MHDwave磁流体力学波动.ppt

磁流体力学波动,胡友秋中国科学技术大学地球和空间科学学院2003.5.26.,一、引言二、线性波三、WKB波四、简单波五、激波六、黎曼问题,研究磁流体波动的意义,磁化等离子体运动的主要形态磁流体力学诞生的标志（Alfvn,1943)等离子体能量传输和转化的重要媒介等离子体特性的诊断手段影响空间天气的重要因素,一、引言,2.波动解存在的判据及方程分类,以平面电磁波为例，基本方程及求解过程如下：,判据：可化为波动方程的物理系统存在波动解；问题：只适合具有单一波动模式的线性系统。,求形如exp(ikx-it)的波动解：,直接从原一阶偏微分方程组出发：,存在非零解（非平凡解）的充分必要条件是,其中为实数。注意，即为系数矩阵A的本征值。判据：系数矩阵存在实本征值的系统存在波动解，本征值即波的相速度。一阶偏微分方程组分类：双曲型；椭圆型；广义双曲型,小扰动近似小幅度线性波WKB近似（几何光学近似）非均匀媒质中的短波（有限幅度线性波）相似解方法非线性波（有限幅度）求解边值关系激波和间断黎曼问题（激波管问题）初始间断分解数值模拟,磁流体力学波动求解方法,从基本方程（5）出发，令,二、线性波,小扰动方程,式中U为定态，满足A(U/x)=0.只保留一级小量，得,上述方程为变系数线性偏微分方程，一般难以解析求解。对无限均匀媒质，A为常数矩阵，化为常系数线性偏微分方程：,于是，我们可借用常系数线性偏微分方程分析的现成结论：存在波动解的条件是A存在实本征值，每个本征值对应一种波模。,2.磁流体力学小扰动波的分类,为何8个方程减至7个？（B0使得Bx=常数，减少1个方程）A的本征值：,结论：存在7个波模：分别为熵波（对流结构），前、后向阿尔文波、前、后向慢波和前、后向快波。,WKB波为波长远远小于非均匀媒质的变化尺度的波动，即,三、WKB波,何谓WKB波？,WKB法是分析非均匀媒质中波传播问题的最成功的方法之一，创始于1915年。1926年，Brillouin,Wentzel和Kramers将这个方法引入量子力学求解薛定諤方程，后人称之为WKB法。当用于光波传播时又称为“几何光学方法”。在WKB近似下，波矢k和波幅f随时空缓慢变化，变化时空尺度与媒质变化的时空尺度相当。将WKB解代入原方程，将快变化部分和慢变化部分分开，分别求得：相位S满足的方程：色散关系和射线方程；波幅f满足的方程：波能方程。媒质本身的动力学方程：含波对流体的反作用参考书：1.叶公节，刘兆汉，电离层波理论，科学出版社，1983，第5章.2.涂传诒，日地空间物理学，科学出版社，1988，第2章.,太阳风中的阿尔文脉动阿尔文波压方程（Y.C.Whang,1980),阿尔文波串级功率谱方程（涂传诒等,1984),多成分等离子体阿尔文波串级功率谱方程（HuTu李波等,2003.,四、简单波,何谓简单波？,形如,的相似解称为简单波。上式中的的等值面表示等相面。简单波为有限幅度的非线性波。其中，无限窄的稀疏简单波又称为中心简单波。,简单波存在条件,二自变数一阶齐次偏微分方程系数矩阵与自变数无关系数矩阵的本征值为实数前面提到的一维MHD方程（5）和（8）式正好满足上述条件，故存在简单波。,将（13）式代入（5）式得以为自变数的常微分方程组如下：,2.简单波基本方程,式中,表示简单波等相面的传播速度，即波的相速度。由（14）得出如下结论：（1）有非平凡解的条件要求为A的本征值，因此简单波具有和线性波同样的波模和传播速度，不同的只是简单波为有限幅度非线性波，各处波速可能不同，导致波形发生变化。（2）dU/d为对应本征值的右本征矢：,上式即为波速为的简单波所满足的常微分方程组。,3.矩阵A的右本征矢,MHD简单波的分类(1)熵简单波,为纯密度波或熵波，简单波区流速、磁场和压强均连续。熵简单波属于对流结构，接触间断的对流运动属于熵简单波的特例。,(2)阿尔文波：对前向阿尔文波有,密度、压强均匀，沿波传播方向的流速（和磁场）也均匀，只是切向流速和切向磁场变化。由上式可导出：,通过坐标系选择，可实现vvA0。于是有,分别对应沿磁场方向和逆磁场方向传播的阿尔文波。为不可压缩圆偏振波，传播速度均匀，波形不变切向流速和切向磁场大小不变，同方向旋转沿磁场传播，v和vA反向；逆磁场传播，二者同向,(3)磁声波：由d/d0，不妨取.以为自变数，令u=vs,vf,四种磁声波的方程可统一写成：,磁场和流场共面，线偏振（比较阿尔文波）熵均匀，密度、压强和温度同相（比较激波）前向波（u0），法向流速vx和密度同相，后向波反相快波（uvf），磁场幅度与密度同相，慢波（uvf）反相法向流速波形随x增加上升部分为稀疏波，下降部分为压缩波。,在以下分析中假定vx0，沿流动方向（即沿x轴正向）传播的波称为前向波。,由法向流速vx、密度和切向磁场的波形判断简单波类型的三原则：流速剖面随x下降段为压缩波，上升段为稀疏波；密度与磁场幅度同相变化为快波，反相变化为慢波；流速与密度同相变化为前向波，反相变化为后向波。条件：各简单波彼此分离且充分发展举例：123456,vx|B|,前向快压缩波,答案,前向慢压缩波,后向慢压缩波,后向快压缩波,后向快稀疏波,前向慢稀疏波,四、激波,引言,有限幅度的压缩简单波经非线性变陡形成的强间断。不妨设vx0，压缩波条件要求dvx/dx0，我们有,激波的产生,波区切向磁场同向：形成快（慢）激波；即：快压缩波变陡形成快激波慢压缩波变陡形成慢激波波区切向磁场反向：形成中间激波（C.C.Wu,1987,1988,1990),前向压缩波(d/dx0)：,磁流体激波研究简史1.早期基本理论研究（19501963）F.DeHaffmanSteinolfson&Hundhausen,1989,1990)；多成分、多物理过程的激波研究；MHD黎曼问题；激波算法（激波装配法）研究。,2.激波分类,质量通量：动量通量：切向电场：能量通量：激波关系：,备注：8个因变量为何只留下4个（，vn，p，B）？由Ranking-Hugoniot关系可知激波共面，减少2个因变量；由激波坐标系中流速与磁场平行，因变量又减少1个；由法向磁场连续，Bn将以参数形式出现。,在激波坐标系（DeHaffmanTeller坐标系）中：,给定质量、动量、能量通量和切向电场时(21)-(24)的解：,式中：,对函数f作定性分析（如f(0),f(),f,f”）后可绘出如下fvn曲线:,1,2,3,4,f,0,vn,v4,v3,v2,v1,vsm,vfm,v*,Alfven点,v14为所求的方程（26）的4个根，分别对应亚慢波速、超慢亚阿尔文波速、超阿尔文亚快波速和超快波速。,f=E,f（vn）,vsm:：慢波速点vfm:：快波速点,激波条件和激波分类：熵增加条件：激波只能是压缩波；激波进化的充分必要条件：在任意给定的入射波作用下，激波阵面的发射波存在并被唯一确定。Lax条件：激波阵面发射波的数目为6；Syrovatskii条件：6个发射波中应包括4个磁声波和2个阿尔文波。,(a)满足激波关系的解的总数A4212；(b)其中满足熵增加条件（即压缩波条件）的只有6个：12：快激波（跨快波速）；34：慢激波（跨慢波速）；13，14，23，24：中间激波（跨阿尔文波速）。(c)中间激波不满足进化条件：13型及24型：5个发射波；14型：4个发射波；23型：6个发射波，但其中包括5个磁声波和1个阿尔文波。,关于中间激波的新观点（Wu,1990),理想MHD对中间激波失效，应运用耗散MHD；在耗散MHD下，激波为连续解。中间激波可通过磁声波（具反向切向磁场）变陡形成。在耗散MHD下，激波过渡层是有结构的。快、慢激波的过渡层结构唯一存在；14激波层结构存在2个自由参数，13和24激波层存在一个自由参数，自由参数与相应发射波的数目之和正好是6，满足进化条件；23激波过渡层结构唯一，但一般是三维的，因此无法将磁声波和阿尔文波方程去耦，无需满足Syrovatskii条件，故此也是进化的。对非共面情况，存在时变中间激波，实现对磁场的旋转，取代阿尔文旋转间断的作用；后者在耗散MHD下是不稳定的。,已知激波参数求解激波,(1)激波参数,密度比切向磁场比气压比总压比,激波求解：已知上游态、一个激波特性参数和待求激波类型，求解激波下游态。通常可给定激波速度，或密度比，或气压比，或总压比，或切向磁场比，最终归结为求解3次代数方程。根据激波类型，从中选择要求的根。,(3)激波参数空间的激波特性等值线：常在A1空间、空间或空间绘出另一个特性参数的等值线。,5.激波识别,由上、下游流速识别激波类型12快激波：上游超快波速，下游亚快波速、超阿尔文波速；34慢激波：上游超慢波速、亚阿尔文波速，下游亚慢波速；13中间激波：上游超快波速，下游亚阿尔文波速、超慢波速；14中间激波：上游超快波速，下游亚慢波速；23中间激波：上游超阿尔文波速、亚快波速，下游亚阿尔文波速、超慢波速；24中间激波：上游超阿尔文波速、亚快波速，下游亚慢波速。,由流速、密度和磁场波形识别激波类型,举例：123456,vx|B|,前向快激波,答案,前向慢激波,后向慢激波,后向快激波,后向中间激波,前向中间激波,6.激波系统和混合激波,激波系统：由彼此隔离的多个激波构成的系统。举例：,vx|B|,快激波对,双重激波对,2个前向快激波,2个前向慢激波,混合激波：由不同类型的多个激波相继连接形成的单个激波。激波之间的连接满足一定规则，快激波必须通过中间激波才能同慢激波相连（胡友秋，1990，1992）。行星际扰动有可能发展成为混合激波，磁场重联中也可能会出现混合激波。,五、黎曼问题,1.何谓黎曼问题？,下述定解问题称为黎曼问题：,式中U1和U2为常矢量。,按方程形式分类：,流体力学黎曼问题，磁流体力学（MHD）黎曼问题理想MHD黎曼问题，耗散MHD黎曼问题,2.黎曼问题举例,激波管问题：长直圆柱管内置一隔板，隔板两侧各填入不同静止流体，即,但密度和压强不同。然后抽走隔板，求激波管内流体状态的时间演化。,激波相互作用问题：两同向传播激波的汇合或两迎面传播的激波的碰撞。此时，U1表示右面激波的右侧状态，U2表示左面激波的左侧状态。通过求解对应的黎曼问题，可确定作用产物及其演化。,U2,U1,x=0,x,v2,v1,U2,U1,Ui,v2,v1,U2,U1,Ui,激波汇合,激波碰撞,3.黎曼问题的适定性,Lax定理（Lax,A.D.,Communs.PureLiu,1986)。MHD共面黎曼问题的解存在且唯一。1胡友秋，荀笑冬，磁流体力学的共面黎曼问题，空间科学学报，15(1995),91.2胡小龙，胡友秋，再论磁流体共面黎曼问题，空间科学学报，17(1997),119.MHD非共面黎曼问题的适定性尚未得到证明。由于磁场的旋转可分别通过前向、后向旋转间断实现，这将导致解不唯一。考虑到旋转间断在耗散MHD下是不稳定的，因而解也是不稳定的。,4.MHD共面黎曼问题求解（黎曼分解）,对MHD共面黎曼问题，共涉及5个因变量（法向磁场Bn作为参数）和5种波模：前向快波、前向慢波、后向慢波和后向快波。黎曼问题归结为初始间断对上述5种波模的分解。我们提出一种三参数迭代法（胡小龙，胡友秋，1997），求解上述问题，表明上述分解存在且唯一。其中，快（慢）模间断包括快（慢）激波、快（慢）中心简单波、13（24）型中间激波和快（慢）合成波（由两个传播速度相同的波组合而成）。,U2,Ui,F,S,S,F,J,D,5.黎曼问题求解的应用,激波管问题检验激波算法的有效工具激波相