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第三章晶格振动与晶体的热学性质,晶格振动:原子在格点附近的振动。热学性质,杜隆珀替经验规律：一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT，摩尔热容量3Nk3R（经典理论结果）；但在较低温度下，热容量随着温度的降低而下降。,实际上：晶格振动还是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础；晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等都有密切关系,晶格中原子间存在相互作用力，各原子振动相互联系着的，在晶体中形成了各种模式的波,简谐近似下，这些模式是相互独立的,这些谐振子的能量量子，称为声子；晶格振动的总体可看作是声子的系综,由于晶格周期性，模式所取的能量值是分立的；用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式,3.1简谐近似和简正坐标,简谐近似:只考虑最近邻原子之间的相互作用，将原子在平衡位置的振动看成简谐振动（线性近似）,研究对象:由N个质量为m的原子组成的晶体,偏离平衡位置的位移矢量,原子的瞬时位置：,第n个原子的平衡位置（格点位置）,3个方向上的分量,原子位移宗量,N个原子的位移矢量共有3N个分量,N个原子体系的势能函数:（用标量表示）。在平衡位置按泰勒级数展开,取,平衡位置,不计高阶项,系统的势能函数,系统的哈密顿量,系统的势能函数,系统的动能函数,应用上式求解系统的问题，由于存在坐标的交叉项而变得非常困难,引入简正坐标,（原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来）,系统的哈密顿量：,拉格朗日函数：,正则动量：,由于动能为正定的，根据线性代数理论，总可以找到这样的变换，使得,系统的哈密顿量,正则方程,3N个独立的方程,简正坐标方程解,正则动量,只考察某一个振动模,固体中的原子是一个具有相互作用的多粒子复杂系统，通过引入简正坐标，而将系统简化为3N个相互独立的震动模式。,简正振动：晶体中所有原子参与振动，振动频率相同,振动模：简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动,正则动量算符,系统薛定谔方程,相关量子理论,任意一个简正坐标,谐振子方程,能量本征值,本征态函数,厄密多项式,系统能量本
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