线是一簇曲线。,一般正态曲线分布图,二、标准正态分布曲线及其特点,我们通常所使用的正态分布是指正态分布的标准形式，称为标准正态分布。标准正态分布的平均数为=0，标准差=1。其曲线方程为：标准正态分布曲线只有一条，它是一种固定形态的正态分布。如果原始随机变量的取值服从正态分布，那么其标准分数的平均数为0，标准差为1，因此这组标准分数就服从标准正态分布。,图73标准正态分布曲线图,0.34134,0.34134,0.1359,0.1359,0.0228,0.0228,标准正态分布曲线的特点*：1.曲线最高点为Z=0，Y=0.3989，标准正态分布曲线在Z=0处Y值最大。曲线下的总面积即概率的总和为1，对称轴左右各0.5。2.曲线是以过Z=0的纵线为对称轴的呈钟形的轴对称图形，曲线两侧横坐标绝对值相等的对应点的高度相等，对应的曲线下面积相等。3.标准正态分布的，都是在Z=0这一点，而且多数观测值集中在这点附近。4.曲线与对称轴交点处Y值（相对次数）最大，概率最大；曲线向两侧先快后慢对称下降，在Z=+1处有两个拐点，几乎包括观测值总数的2/3；左右各个标准差范围内基本包括全部观测值；横轴是标准正态分布曲线的水平渐进线，曲线向两侧逐渐接近横轴，但永远不与横轴相交，所以Y值永远不会等于零。,（一）正态曲线下的面积正态曲线与其底边所围成的面积称为正态曲线下的面积(P)随机变量的概率，代表分布的总次数。正态曲线底边表示观测值各量数，标准正态曲线底边上的量数是分数。曲线被对称分为两部分，两部分面积各占总面积的一半。标准正态曲线下的总面积为1概率之和为1，各部分的面积比率是确定的。在Z=0左右各一个标准差的范围内，包括总面积的68.26%表中Z=-1与Z=1两点的纵线所夹的图形的面积比率，表示相应区间内随机变量的概率，左右各两个标准差的范围内，包括总面积约95.44%，左右各三个标准差的范围内约包括总面积的99.74%，而左右各四个标准差的范围内约包括总面积的99.99%。同时，左右1.96个标准差之间，包含总面积约95%，左右2.58个标准差之间，包含总面积约99%。,三、正态曲线下面积及正态分布表,正态曲线与基线之间某一区间的面积，相当于能在该区间找到个体的概率。,（二）正态分布表的结构与使用,由于标准正态曲线具有稳定性，相同的位置对应的正态曲线下面积相等，高度相等，因此标准正曲线下的各种Z值对应的面积比率及Y值都可以由从正态分布表（附表）直接查出（依据正态分布函数，用积分计算当Z为不同值时，正态曲线下的面积与密度函数值或比率数值Y）。在附表中，列出与各种Z值对应的曲线高度Y和Z=0至某个Z值间的面积比率P。只要知道某一分数Z值的大小，就可以从中查到Z值对应的Y值及其左侧对应的面积比率P，反之亦然。因为正态曲线下Z=0处左右对称，所以表中仅列出了Z=0右侧的Z，Y，P值。,正态分布表的使用,一是已知Z值，求与之对应的P值；二是已知P值，求Z值,已知z值，求面积P主要有三种情况：一是求Z=0至某一值之间的面积比率；二是求任意两个Z值间的面积比率；三是求某一Z值以上或以下的面积比率。例利用正态分布表，求（1）Z=0至Z=1之间的面积比率及Z=1时的Y值；（2）Z=-1至Z=1之间的面积比率；（3）Z=1.96以上和Z=-1.96以下的面积比率；（4）Z=-2.58至Z=2.58之间的面积比率。（5）Z=1.64左侧的面积比率解：查正态分布表（附表），可得：（1）Z=1时，P0.34134，所以Z=0至Z=1之间的面积比率为0.34134；Z=1时对应的Y=0.24197,。,（2）Z=1时，Z=0至Z=1之间的面积为P1=0.34134；当Z=-1时，Z=0至Z=-1间的面积，可由正态分布的对称性知，P20.34134，所以，Z=-1至Z=1之间的面积比率为0.341342=0.68268。（3）Z=1.96以上的面积等于0.5减去Z=0至Z=1.96之间的面积，Z=0至Z=1.96的面积比率为0.475，所以Z=1.96以上面积比率为0.5-0.475=0.025；Z=-1.96以下面积与Z=1.96以上面积部位对称，因此Z=-1.96以下的面积比率亦为0.025。（4）Z=2.58时，对应的P=0.49506，Z=-2.58与Z=2.58之间的面积比率为0.495062=0.99012。（5）Z=1.64时，对应的P=0.44950，求其左侧的面积就是曲线左半部分的面积比率与Z=0到Z=1.64之间的面积之和，即：0.5+0.44950=0.94950。,2已知P值求Z值,已知P值求Z值，是指利用正态分布表求一定面积比率界限对应的Z值。主要有两种情况，一是求正态曲线两尾端面积对应的Z值；二是求正态曲线中间一定面积上下界限对应的Z值。已知P值求Z值时，表上常找不到已知的准确P值对应的Z值，这时找到与已知面积比率最接近的Z值，然后找到与之对应的Z值即可。例利用正态分布表求（1）正态曲线下右尾面积为0.05对应的Z值；（2）正态曲线下左尾0.01对应的Z值；（3）正态曲线下中间面积0.95和0.99面积比率上下界限对应的Z值。,解：查正态分布表可得：（1）正态曲线下右尾0.05面积比率对应的Z值即是面积0.45对应的Z值。从正态分布表中P值一列找不到0.45这个值，则找到0.45最接近的0.4495，它对应的Z=1.64，便是所求。（2）正态曲线下左尾面积为0.01对应的Z值与右尾0.01面积对应的Z值相同。右尾0.01面积对应的Z值，即是面积0.49对应的Z值。从正态分布表中找到与0.49最接近的0.49010，它对应的Z=2.33便是所求。（3）正态分布中间0.95的面积比率在Z=0处被平分，而且上下界限对应的Z值对称，即当P=0.475时，查其对应的Z，Z=1.96，即中间0.95面积比率上下界限对应的Z值为；同理，从正态分布表中找到与0.495最接近的值0.49506，其对应的Z=2.58，所以中间0.99面积比率上下界限对应的Z值为,四、正态曲线下面积的利用,1、推求考试成绩中特定区间的人数例1某市600名小学生的数学竞赛成绩服从正态分布，其平均成绩为65分，标准差为15分，利用正态分布曲线下的面积推求60分以下，6070分，7080分，80分以上各段可能占总人数多大比例？并估计各分数段各有多少人？解：由于600名学生的数学成绩服从正态分布，因此我们在未分类整理统计各分数段人数之前，就可根据正态分布曲线下的面积推求各段人数。,首先求出各分数区间界限的标准分数。已知65，15，所以60分的标准分数为:70分的标准分数为:80分的标准分数为:然后查正态分布表中Z值对应的面积比例P。当Z=0.33时，查表得P=0.12930；当Z=1时，查表得P=0.34134；,利用正态曲线的对称性知60分以下的人数比例为0.5-0.12930=0.3707，6070分的人数比例为0.129302=0.2586，7080分的人数比例为0.34134-0.12930=0.21204，80分以上的人数比例为0.5-0.34134=0.15866。最后用总人数乘以各分数段人数比例，求得各分数段的可能人数。由于参加考试的人数有600人，所以各分数段的人数（以整数计）为60分以下：6070分：；7080分：；80分以上：各分数段人数之和应等于参加考试的总人数，即223+155+127+95=600,2.推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限,例2上例中600名小学生数学成绩服从正态分布，平均成绩65分，标准差15分，如果计划选取出120名参加省里竞赛，那么选取的分数线最底应是多少？解：将选取的人数比率作为正态分布曲线右尾部面积比率，在正态分布中找出与之对应的标准分数Z值，然后根据Z值用公式求出原始分数的值。选取比率为：按面积比率0.5-0.2=0.3，查正态分布表，找到与0.3最接近的0.29955对应的Z=0.84，所以录取分数估计是：,3确定按能力或成绩等级分组的各组人数*,在用正态曲线下的面积来确定各能力等级的人数时，前提假定被评变量的等级在正态曲线底边上变化范围是已知的()，而且各等级的距离相等。例3若对500名学生的写作能力按优秀、良好、中等、及格、不及格五级评定，已知学生写作能力服从正态分布，用正态曲线下的面积推测一下各等级应该有多少人？解：由于正态分布情况下，之间几乎包括了全部观测值，因此可认为500名学生的写作能力等级分布在的范围内；又由于各等级间距离相等，因此可以把区间平均分成五等份，即每一等级占的区间长为,从图中我们可以找到每一等级在正态曲线下的位置。然后再查正态分布表，求得每一等级包括的面积比例，就是各等级的人数比例。图中显示出优、良、中、及格、不及格各等级的Z分数区间，查正态分布表，求得各等级人数比例分别为：,优：0.5-0.46407=0.03593，即Z=1.8右侧对应的面积比例。良：0.46407-0.22575=0.23832，即Z=0.6与Z=1.8之间的面积比例。中：0.22575+0.22575=0.4515，之间的面积比例.及格：Z=-1.8与Z=-0.6之间的面积比例，它与Z=0.6到Z=1.8之间的面积对称，所以也是0.23832。不及格：即Z=-1.8左侧的面积比例，与Z=1.8右侧的面积对称，即0.03593。用被评定的总人数N=500分别乘以各等级的人数比例，便求得各等级的相应人数，即优秀和不及格的人数都是5000.03593=18良好和及格的人数都是5000.23832=119中等的人数为5000.4515=226各等级人数之和应等于总人数，即:182+1192+226=500注：如果不等时，将居中的那一组做适当的减少或增加。,4将等级评定结果转化为连续型变量,由于学生的学业成绩或能力是服从正态分布的，因此对学生的学业或能力的定性等级评定，可以利用正态曲线下的面积,把等级资料转换成标准分数，以便进行合并或进行比较。例4某班进行口试，有三位主试教师，每个人分别评定并记录学生的口试成绩，然后综合三个主试的评定结果确定每个学生的口试成绩。学生的成绩分为五个等级，即优、良、中、及格、不及格，全班共60名学生，每位教师评定的各等级人数列于表61中。在60名学生中，抽出甲、乙两名学生，三位教师对他们的评定结果列在表62中，请比较甲、乙两名学生成绩的优劣。,表6160名学生口试结果,表62三位教师对甲乙两名学生的评定结果,解：假定学生的口试成绩服从正态分布，那么我们可以利用正态曲线下的面积分别求出各主试教师评定的各等级的标准分数。因为标准分数具有可加性，所以每个学生的成绩可以用三位教师评定结果的标准分数的平均值表示。具体步骤是：第一步：求各位教师评定的各等级人数比率。第二步：利用正态曲线下的面积，分别求出每个教师评定的各等级的标准分数。方法是：先求出各等级比率的中点值，再以各中点以下（或以上）的累加比率查表，求得Z值。每位教师评定的各等级标准分数列于表65中，表中各标准分数的求出方法以教师A为例，并参看图66所示。,表65三位教师评定等级的标准分数,教师A对60名学生的评定结果，评定不及格的是3人，占总体比例为0.05，面积的一半为0.025，查正态分布表，当P为0.475时，其对应的Z值的相反数为-1.96。及格等级的人数比率为0.167，一半为0.0835，0.0835+0.05=0.1335，查P=0.3665对应的Z，其相反数为-1.11。同样，中等一组的中点以下累加比率为（0.05+0.167+0.5/2）=0.467，查P=0.033对应的Z值，其相反数为-0.08。良好中点以下累加比率为（0.05+0.167+0.5+0.2/2）=0.817，查P0.317对应的Z值约为0.90。优秀中点以下累加比率为（1-0.083