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,第三节,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,二、定积分的分部积分法,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,一、定积分的换元法,定理1.设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,则,说明:,1)当,即区间换为,定理1仍成立.,2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,配元不换限,例1.计算,解:令,则,原式=,且,例2.计算,解:令,则,原式=,且,例3.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,例4.计算,解:,原式=,例5.证明,证:令,n为偶数,n为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立.,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限配元不换限边积边代限,思考与练习,1.,提示:令,则,2.设,解法1,解法2,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示:两边求导,得,得,3.设,求,解:,(分部积分),备用题,1.证明,证：,是以为周期的函数.,是以为周期的周期函数.,解：,
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