高三数学-复习函数的奇偶性和周期性课件

第三节函数的奇偶性与周期性,奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示:定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,1.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件【解析】选D.f(x)=为奇函数，但f(0)不存在；对函数f(x)=x2，有f(0)=0，但f(x)为偶函数，故选D,2.下列四个函数y=x3+1；y=sin3x；y=x+；中，奇函数的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选C.由奇函数定义知，函数、都是奇函数，函数既不是奇函数又不是偶函数，因此C选项正确,3.若函数f(x)=x3(xR)，则函数y=f(-x)在其定义域上是()(A)单调递减的偶函数(B)单调递减的奇函数(C)单凋递增的偶函数(D)单调递增的奇函数【解析】选B.f(x)=x3在其定义域上为奇函数，y=f(-x)在其定义域上也为奇函数f(x)=x3在其定义域上为增函数，y=f(-x)在其定义域上为减函数,4.已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0，1)时，f(x)=x+1，则函数f(x)在(1，2)上的解析式为()(A)f(x)=3-x(B)f(x)=x-3(C)f(x)=1-x(D)f(x)=x+1【解析】选A当1x2时，-1x-20,x(0，1)时，f(x)=x+1，f(x)是以2为周期的偶函数，f(x)=f(x-2)=f(2-x)=2-x+1=3-x,5.函数f(x)对于任意实数x满足条件若f(1)=-5，则f(f(5)=_.【解析】f(f(5)=f(-5)=f(-1)=答案:,1.奇偶函数的有关性质(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.,(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反,2.用奇偶函数的性质来判断组合函数的奇偶性注意：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题须先证明再利用.,3.既是奇函数又是偶函数的函数的个数既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个，即f(x)=0，定义域是关于原点对称的任意一个数集.,4.对称性与周期函数的关系(1)若函数f(x)关于直线x=a和直线x=b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期；(2)若函数f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期；(3)若函数f(x)关于点(a,0)和直线x=b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a-b|是它的一个周期,函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=lgx2+lg；(2)f(x)=(x-1)；(3)(4)f(x)=,【审题指导】本题是判断函数的奇偶性，由奇偶函数的定义可知，先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性【自主解答】(1)显然函数f(x)的定义域为：(-，0)(0,+)，关于原点对称，又f(x)=lgx2+=lgl=0(x0)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数；,(2)使f(x)=(x-1)有意义，则有0，解之得函数的定义域为-1,1)，不关于原点对称，因此，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(3)显然函数f(x)的定义域为：(-，0)(0,+)，关于原点对称，当x0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x0时,-x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x2-x1)0，即f(x2)f(x1)，函数f(x)在R上为减函数.,【变式训练】函数f(x)的定义域为x|xR,x0，对一切x、yR，都有f(xy)=f(x)+f(y)(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)如果f(4)=1，且f(x)在(0,+)上是增函数，解不等式f(3x+1)+f(2x-6)3.,【解析】(1)函数f(x)为偶函数.证明：在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，f(1)=0，令x=y=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)，f(-1)=0，令y=-1得，f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，因此该函数为偶函数.,(2)依题意得：2=1+1=f(4)+f(4)=f(16)，3=1+2=f(4)+f(16)=f(64)，又f(3x+1)+f(2x-6)3，又f(x)在(0,+)上是增函数，解得：3x5，即不等式的解集为：x|30,需满足|x-2|2,得x4或xf(0)=0,所以-f(1)0,即f(-25)f(80)f(11).答案:f(-25)f(80)f(11),8(2011淄博模拟)设f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为_.f(4)=0;f(x)是以4为周期的函数；f(x)的图象关于x=1对称；f(x)的图象关于x=2对称.,【解析】f(x+2)=-f(x)，f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2)=f(x+4)，即f(x)的周期为4，正确.f(4)=f(0)=0(f(x)为奇函数)，即正确.又f(x+2)=-f(x)=f(-x),f(x)的图象关于x=1对称,正确,又f(1)=-f(3),当f(1)0时，显然f(x)不关于x=2对称，错误.答案：,三、解答题(每小题9分，共18分)9已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，若对任意的a、b-1,1，当a+b0时，总有(1)判断函数f(x)在-1,1上的单调性，并证明你的结论；(2)解不等式：f(x+1)f()；,【解析】(1)f(x)在-1,1上是增函数，证明如下：任取x1、x2-1,1，且x1x2，则x1-x20，于是有而x1-x20，故f(x1)f(x2)，故f(x)在-1,1上是增函数.(2)由f(x)在-1,1上是增函数知：故不等式的解集为x|-2x,10.(2011泰兴模拟)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(xR)是偶函数.(1)求k的值；(2)若方程f(x)-m=0有解，求m的取值范围.【解题提示】(1)本题求k值，而已知f(x)为偶函数，可由偶函数的定义得出关于k的方程，解方程即可.(2)当m在f(x)的值域内时，f(x)-m=0有解.,【解析】(1)由函数f(x)=log4(4x+1)+kx(xR)是偶函数，可知f(x)=f(-x)，log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx，即log4=-2kx.log44x=-2kx，x=-2kx对xR恒成立，k=,(2)由m=f(x)=log4(4x+1)-x，得m=log4=log4().2，m故要使方程f(x)-m=0有解，m的取值范围为m,【探究创新】(10分)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意xM(MD)，有x+lD，且f(x+l)f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.(1)如果定义域为-1,+)的函数f(x)=x2为-1,+)上的m高调函数，求实数m的取值范围.(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=|x-a2|-a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.,【解析】(1)f(x)=x2(x-1)的图象如图(1)所示，要使得f(-1+m)f(-1)，有m2；x-1时，恒有f(x+2)f(x)，故m