《数列模型及应用》PPT课件

新课标高中一轮总复习,第五单元数列、推理与证明,第36讲,数列模型及应用,1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题.2.掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法.,1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是（）,B,A.63B.65C.67D.71,设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为an，则有a1=2，an+1=2an-1，即=2.所以数列an-1是首项为1，公比为2的等比数列.因此，an-1=2n-1，即an=2n-1+1.所以a7=26+1=65.,2.在一个凸多边形中，最小内角为120，各内角度数成等差数列，公差为5，则这一凸多边形的边数为(),A,A.9B.16C.9或16D.9或10,设凸多边形边数为n,其内角和为180(n-2),依题意,有n120+n(n-1)5=180(n-2),化简得n2-25n+144=0，解得n=9或n=16.当n=16时，最大内角为120+(16-1)5=1950,180)，故n=16舍去，当n=9时,最大内角为120+(9-1)5=160.,3.若=110(xN*),则x=.,10,因为1+3+5+(2x-1)=x2，+=1-+-+-=,所以=110，即x(x+1)=110，解得x=10.,4.椭圆+=1上有n个不同的点P1，P2，Pn，椭圆的右焦点为F，数列|PnF|是公差不小于的等差数列，则n的最大值为(),D,A.198B.199C.200D.201,|P1F|a-c=1,|PnF|max=a+c=3,所以1+(n-1)d3,所以n-1,因为d,100,所以n-1200,故n201.,5.弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有(),B,A.3颗B.4颗C.8颗D.9颗,熟悉正四面体的特征，由题设构造模型：第k层为k个连续自然数的和；化简通项再用分组求和法.依题设,第k层正四面体为1+2+3+k=,则前k层共有(12+22+k2)+(1+2+k)=60,k最大为6,剩下4颗,故选B.,1.数列实际应用题常见的数学模型(1)复利公式.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r,存期为x期，则本利和y=.(2)单利公式.利用按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=.,a(1+r)x,a+arx,(3)产值模型.原来产值的基数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=.(4)递推与猜证型递推型有an+1=f(an)与Sn+1=f(Sn)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并根据题设条件加以证明.2.数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与函数、数列与解析几何等,N(1+p)x,例1,题型一等差、等比数列的实际应用,某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(参考数据：1.0510=1.629,1.310=13.786,1.510=57.665),甲方案是等比数列,乙方案是等差数列,甲方案获利：1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9=42.63(万元)，银行贷款本息：10(1+5%)1016.29(万元)，故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34(万元)，,乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5)=101+0.5=32.50(万元);银行本息和：1.051+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)9=1.0513.21(万元)，故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29(万元);综上可知，甲方案更好.,这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.,例2,题型二数列与平面向量等的综合,已知点A(1,0),B(0,1)和互不相同的点列P1,P2,P3,Pn,且满足=an+bn(nN*),其中an、bn分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点.(1)求a1,b1的值；(2)讨论:点P1，P2，P3，,Pn,是否共线.,(1)因为P1是线段AB的中点，所以=+,又=a1+b1,且,不共线，由平面向量基本定理，知a1=b1=.(2)由=an+bn(nN*)，得=(an,bn).设an的公差为d，bn的公比为q,则由于P1,P2,P3,Pn,互不相同，所以d=0,q=1不会同时成立.,1若d=0且q1，则an=a1=(nN*)P1,P2,P3,Pn,都在直线x=上；2若q=1且d0，则bn=为常数列P1,P2,P3,Pn,都在直线y=上；3若d0且q1，P1,P2,P3,Pn,共线=(an-an-1,bn-bn-1)与=(an+1-an,bn+1-bn)共线(n1,nN*)(an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0(bn+1-bn)=(bn-bn-1)q=1,与q1矛盾，所以当d0且q1时,P1,P2,P3,Pn,不共线.,本题是数列与平面向量综合的基本题型，以平面向量共线为载体构造数列递推关系或等式，从而得到数列通项及属性，使得问题得到解决.,例3,题型三数列与算法的创新整合,读下列算法，指出当输入的四个数依次为1,1,0,0时，输出的结果是什么？S1：输入a,b,c,n；S2：n=n+1；S3：a=2a；S4：b=b+2；S5：c=c+ab；S6：若c500，则转S2；S7：输出n，c.,从数列的角度看算法，则S3可以看作an+1=2an；S4可以看作bn+1=bn+2；S5可以看作cn+1=cn+anbn，输入的四个数依次为1,1,0,0，即a0=1,b0=1,c0=0,n=0,故an=2n，bn=2n+1,cn=a1b1+a2b2+anbn=32+522+723+(2n+1)2n.因为c1=32=6,c2=6+54=26,c3=26+78=82,c4=82+916=226,c5=226+1132=578500,执行S7,故输出的结果是5,578.,数列中的递推关系与算法中的循环结构简直就是“天造地设的一对”，同学们应重视.,某个网络QQ群体中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，n，且在哈哈镜中，每个同学看到的像可用数对(p,q)(p0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn).(1)求数列xn与yn的通项公式；(2)证明:x1x3x5x2n-1sin.,曲线Cn:(x-n)2+y2=n2是圆心为(n,0),半径为n的圆,切线ln:y=kn(x+1).(1)依题意有=n,解得kn2=.又切点为(xn,yn),得xn2-2nxn+yn2=0,yn=kn(xn+1),联立可解得xn=,yn=.,(2)证明：由(1)知，=,sin=sin.先证:x1x3x5x2n-1.运用数学归纳法:当n=1时,x1=,命题成立;假设n=k时,命题成立,即x1x3x5x2k-1,则当n=k+1时,x1x3x5x2k-1x2k+11,故=.所以,当n=k+1时,命题成立.故x1x3x5x