复数典型例题原

.例1 当m为何实数时，复数；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数。解：（1）z为实数，则虚部，即解得m=2 m=2时，z为实数（2）z为虚数，则虚部，即解得且（3）z为纯虚数解得 当时，z为纯虚数例3 求同时满足下列条件的所有复数z：（1）是实数，且。（2）z的实部和虚部都是整数。解：设且则由（1）知是实数，且 即或又当b=0时，*化为无解。当时，*化为 由（2）知 相应的，（舍），因此，复数z为：或例4 设复数，且，。又复数w使为实数，问复数w在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形，并说明理由。分析与解答：设，由题，且 ，且记已知u为实数 即 w在复平面上所对应的点Z的集合是以（0，1）为圆心，1为半径的圆又 除去（0，2）点。例5 设虚数，满足（1）若又是一个实系数一元二次方程的两根，求。（2）若（i为虚数单位，），复数，求的取值范围。解：（1） 是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设且，则由得即：根据复数相等， 解得或 或（2）由于， 由于且，可解得，令，在上，是减函数 例6 已知复数z满足，求z。方法一：设，则即由复数相等得解得或 或方法二： 即 是纯虚数或0可令则即 或故或例7 已知复数z满足且，求z的值。解：设，由已知得 （1） 依题意得由（3）得或（1）当时，由（1）知但与（2）矛盾 ，即（2）当时，由（1）得把值代入（2）均成立综上可知：，例8 设为共轭复数，且，求和。解： 为共轭复数 设则由得，即 ，；，；，；，。例9 已知关于x的方程有实数根b。（1）求实数的值；（2）若复数满足，当z为何值时有最小值，并求出的最小值。解：（1） 是方程的实根 （2）设 即整理，得 复数对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆。如图所示连结圆心和原点O，并延长交圆于点P，当复数z为点P对应的复数时,最小可求得 ,【模拟试题】1. 已知关于x的实系数方程的两虚根为,且，则的值为 。2. 已知，其中，求x= ，y= 。3. 。4. 已知，且，求满足时，点的轨迹方程 。5. 计算（1）（2）（3）6. 计算：（1）（2）7. 设，计算： 【试题答案】1. 2. ；43. 4. 5. 解析：（1）原式=（2）（3）6. 解析：（1）（2）令，则，于是7. 解析：因为所以，从而，所以，原式2010年高考数学选择题试题分类汇编复数（2010湖南文数）1. 复数等于A. 1+I B. 1-i C. -1+i D. -1-i（2010浙江理数）（5）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（A） （B）（C） （D）解析：可对选项逐个检查，A项，故A错，B项，故B错，C项，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题（2010全国卷2理数）（1）复数（A） （B） （C） （D）【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】.（2010陕西文数）2.复数z=在复平面上对应的点位于A(A)第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义，所以点（位于第一象限（2010辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数，则（A） (B) (C) (D) 【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由可得，所以，解得，故选A。（2010江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2C. x=1，y=1 D. x=1，y=2【答案】 D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得，没有虚部，x=1,y=2.（2010安徽文数）(2)已知，则i()= (A) (B) (C) (D)2.B【解析】，选B.【方法总结】直接乘开，用代换即可.（2010浙江文数）3.设i为虚数单位，则(A)-2-3i(B)-2+3i(C)2-3i(D)2+3i解析：选C，本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题（2010山东文数）（2）已知，其中为虚数单位，则A. B. 1 C. 2 D. 3答案：B（2010北京文数）在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 （A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i答案：C（2010四川理数）（1）i是虚数单位，计算ii2i3（A）1 （B）1 （C） （D）解析：由复数性质知：i21故ii2i3i(1)(i)1答案：A（2010天津文数）(1)i是虚数单位，复数=(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。（2010天津理数）（1）i 是虚数单位，复数(A)1i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。（2010广东理数）2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1z2=（ ）A4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.32. A（2010福建文数）4是虚数单位,等于 ( )Ai B-i C1 D-1【答案】C【解析】=,故选C【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力（2010全国卷1理数）(1)复数(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13（2010山东理数）(2) 已知（a,bR），其中i为虚数单位，则a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B【解析】由得,所以由复数相等的意义知,所以1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。1.（2010安徽理数）1、是虚数单位， A、B、C、D、1.B【解析】，选B.【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.2. （2010福建理数）（2010湖北理数）1若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是AE B.F C.G D.H 1【答案】D【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，1），故D正确.导数一 导数的概念（一）导数的定义1.导数的原始定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2导函数的定义：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 （二）导数的实际意义：1.导数的几何意义：是曲线上点()处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点()处的切线方程为2.导数的物理意义：导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。（三）概念部分题型：1.利用定义求函数的导数 主要有三个步骤：(1)求函数的改变量(2)求平均变化率(3)取极限，得导数 2.利用导数的实际意义解题主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。二 导数的运算（一）常见函数的导数1 2 3 4 5 6 7 8（二）导数的四则运算 1和差：2积： 3商： （三）复合函数的导数：1运算法则复合函数导数的运算法则为：2复合函数的求导的方法和步骤：求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。 求复合函数的导数的方法步骤：(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数 三 导数的应用（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。1.导数和函数单调性的关系： (1)若(x)0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若(x)0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，(x)0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；(x)0时,和s总是趋向于一个定值,则该定值便称为函数在上的定积分,记为，即 其中, 称为函数在区间的积分和.2、定积分的几何意义定积分在几何上,当时,表示由曲线、直线、直线与轴所围成的曲边梯形的