概率论与数理统计随机变量函数的分布

比如，某厂的电机的噪声电压V的密度分布：,求功率W=V2/R(R为电阻)的分布.,在实际应用中，人们常常对随机变量的函数感兴趣.,随机变量函数的分布,随机变量的函数是一个这样的随机变量，若随机变量Y满足：Y=g(X)则称随机变量Y是X的随机变量的函数。,随机变量函数的分布,设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？,例1离散型随机变量X的分布律如下：,离散型随机变量函数的分布,解,所以Y的分布律为：,离散型随机变量函数的分布,例2加油站代营出租车业务，每出租1辆车收入3元。该油站每天要付出60元工职。每天出租汽车数X的分布律如下：,求加油站获利的概率。,解纯收入Y=3X60,获利的概率：0.45+0.15=0.60,离散型随机变量函数的分布,连续型随机变量函数的分布,设连续型随机变量X的密度函数f(x)已知，Y=g(X)，如何由X的分布求出Y的密度函数？,通常有两种方法：,分布函数法；（通法）,“公式法”。,连续型随机变量函数的分布,解Y的分布函数FY(y)为,FY(y)=PYy=P(2X+8y),=PX=FX(),例3设随机变量X具有概率密度,连续型随机变量函数的分布,于是Y的密度函数,故,连续型随机变量函数的分布,连续型随机变量函数的分布,例4设随机变量Xe(1),即,解,连续型随机变量函数的分布,求导，得,从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过程中，关键的一步是设法从g(X)y中解出X,从而得到与g(X)y等价的X的不等式。,这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率。,这就是分布函数法。,例如，用代替2X+8y,用代替X2y,连续型随机变量函数的分布,连续型随机变量函数的分布,例5已知随机变量XN(0,1)。,解,连续型随机变量函数的分布,例6已知随机变量X,解,定理1设随机变量,具有概率密度,又设函数,处处可导，且,（或,），,是连续型随机变量，其概率密度为：,则,其中,是函数,的反函数.,连续型随机变量函数的分布,连续型随机变量函数的分布,例7设随机变量，证明,解,连续型随机变量函数的分布,能不能将上述随机变量单独分别进行研究,由于同一对象的不同指标之间往往是有一定联系的，所以应该把它们作为一个整体来看待。,在实际应用中，考察对象的随机变量往往不止一个,例,家庭衣食住行的花费分别为X1,X2,X3,X4。,某企业的利润率X、总资产周转率Y与资金流动比率Z。,？,分析,多维随机变量的实际背景,CET4的听力成绩X1，词汇成绩X2，阅读成绩X3，写作成绩X4。,在试验E中如果定义了两个随机变量X、，则它们构成的向量（X，）叫做二维随机变量。,二维随机变量及其联合分布,由于X,Y之间往往是有一定联系的，所以应该把它们作为一个整体来看待。因而要研究X，的联合分布。,联合分布函数的定义,二维随机变量的分布函数,二维随机变量的边缘分布,二元分布函数的几何意义,问,如何利用分布函数计算概率,？,图示,（1）F(x,y)是变量x,y的单调非减函数，即,对于任意固定的y,且,对于任意固定的x,当y1y2时，,对于任意固定的x,（3）F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)。,联合分布函数的性质,对于任意固定的y,当x1x2时，,若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或可数对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.,二维离散型随机变量,二维离散型随机变量的分布律,二维联合分