《数学建模概率模型》PPT课件

2020年5月20日星期三,主讲人：侯致武Email:houzhiwu99,Probabilisticmodel,现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型概率模型。,概率模型,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,随机模型,概率模型,一、概率论基本知识二、概率模型的典型案例,一、概率论基础知识,1、古典概型,例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格，92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径合格的概率。,设A=长度合格，B=直径合格,条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率,全概率公式和贝叶斯公式,设B1,B2,Bn为样本空间S的一个划分，且有P(Bi)0，i=1,2,n,则对E的任一事件A，有:,贝叶斯公式,全概率公式,例：某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：,设这三家的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志。现在仓库中随机地抽取一只晶体管,(1)求它是次品的概率；,(2)若已知取到的是次品,问此次品是哪个厂生产的可能性更大？,设A=“取到的是一只次品”,Bi=“所取产品由第i厂提供”,易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分。,解,(1)由全概率公式:,=0.150.02+0.800.01+0.050.03=0.0125,(2)由贝叶斯公式:,同理P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.,以上结果表明，这只次品来自乙厂的可能性最大。,贝努利试验:设随机试验E只有两种可能的结果:A及,且P(A)=p,（0pc(退回价),售出一份赚a-b；退回一份赔b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多卖不完退回赔钱,购进太少不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,等于每天收入的期望,建模,设每天购进n份，日平均收入为G(n),调查需求量的随机规律每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2,准备,求n使G(n)最大,已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c,求解,将r视为连续变量,(概率密度),结果解释,取n使,a-b售出一份赚的钱b-c退回一份赔的钱,9.3随机存贮策略,问题,以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。,（s,S)存贮策略制订下界s,上界S，当周末库存小于s时订货，使下周初的库存达到S;否则，不订货。,考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略,使(平均意义下)总费用最小,模型假设,每次订货费c0,每件商品购进价c1,每件商品一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3(c1c3),每周销售量r随机、连续，概率密度p(r),周末库存量x,订货量u,周初库存量x+u,每周贮存量按x+u-r计,建模与求解,（s,S)存贮策略,确定(s,S),使目标函数每周总费用的平均值最小,平均费用,订货费c0,购进价c1,贮存费c2,缺货费c3,销售量r,s订货点，S订货值,建模与求解,1）设xs,求u使J(u)最小，确定S,建模与求解,2）对库存x，确定订货点s,若订货u,u+x=S,总费用为,若不订货,u=0,总费用为,建模与求解,最小正根的图解法,J(u)在u+x=S处达到最小,I(x)在x=S处达到最小值I(S),I(x)图形,建模与求解,9.4轧钢中的浪费,轧制钢材两道工序,粗轧(热轧)形成钢材的雏形,精轧(冷轧)得到钢材规定的长度,粗轧,钢材长度正态分布,均值可以由轧机调整,方差由设备精度确定,粗轧钢材长度大于规定,切掉多余部分,粗轧钢材长度小于规定,整根报废,问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小,背景,分析,设已知精轧后钢材的规定长度为l，粗轧后钢材长度的均方差为,记粗轧时可以调整的均值为m，则粗轧得到的钢材长度x为正态随机变量，记作xN(m,2),切掉多余部分的概率,整根报废的概率,存在最佳的m使总的浪费最小,P,建模,选择合适的目标函数,粗轧一根钢材平均浪费长度,粗轧N根,选择合适的目标函数,粗轧一根钢材平均浪费长度,得到一根成品材平均浪费长度,更合适的目标函数,优化模型：求m使J(m)最小（已知l,）,建模,粗轧N根得成品材PN根,实际上，J（m）恰好是平均每得到一根成品材所需钢材的长度,求解,求z使J(z)最小（已知）,求解微分法求极值,例,设l=2(米),=20(厘米)，求m使浪费最小。,=l/=10,求解,算出再代入即得到的最优值,9.5随机人口模型,背景,一个人的出生和死亡是随机事件,一个国家或地区,平均生育率平均死亡率,确定性模型,一个家族或村落,出生概率死亡概率,随机性模型,对象,X(t)时刻t的人口,随机变量.,Pn(t)概率P(X(t)=n),n=0,1,2,研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差,若X(t)=n,对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设,1)出生一人的概率与t成正比，记bnt;出生二人及二人以上的概率为o(t).,2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).,3)出生和死亡是相互独立的随机事件。,bn与n成正比，记bn=n,出生概率；dn与n成正比，记dn=n，死亡概率。,进一步假设,模型假设,建模,为得到Pn(t)=P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).,事件X(t+t)=n的分解,X(t)=n-1,t内出生一人,X(t)=n+1,t内死亡一人,X(t)=n,t内没有出生和死亡,其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，),概率Pn(t+t),Pn-1(t)bn-1t,Pn+1(t)dn+1t,Pn(t)1-bnt-dnt,o(t),一组递推微分方程求解的困难和不必要,(t=0时已