坐标系与参数方程

.坐标系与参数方程学校:_姓名：_班级：_考号：_1.在平面直角坐标系中，以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），（）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？（）设曲线与曲线的交点为， ， ，当时，求的值2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数， ），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值3.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（ 为参数），以为极点， 轴的正半轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点（）求曲线的普通方程及的直角坐标方程；（）在极坐标系中， 是曲线的两点，求的值.4.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）。以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系。（）求曲线C的极坐标方程；（）设交于异于原点的A，B两点，求AOB的面积。5在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标方程为.（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线与曲线的两个交点为，求的值.6已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）把的参数方程式化为普通方程， 的极坐标方程式化为直角坐标方程；（）求与交点的极坐标7.在平面直角坐标系中，抛物线的方程为（1）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点， ，求的斜率8将圆为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线(1)求出的普通方程；(2)设直线： 与的交点为， ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.9以直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（ 为参数， ），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于， 两点，当变化时，求的最小值.10.以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于两点，求的值.11在极坐标系中，已知点，直线为.（1）求点的直角坐标与直线的普通方程；（2）求点到直线的距离.12.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求13.在平面直角坐标系中，以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），（）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？（）设曲线与曲线的交点为， ， ，当时，求的值14.已知直线l的参数方程为x=1+12ty=3+3t（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sin-3cos2=0（）求曲线C的直角坐标方程；（）写出直线l与曲线C交点的一个极坐标15.已知直线l的参数方程为x=1+12ty=3+3t（t为参数）在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为:sin-3cos2=0（）求曲线C的直角坐标方程；（）写出直线l与曲线C交点的一个极坐标16.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为(3,2)，半径为1 的圆（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围17.在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求的极坐标方程；（）直线的极坐标方程是记射线：与分别交于点，与交于点，求的长18.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合, 设点O为坐标原点, 直线l:x=ty=2+2t(参数tR)与曲线C的极坐标方程为cos2=2sin.（1）求直线l与曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点, 证明：OAOB=0.19.已知在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数）（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）直线的坐标方程是，且直线与圆交于两点，试求弦的长20.已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中为参数）（）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆M上的点到直线的距离的最小值.参考答案7(1) 见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标间的转化公式，可得的直角坐标方程.(2) 由直线参数方程的几何意义得，可得解.试题解析：(1) 由得，该曲线为椭圆. （2）将代入得，由直线参数方程的几何意义，设， ，所以，从而，由于，所以. 8（1）， （2）或【解析】试题分析：（1）消去参数得到的普通方程为利用可以把的极坐标方程化为直角坐标方程（2）把的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为，利用得到因为直线与椭圆是相离的，所以或，分类讨论就可以得到相应的值解析：（1）由曲线的参数方程，消去参数 ，可得 的普通方程为： 由曲线的极坐标方程得， 曲线的直角坐标方程为 （2）设曲线上任意一点为 ， ，则点到曲线 的距离为， ， ，当时， ，即；当时， ，即或点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的9（1）， .（2）【解析】试题分析：题设给出了曲线的参数方程，利用消去参数就能得到的普通方程，它为椭圆方程.对于曲线，题设只给出了圆心的位置和圆上一点，根据它们可以到圆心的坐标和半径，从而可得圆的直角坐标方程.在（2）中，因为两点的极角相差，故先求出的极坐标方程，得到极径与极角的关系，即可求出和为.解析：（1） 曲线的参数方程为 （为参数），则普通方程为，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点，所以曲线在直角坐标系中的圆心为，半径为，其普通方程为.（2）曲线的极坐标方程为，所以，所以.10(1) ;(2) 【解析】试题分析：（）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程；（）将代入曲线C的极坐标方程得到A，B两点的极坐标分别为， ，故可得,利用 可得AOB的面积。试题解析：（）将的参数方程化为普通方程为，即 曲线的极坐标方程为 （）把代入，得，点A的极坐标为 把代入，得， 点B的极坐标为 11(1) ， .(2)6.【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得P点的直角坐标，消去参数可得曲线C的普通方程为；（2）本问考查直线参数方程标准形式下t的几何意义，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，根据几何意义有，于是可以求出的值.试题解析：(1)由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标，所以，消去参数的曲线的普通方程为： .(2)点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：，设其两个根为， ，所以： ， ，由参数的几何意义知： .12（）；（） 与交点的极坐标分别为.【解析】试题分析：（）曲线 的参数方程利用消去参数化为普通方程把代入可得极坐标方程; （）曲线 的极坐标方程为，化为直角坐标方程： 联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出试题解析：（）将消去参数，化为普通方程，即的普通方程为，由，得，再将代入，得，即的直角坐标方程为.（）由解得或所以与交点的极坐标分别为.13（1）;(2) 1或-1【解析】试题分析：(1)把抛物线的方程可利用公式化成极坐标方程；（2）由直线的参数方程求出直线的极坐标方程，再将的极坐标方程代入的极坐标方程，根据即可求出直线的斜率.试题解析：（1）由可得，抛物线的极坐标方程；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，设所对应的极径分别为，将的极坐标方程代入的极坐标方程得,（否则，直线与抛物线没有两个公共点）于是，由得，所以的斜率为1或-114（1）（2）【解析】试题分析：（1）本问首先应用伸缩变换公式，根据公式可以得到变化后的参数方程为（为参数），即，于是可以根据画为普通方程；（2）将曲线的普通方程与直线的方程联立，可以解方程组，方程组的解分别为两点坐标，于是可以求出直线的斜率及中点坐标，根据垂直关系可以求出线段的垂直平分线的方程，然后根据极坐标与直角坐标互化公式，即得到直线的极坐标方程.试题解析：(1)设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，则有 (2) 解得： 所以则线段的中点坐标为，所求直线的斜率，于是所求直线方程为.化为极坐标方程得： ，即15（1）（2）2【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标互化公式，根据可得，所以曲线C的直角坐标方程为 ；（2）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，即将直线参数方程的标准形式，代入到曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，设两点对应的参数分别为，列出， ， ，于是可以求出的最小值.试题解析：（I）由由，得曲线 的直角坐标方程为（II）将直线的参数方程代入，得设两点对应的参数分别为则， ， 当时， 的最小值为2.考点：1.极坐标方程；2.参数方程.16（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据将曲线极坐标方程化为直角坐标方程： （2）根据直线参数方程几何意义得，所以将直线参数方程代入曲线方程，利用韦达定理代入化简得结果试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，于是点P在AB之间，考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义17（1）x+y- =0 （2）3【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标互化公式可得，点的直角坐标为；（2）首先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，即，于是问题转化为求点A到直线的距离，根据点到直线距离公式可求.试题解析：（1）点化成直角坐标为.直线，化成直角坐标方程为，即.（2）由题意可知，点到直线的距离，就是点到直线的距离，由距离公式可得.18（1）直线的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程为;（2）.【解析】试题分析：（）根据极坐标与直角坐标互化公式，曲线C的直角坐标方程为，即，消去直线中的参数t，得到直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程；（）本问考查直线参数方程标准形势下的几何意义，设的参数方程为，（ 为参数），代入曲线C的直角坐标方程，可以根据求解.试题解析：（）直线的直角坐标方程为所以直线的极坐标方程为又因为曲线的极坐标方程为所以曲线的直角坐标方程为化简得（）因为直线与直线平行，又在直线上， 直线的参数方程为，（ 为参数），将它代入曲线的方程中得所以考点：1.极坐标；2.参数方程.方法点睛：经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），若A，B为直线上两点，其对应参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：（1）；（2）；（3）；（4）.19(1) 见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标间的转化公式，可得的直角坐标方程.(2) 由直线参数方程的几何意义得，可得解.试题解析：(1) 由得，该曲线为椭圆. （2）将代入得，由直线参数方程的几何意义，设， ，所以，从而，由于，所以. 20（）y-3x2=0;（）(2,3)【解析】试题分析：（1）将x=cos ，y=sin 代入sin-3cos2=0，即可求出曲线C的直角坐标方程.（2）将x=1+12ty=3+3t代入y-3x2=0，即可求出直线l与曲线C的交点坐标.试题解析：（）sin-3cos2=0sin-32cos2=0即y-3x2=0.（）将x=1+12ty=3+3t代入y-3x2=0得，3+3t-3(1+12t)2=0即t=0,交点坐标为(1,3)交点的一个极坐标为(2,3)21（）y-3x2=0;（）(2,3).【解析】试题分析: （1）将x=cos，y=sin代入sin-3cos2=0，即可求出曲线的直角坐标方程.（2）将x=1+12ty=3+3t代入y-3x2=0，即可求出直线l与曲线C的交点坐标。试题解析:（）sin-3cos2=0sin-32cos2=0即y-3x2=0（）将x=1+12ty=3+3t代入y-3x2=0得，3+3t-3(1+12t)2=0即t=0从而，交点坐标为(1,3)所以，交点的一个极坐标为(2,3).22（1）x2+(y-3)2=1;（2）1,5.【解析】试题分析: （1）由cos2+sin2 =1消去参数可得C1的直角坐标方程，根据圆的性质可得到C2的直角坐标方程；（2）设M(2cos,sin),，根据两点间距离公式可得到|MC2|，由-1sin1得到|MC2|的取值范围，从而得到|MN|的取值范围.试题解析：（1）消去参数可得C1的直角坐标方程为x24+y2=1.曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3)，C2的直角坐标方程为x2+(y-3)2=1 （2）设M(2cos,sin),则|MC2|=(2cos)2+(sin-3)2=4cos2+sin2-6sin+9=-3sin2-6sin+13=-3(sin+1)2+16.-1sin1，|MC2|min=2,，|MC2|max=4.根据题意可得|MN|min=2-1=1,，|MN|max=4+1=5,即|MN|的取值范围是1,523（）；（）2【解析】试题分析：（）把 代入圆C的参数方程为 (为参数)，消去参数化为普通方程，把代入可得圆C的极坐标方程（）设 ，联立，解得 ；设 ，联立，解得 ，可得 试题解析：解：（）消去参数，得到圆的普通方程为，令代入的普通方程，得的极坐标方程为，即 5分（）在的极坐标方程中令，得，所以在的极坐标方程中令，得，所以所以 10分考点：1.参数方程化成普通方程；2.简单曲线的极坐标方程24（1）l：y=2x+2，C：x2=2y；（2）见解析【解析】试题分析：（1）在直线l的参数方程利用代入消元法消去t即可得到其普通方程，将曲线C的极坐标方程两边同乘，然后利用互化公式即可求得其普通方程；（2）设出点A,B的坐标，然后联立直线l与曲线C的普通方程，从而利用韦达定理可使问题得证试题解析：（1）由直线l的参数方程消去t得普通方程y=2x+2,由曲线C的坐标方程两边同乘p,得曲线C的普通方程x2=2y.（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=2x+2x2=2y,消去y得,x1+x2=4,x1x2=-4