赵树嫄微积分-第二章

微积分,第二章极限与连续,定义1：,2.1数列的极限,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数：,.数列的极限,观察例1、2、3、4、5中的数列的极限,思考数列的有界性与有极限之间的关系,1.数列的极限存在情况与数列的前有限项无关，,2、收敛数列不等于有限数列，比如.,所以如果只改变一个数列的有限项则不会改,变数列的极限的存在情况以及极限值的大小！,几何解释:,例6,证,所以,例7,证,所以,(一),考虑当，函数的变化情况,2.2函数的极限,由图容易看出：,例1,证,例,证,（二）,几何解释:,注意：,例3,证,例4,证,例5,证,函数在点x=1处没有定义.,左极限,右极限,（三）单侧极限（左极限，右极限）,左极限,右极限,x从左侧无限趋近于x0,x从右侧无限趋近于x0,例6,左右极限存在但不相等,例6,证,定理(保序性),推论,定理(保号性),推论,定义:,（3）如果,则称是比低阶无穷小。,一、极限运算法则,定理,（1）（2）都可以推广到任意有限个函数的情形.,2.5极限运算法则,推论1,即常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,即乘方运算与极限运算可交换顺序.,小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,1.夹逼准则,.6.极限存在准则,2.6两个重要极限,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,(1),.6.两个重要极限,(2),例,解,提高题：,换元,解：,例:,解:,定义:,2.7利用等价无穷小代换求极限,定理(等价无穷小替换定理),证,常用等价无穷小:,例2,解,不能滥用等价无穷小代换.,等价无穷小的代换只能用于乘除运算，不可用于加减运算.,注意,例3,解,解,错,在某过程中,变量u的终值u2与它的初值u1的差,u2u1,称为变量u在u1处的增量,记为u=u2u1.,1函数的连续性,函数增量概念：,2.8函数的连续性,设函数f(x)在U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=xx0为自变量x在x0点处的增量.,=f(x0+x)f(x0),y=f(x)f(x0),x,y,O,x0,x,x,y,y=f(x),此时,x=x0+x,相应地,函数在点x0点处,有增量y,2连续函数的概念,定义,定理,例,证,由定义2知,例,解,左连续但不右连续,3函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,为跳跃间断点,2.可去间断点,例,解,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例,解,例,解,一、四则运算的连续性,定理1,例如,4连续函数运算与初等函数的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,证,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例11,解,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理5基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,定义:,例如,5闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,