材料力学讲义材料力学第5章

177 第五章 材 料 力 学 第一节 概 论 材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供了 有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸和形状， 以达到安全与经济的设计要求。 一、材料力学的基本思路 （一）理论公式的建立 理论公式的建立思路如下： （二）分析问题和解决问题 分析问题和解决问题思路如下： 178 二、杆的四种基本变形 杆的四种基本变形如表 51 所列。 表 5 1 杆 的 四 种 基 本 变 形 类型 轴向拉伸（压缩） 剪 切 扭 转 平 面 弯 曲 外 力 特 点 横 截 面 内 力 轴力 N 等于截面一侧 所有轴向外力代数和 剪力 Q 等于 P 扭矩 T 等于截面一侧 对 x 轴外力偶矩代数和 弯矩 M 等于截面 一侧外力对截面形 心力矩代数和 剪力 Q 等于截面 一侧所有竖向外力 代数和 应 力 分 布 情 况 均布 假设均布 线性分布 线性分布 抛物线分布 应 力 公 式 N A = s Q A = bs bs bs P A = p T I = z M y I = * z z QS bI = 强 度 条 件 max max N A = s bs bsbs bs Q A P A = = max max p T W = max max z M W = * maxmax max z z QS bI = 变 形 公 式 Nl l EA = p Tl GI = 4 c 5 384 z ql f EI = 3 A 24 z ql EI = 刚 度 条 件 max max p T GI = max ff ll max 应 变 能 2 2 N l U EA = 2 p 2 T l U GI = 纯弯 2 2 z M l U EI = 非纯弯 2( ) d 2 l z Mx Ux EI = 三、材料的力学性质 在表 51 所列的强度条件中，为确保构件不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应 力 max不超过材料的某个限值。显然，该限值应小于材料的极限应力 u，可规定为极限应 力 u的若干分之一，并称之为材料的许用应力，以或表示，即 179 u n = （51） 式中 n 是一个大于 1 的系数，称为安全 系数，其数值通常由设计规范规定；而极限 应力 u则要通过材料的力学性能试验才能确 定。这里主要介绍典型的塑料性材料低碳钢 和典型的脆性材料铸铁在常温、静载下的力 学性能。 （一） 低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性 质 低碳钢（通常将含碳量在 0.3%以下的钢 称为低碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时 的 曲线如图 51 所示。 从图 51 中拉伸时的 曲线可看出， 整个拉伸过程可分为以下四个阶段。 1. 弹性阶段（Ob 段） 在该段中的直线段（Oa）称线弹性段，其斜率即为弹性模量 E，对应的最高应力值 P 为比例极限。在该段应力范围内，即 P，虎克定律 =E 成立。而 ab 段，即为非线性 弹性段， 在该段内所产生的应变仍是弹性的， 但它与应力已不成正比。 b 点相对应的应力 e 称为弹性极限。 2. 屈服阶段（bc 段） 该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变成分，除弹 性应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点 S称为屈服极限。这时，试件 上原光滑表面将会出现与轴线大致成 45的滑移线，这是由于试件材料在 45的斜截面上 存在着最大剪应力而引起的。对于塑性材料来说，由于屈服时所产生的显著的塑性变形 将会严重地影响其正常工作，故 S是衡量塑性材料强度的一个重要指标。对于无明显屈 服阶段的其他塑性材料，工程上将产生 0.2%塑性应变时的应力作为名义屈服极限，并用 0.2表示。 3. 强化阶段（ce 段） 在该段，应力又随应变增大而增大，故称强化。该段中的最高点 e 所对应的应力乃材 料所能承受的最大应力 b，称为强度极限，它是衡量材料强度（特别是脆性材料）的另一 重要指标。在强化阶段中，绝大部分的变形是塑性变形，并发生“冷作硬化”的现象。 4. 局部变形阶段（ef 段） 在应力到达 e 点之前，试件标距内的变形是均匀的；但当到达 e 点后，试件的变形就 开始集中于某一较弱的局部范围内进行， 该处截面纵向急剧伸长， 横向显著收缩， 形成 “颈 缩” ；最后至 f 点试件被拉断。 试件拉断后，可测得以下两个反映材料塑性性能的指标。 （1）延伸率 10 0 100% ll l = （52） 图 51 低碳钢拉伸、压缩的力学性质 180 式中 l0试件原长； l1拉断后的长度。 工程上规定5%的材料称为塑性材料，5%的称为脆性材料。 （2）截面收缩率 01 0 100% AA A = （53） 式中 A0变形前的试件横截面面积； A1试件拉断后的最小截面积。 低碳钢压缩时的 曲线与拉伸时对比可知，低 碳钢压缩时的弹性模量 E、比例极限 P和屈服极限 S 与拉伸时大致相同。 （二）铸铁拉伸与压缩时的力学性质 铸铁拉伸与压缩时的 曲线如图 52 所示。 从铸铁拉伸时的 曲线中可以看出，它没有明 显的直线部分。因其拉断前的应变很小，因此工程上 通常取其 曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模 量。它没有屈服阶段，也没有颈缩现象（故衡量铸铁 拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时的最大应力 b） ， 在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小， 故铸铁是一种典型的脆性材料。 铸铁压缩时的曲线与拉伸相比， 可看出这类材料的抗压能力要比抗拉能力强得多， 其塑性变形也较为明显。破坏断口为斜断面，这表明试件是因 max的作用而剪坏的。 综上所述，对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限 S（或名义屈服极限 0.2） 作为极限应力 u的值；而对脆性材料制成的杆，应该取强度极限 b作为极限应力 u 的值。 第二节 轴 向 拉 伸 与 压 缩 一、轴向拉伸与压缩的概念 （一）力学模型 轴向拉压杆的力学模型如图 53 所示。 （二）受力特征 作用于杆两端外力的合力，大小相等、方向相 反，并沿杆件轴线作用。 （三）变形特征 杆件主要产生轴线方向的均匀伸长（缩短） 。 二、轴向拉伸（压缩）杆横截面上的内力 （一）内力 由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力。 图 52 铸铁拉伸、压缩的力学性质 图 53 轴向拉压杆的力学模型 P轴向拉力或压力 181 （二）截面法 截面法是求内力的一般方法，用截面法求内力的步骤如下。 （1）截开。在需求内力的截面处，假想地沿该截面 将构件截分为二。 （2）代替。任取一部分为研究对象，称为脱离体。用 内力代替弃去部分对脱离体的作用。 （3）平衡。对脱离体列写平衡条件，求解未知内力。 截面法的示意图如图 54 所示。 （三）轴力 轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力，以 N 表示。 轴力 N 规定以拉力为正，压力为负。 （四）轴力图 轴力图表示沿杆件轴线各横截面上轴力变 化规律的图线。 例 5 1 试作图 55（a）所示等直杆的轴 力图。 解：先考虑外力平衡，求出支反力 R=10kN 显然 NAB=10kN， NBC=50kN， NCD=5kN， NDE=20kN 由图 55（b）可见，某截面上外力的大小 等于该截面两侧内力的变化。 三、轴向拉压杆横截面上的应力 分布规律：轴向拉压杆横截面上的应力垂 直于截面，为正应力，且正应力在整个横截面 上均匀分布，如图 56 所示。 正应力公式 N A = （54） 式中 N 轴力，N； A 横截面面积，m2。 应力单位为 N/m2，即 Pa，也常用 1MPa=106Pa=1N/mm2。 四、轴向拉压杆斜截面上的应力 斜截面上的应力均匀分布，如图 57 所示，其总应力及应力分量如下。 总应力 0cos N p A = （55） 正应力 2 0 =coscosp= （56） 图 54 截面法的示意图 图 55 例 51 图 （a）外力图； （b）轴力图 182 图 56 正应力在整个横截面上均匀分布 图 57 斜截面上的应力均匀分布 剪应力 0 sinsin2 2 p = （57） 式中 由横截面外法线转至斜截面外法线的夹角，以逆时针转动为正； A 斜截面 mm 的截面积； 0 横截面上的正应力。 拉应力为正，压应力为负。以其对截面内一点产生顺时针力矩时为正，反之为 负。 轴向拉压杆中最大正应力发生在 =0 的横截面上，最小正应力发生在 =90 的纵截 面上，其值分别为 max=0 min=0 最大剪应力发生在 =45的斜截面上，最小剪应力发生在 =0的横截面和 =90的 纵截面上，其值分别为 0 max 2 = min 0 = 五、强度条件 （一）许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。 塑性材料 S S n = （58） 脆性材料 b b n = （59） 式中 S 屈服极限； b 抗拉强度； nS、nb 安全系数。 （二）强度条件 构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。轴向拉压杆的强度条件为 183 max max N A = （510） 强度计算的三类问题： （1）强度校核 max max N A = （2）截面设计 max N A （3）确定许可荷载 NmaxA，再根据平衡条件，由 Nmax计算P 。 六、轴向拉压杆的变形 虎克定律 （一）轴向拉压杆的变形 杆件在轴向拉伸时，轴向伸长，横向缩短，见图 58；而在轴向压缩时，轴向缩短， 横向伸长。 轴向变形 L=LL （511） 轴向线应变 L L = （512） 横向变形 a=aa （513） 横向线应变 a a = （514） （二）虎克定律 当应力不超过材料比例极限时，应力与应变成正比，即 =E （515） 式中 E材料的弹性模量。 或用轴力及杆件变形量表示为 NL L EA = （516） 式中 EA杆的抗拉（压）刚度，表示杆件抵抗拉、压弹性变形的能力。 （三）泊松比 当应力不超过材料的比例极限时，横向线应变 与纵向线应变 之比的绝对值为一常 数，即 = （517） 泊松比 是材料的弹性常数之一，无量纲。 图 58 轴向拉杆的变形 184 第三节 剪 切 和 挤 压 一、剪切的实用计算 （一）剪切的概念 力学模型如图 59 所示。 （1）受力特征。构件上受到一对大小相等、方向相反，作 用线相距很近，且与构件轴线垂直的力作用。 （2） 变形特征。 构件沿两力的分界面有发生相对错动的趋势。 （3）剪切面。构件将发生相对错动的面。 （4）剪力 Q。剪切面上的内力，其作用线与剪切面平行。 （二）剪切实用计算 （1）名义剪应力。假定剪应力沿剪切面是均匀分布的，若 AQ为剪切面面积，Q 为剪力，则 Q Q A = （518） （2）许用剪应力。按实际构件的受力方式，用试验的方法求得名义剪切极限应力 0， 再除以安全系数 n。 （3）剪切强度条件。剪切面上的工作剪应力不得超过材料的许用剪应力 Q Q A = （519） 二、挤压的实用计算 （一）挤压的概念 （1）挤压。两构件相互接触的局部承压作用。 （2）挤压面。两构件间相互接触的面。 （3）挤压力 Pbs。承压接触面上的总压力。 （二）挤压实用计算 （1）名义挤压应力。假设挤压力在名义挤压面上均匀分布，即 bs bs bs P A = （520） 式中 Abs名义挤压面面积。 当挤压面为平面时，名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积；当挤压面为曲面时， 则名义挤压面面积取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投影面积。 （2）许用挤压应力。根据直接试验结果，按照名义挤压应力公式计算名义极限挤压应 力，再除以安全系数。 （3）挤压强度条件。挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力，即 bs bsbs bs P A = （521） 图 59 剪切的力学模型 185 三、剪应力互等定理与剪切虎克定律 （一）纯剪切 若单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力，称为纯 剪切。 纯剪切引起剪应变 ， 即相互垂直的两线段间角度的改 变。 （二）剪应力互等定理 在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应 力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线（见图 510） ，即 = （522） （三）剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力 与剪应变 成正比，即 =G （523） 式中 G材料的剪切弹性模量。 对各向同性材料，E、G、 间只有两个独立常数，即 2(1) E G = + （524） 第四节 扭 转 一、扭转的概念 （一）扭转的力学模型 扭转的力学模型，如图 511 所示。 （1）受力特征。杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反， 作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。 （2）变形特征。杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任 意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。 （3）扭转角。杆件任意两横截面间相对转动的角度。 （二）外力偶矩的计算 轴所传递的功率、转速与外力偶矩（kNm）间有如下关系 9.55 P m n = （525） 式中 P 传递功率，kW； n 转速，r/min。 二、扭矩和扭矩图 （1）扭矩。受扭杆件横截面上的内力是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩， 用 T 表示，见图 512，其值用截面法求得。 （2）扭矩符号。扭矩 T 的正负号规定，以右手法则表示扭矩矢量，若矢量的指向与截 面外向法线的指向一致时扭矩为正，反之为负。图 512 中所示扭矩均为正号。 图 510 纯剪切单元体 图 511 扭转力学模型 186 （3）扭矩图。表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图实例见参考习 题 535。 三、圆杆扭转时的剪应力与强度条件 （一）横截面上的剪应力 （1）剪应力分布规律。横截面上任一点的剪应力，其方向垂直于该点所在的半径，其 值与该点到圆心的距离成正比，见图 513。 图 512 扭矩及其正负号规定 图 513 圆杆扭转时横截面上的剪应力 （2）剪应力计算公式。横截面上距圆心为 的任一点的剪应力 为 P T I = （526） 横截面上的最大剪应力发生在横截面周边各点处，其值为 max PP TT R IW = （527） （3）剪应力公式的讨论： 1）公式适用于线弹性范围（max） ，小变形条件下 的等截面实心或空心圆直杆。 2）T 为所求截面上的扭矩。 3）IP称为极惯性矩，WP称为抗扭截面系数，其值与截 面尺寸有关，实心圆截面图 514（a） 4 P 3 P 32 16 d I d W = = （528） 空心圆截面图 514（b） 4 4 P 3 4 P (1) 32 (1) 16 D I D W = = （529） 图 514 圆截面 （a）实心； （b）空心 187 其中 d D = （二）圆杆扭转时的强度条件 强度条件：圆杆扭转时横截面上的最大剪应力不得超过材料的许用剪应力，即 max max P T W = （530） 由强度条件可对受扭杆进行强度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的计算。 四、圆杆扭转时的变形 刚度条件 （一）圆杆的扭转变形计算 单位长度扭转角 (rad/m) P d d T xGI = （531） 扭转角 (rad) P d L T x GI = （532） 若在长度 L 内，T、G、IP均为常量时 P TL GI = （533） 式（533）适用于线弹性范围，小变形下的等直圆杆。GIP表示圆杆抵抗扭转弹性变形 的能力，称为抗扭刚度。 （二）圆杆扭转时的刚度条件 刚度条件：圆杆扭转时的最大单位长度扭转角不得超过规定的许可值 max(/m)，即 max max P 180 T GI = （534） 由刚度条件，同样可对受扭圆杆进行刚度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的 计算。 第五节 截面图形的几何性质 一、静矩与形心 对图 515 所示截面 d d z A y A Sy A Sz A = = （535） 静矩的量纲为长度的三次方。 对于由几个简单图形组成的组合截面 112233c 1 12233c z y SA yA yA yAy SA zA zA zA z =+= =+= ?i ?i （536） 形心坐标 188 112233 c 123 1 1223 3 c 123 z y A yA yA yS y AAAA SAzA zA z z AAAA + = + + = + ? ? ? ? （537） 显然，若 z 轴过形心，yc=0，则有 Sz=0，反之亦 然；若 y 轴过形心，zc=0，则有 Sy=0，反之亦然。 二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积 对图 515 所示截面，对 z 轴和 y 轴的惯性矩为 2 2 d d z A y A IyA IzA = = （538） 惯性矩总是正值，其量纲为长度的四次方，亦可写 成 2 2 zz yy IAi IAi = = （539） z z y y I i A I i A = = （540） iz、iy称为截面对 z、y 轴的惯性半径，其量纲为长度的一次方。 截面对 0 点的极惯性矩为 2 P d A IA= （541） 因 2=y2+z2，故有 IP=Iz+Iy，显然 IP也恒为正值，其量纲为长度的四次方。 截面对 y、z 轴的惯性积为 d yz A Iyz A= （542） Iyz可以为正值，也可以为负值，也可以是零，其量纲为长度的四次方。若 y、z 两坐标 轴中有一个为截面的对称轴，则其惯性积 Iyz恒等于零。 常用截面的几何性质见表 52。 表 5 2 常用截面的几何性质 项目 矩 形 图 形 空 心 圆 箱 形 截面 图形 图 515 截面图形 189 续表 项目 矩 形 图 形 空 心 圆 箱 形 截面 的几 何性 质 A=bh 3 12 z bh I = 3 12 y hb I = Iyz=0 2 3 z h i= 2 3 y b i= 22 , 66 yz bhhb WW= 2 4 AD= 4 64 yzI ID= 4 P 32 ID= Iyz=0 4 z y D ii= 3 32 y z WWD= 3 P 16 WD= 22 (1) 4 AD= 44 (1) 64 yzI ID= 44 P (1) 32 ID= 0, zy d I D = 22 4 zy Dd ii + = 34 (1) 32 y z WWD= 34 P (1) 16 WD= A=BHbh 33 12 z BHbh I = 33 12 y HBhb I = Iyz=0 注 图形中的 c 为截面形心；公式中 Wz、Wy为抗弯截面系数，WP为抗扭截面系数。 三、平行移轴公式 若已知任一截面图形（图 516）形心为 c，面积为 A，对形心轴 zc和 yc的惯性矩为 Izc 和 Iyc、惯性积为 Iyczc，则该图形对于与 zc轴平行且相距为 a 的 z 轴及与 yc轴平行且相距为 b 的 y 轴的惯性矩和惯性积分别为 2 2 zzc yc y yzyczc IIa A IIb A AI= Iab =+ =+ + （543） 显然，在图形对所有互相平行的轴的惯性矩中，以形 心轴的惯性矩为最小。 四、主惯性轴和主惯性矩、形心主（惯性）轴和形心 主（惯性）矩 若截面图形对通过某点的某一对正交坐标轴的惯性 积为零，则称这对坐标轴为图形在该点的主惯性轴，简称 主轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。显然，当 任意一对正交坐标轴中之一轴为图形的对称轴时， 图形对 该两轴的惯性积必为零，故这对轴必为主轴。 过截面形心的主惯性轴，称为形心主轴。截面对形心 主轴的惯性矩称为形心主矩。 杆件的轴线与横截面形心主 轴所组成的平面，称为形心主惯性平面。 第六节 弯曲梁的内力、应力和变形 一、平面弯曲的概念 弯曲变形是杆件的基本变形之一。以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。 图 516 具有平行轴的截面图形 190 （1）弯曲变形特征。任意两横截面绕垂直杆轴线的轴做相对转动，同时杆的轴线也弯 成曲线。 （2）平面弯曲。荷载作用面（外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面）与弯曲平 面（即梁轴线弯曲后所在平面）相平行或重合的弯曲。 产生平面弯曲的条件： 1）梁具有纵对称面时，只要外力（横向力或外力偶）都作用在此纵对称面内。 2）非对称截面梁。 纯弯曲时，只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平面（即梁的轴线与其横截面的形心 主惯性轴所构成的平面）平行的平面内。 横力弯曲时，横向力必须通过横截面的弯曲中心，并在与梁的形心主惯性平面平行的 平面内。 二、梁横截面上的内力分量剪力与弯矩 （一）剪力与弯矩 （1）剪力。梁横截面上切向分布内力的合力，称为剪力，以 Q 表示。 （2）弯矩。梁横截面上法向分布内力形成的合力偶矩，称为弯矩，以 M 表示。 （3）剪力与弯矩的符号。考虑梁微段 dx，使右侧截面对左侧截面产生向下相对错动的 剪力为正，反之为负；使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩为正，反之为负，如图 517 所示。 图 517 梁的内力 （a）截面法求梁的内力； （b）剪力和弯矩正负号的规定 （4）剪力与弯矩的计算。由截面法可知，梁的内力可用直接法求出： 1）横截面上的剪力，其值等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在横截面方向 的投影代数和，且左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正剪力，反之则引起 负剪力。 2）横截面上的弯矩，其值等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截面形心的力 矩代数和，且向上外力均引起正弯矩，左侧梁上顺时针转向的外力偶及右侧梁上逆时针转 向的外力偶引起正弯矩，反之则产生负弯矩，如图 518 所示。 191 图 518 直接法求梁的内力 （a）产生正号剪力的外力； （b）产生正号弯矩的外力和外力矩 例 5 2 如图 519 所示，求 11 截面和 22 截面的内力。 解：先求支反力，0 B M= , (224)20640(104)2 30 kN 0,20104 30 kN A A yAB B F F FFF F +=+ = =+=+ = （） （） 直接法求内力， 1 20302010 kN A QF=（） 1 42023044080 kN m A MF=i（） 2 104403010 kN B QF=（） 2 4(104)23048040 kN m B MF=i（） （二）内力方程剪力方程与弯矩方程 （1）剪力方程。表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的函数，称为剪力方程， 表示为 Q=Q(x) （2）弯矩方程。表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，称为弯矩方程， 表示为 M=M(x) （三）剪力图与弯矩图 （1）剪力图。表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的图线，称为剪力图。 （2）弯矩图。表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，称为弯矩图。 三、荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用 （一）微分关系 若规定荷载集度 q 向上为正，则梁任一横截面上的剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系 2 2 d d d d d d Q q x M Q x M q x = = = （544） 当以梁的左端为 x 轴原点，且以向右为 x 正轴，并规定剪力图以向上为正轴，而弯矩 图则取向下为正轴时， 可将工程上常见的外力与剪力图和弯矩图之间的关系列在表 53 中。 图 519 例 52 图 192 表 5 3 几种常见外力与剪力图和弯矩图间的关系 梁上 外力 情况 特殊点 剪力 图 Q 在集中力作用 处发生突变，突 变方向、大小与 P 相同 无影响 无集中力作用 的端点 Q=0 弯矩 图 M 在集中力作用 处发生转折（斜 率改变） 在m作用处发 生突变，突变大 小与 m 相同 无集中力偶作 用的简支端、自 由端、中间铰 M=0 利用表 53 可以快速地作出剪力图和弯矩图。 （二）快速作图法 （1）求支反力，并校核。 （2）根据外力不连续点分段。 （3）定形：根据各段梁上的外力，确定其 Q、M 图的形状。 （4）定量：用直接法计算各分段点、极值点的 Q、M 值。 例 5 3 作图 520（a）所示悬臂梁的剪力图、弯矩图。 解：见图 520。 例 5 4 由图 521（b）所示梁的剪力图，画出梁的荷载图和弯矩图。 （梁上无集中力 偶作用） 。 解：见图 521。 图 520 例 53 图 图 521 例 54 图 （a）受力图； （b）剪力图； （c）弯矩图 （a）受力图； （b）剪力图； （c）弯矩图 193 四、弯曲正应力 正应力强度条件 （一）纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。 （二）中性层与中性轴 （1）中性层。杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。 （2）中性轴。中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。 （3）中性轴位置。当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过横截面形 心，且垂直于荷载作用平面。 （4）中性层的曲率。杆件发生平面弯曲时，中性层（或杆轴）的曲率与弯矩间的关系为 z 1M EI = （545） 式中 变形后中性层（或杆轴）的曲率半径； EIz 杆的抗弯刚度，轴 z 为横截面的中性轴。 （三） 平面弯曲杆件横截面上的正应力 分布规律：正应力的大小与该点至 中性轴的垂直距离成正比， 中性轴一侧 为拉应力， 另一侧为压应力， 如图 522 所示。 计算公式如下，任一点应力 z M y I = （546） 最大应力 maxmax zz MM y IW = （547） 其中 z z max I W y = （548） 以上式中 M 截面上的弯矩； Iz 截面对其中性轴的惯性矩； Wz 抗弯截面系数，其量纲为长度的三次方，常用截面 Wz的计算公式，如表 52 所示； y 计算点与中性轴间的距离。 （四）梁的正应力强度条件 在危险截面上 max z M W = （549） 或 maxmaxt z maxmaxc z M y I M y I + = = （550） 图 522 弯曲梁横截面上正应力分布 194 式中 材料的许用弯曲正应力； t 材料的许用拉应力； c 材料的许用压应力； max y+、 max y 分别为最大拉应力 max + 和最大压应力 max 所在的截面边缘到中性轴 z 的距 离。 五、弯曲剪应力与剪应力强度条件 （一）矩形截面梁的剪应力 两个假设： （1）剪应力方向与截面的侧边平行。 （2）沿截面宽度剪应力均匀分布（见图 523） 。 计算公式 * z z QS bI = （551） 式中 Q 横截面上的剪力； b 横截面的宽度； Iz 整个横截面对中性轴的惯性矩； * z S 横截面上距中性轴为 y 处横线一 侧的部分截面对中性轴的静矩。 最大剪应力发生在中性轴处 max 33 22 QQ bhA = （552） （二）其他常用截面梁的最大剪应力 工字形截面 * zmax max z QS I d = （553） 其中 d 为腹板厚度，工字型钢中，Iz/ * zmax S可查型钢表。 圆形截面 max 4 3 Q A = （554） 环形截面 max 2 Q A = （555） 最大剪应力均发生在中性轴上。 （三）剪应力强度条件 梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力，即 * zmaxmax max z QS bI = （556） 式中 Qmax 全梁的最大剪力； 图 523 矩形截面梁剪应力的分布 （a）沿截面宽度剪应力均匀分布； （b）沿截面高度剪应力抛物线分布 195 * zmax S 中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩； b 横截面在中性轴处的宽度； Iz 整个横截面对中性轴的惯矩。 六、梁的合理截面 梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。由弯曲正应力强度条件 max = max z M W ，可知，在截面积 A 一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数越大，梁的承载 能力就越大， 故截面就越合理。 因此就 Wz/A 而言， 对工字形、 矩形和圆形三种形状的截面， 工字形最为合理，矩形次之，圆形最差。此外对于t=c的塑性材料，一般采用对 称于中性轴的截面，使截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。 对于tc的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面，如 T 形、 形等，使最大拉 应力 t max和最大压应力 c max同时达到t和c ，如图 524 所示。 图 524 横截面上正应力的分布 （a）工字形； （b）T 形 七、弯曲中心的概念 在横向力作用下，梁分别在两个形心主惯性平面 xy 和 xz 内弯曲时，横截面上剪力 Qy 和 Qz作用线的交点，称为截面的弯曲中心，也称为剪切中心。 当梁上的横向力不能过截面的弯曲中心时，梁除了发生弯曲变形外还要发生扭转 变形。 弯曲中心的位置仅取决于截面的几何形状和大小，它与外力的大小和材料的力学性质 无关。弯曲中心实际上是截面上弯曲剪应力的合力作用点，如表 54 所示。因此，弯曲中 心的位置有以下特点： 表 5 4 几种薄壁截面的弯心位置 项次 1 2 3 4 5 6 7 截面 形状 196 续表 项次 1 2 3 4 5 6 7 弯心 A 的 位置 与形心 重合 22 112 4z b ht e I = e=r0 在两个狭长矩形中线的交点 与形心重合 （1）具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合。 （2）有一个对称轴的截面，其弯曲中心必在此对称轴上。 （3）若薄壁截面的中心线是由相交于一点的若干直线段所组成，则此交点就是截面的 弯曲中心。 八、梁的变形挠度与转角 （一）挠曲线 在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑的弹 性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。在平面弯曲 下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线 v=f（x） ，见图 525。 （二）挠度与转角 梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位 移，它包括挠度和转角两部分。 （1）挠度。梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，记作 v。沿梁轴各 横截面挠度的变化规律，即为梁的挠曲线方程，即 v=f（x） （2）转角。横截面相对原来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作 。小变形 情况下 d tan d v v x = 此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。 （三）挠曲线近似微分方程 在线弹性范围、小变形条件下，挠曲线近似微分方程为 2 2 z d( ) d vM x xEI = （557） 式（557）是在图 525 所示坐标系下建立的。挠度 v 向下为正，转角 顺时针转为 正。 九、积分法计算梁的变形 根据挠曲线近似微分方程（557） ，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程 z d( ) d d ( ) d d i vM x xC xEI M x vx x CxD EI = + = + 图 525 梁的挠度与转角 197 其中，积分常数 C、D 可由梁的边界条件来确定。当梁的弯矩方程需分段列出时，挠 曲线微分方程也需分段建立、分段积分。于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。 为了确定全部积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的连续条件（在分界 点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等） 。 十、用叠加法求梁的变形 （一）叠加原理 几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角，等于各个荷载单独作用下同一截面 挠度或转角的总和。 （二）叠加原理的适用条件 叠加原理仅适用于线性函数。要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满足以下 条件： （1）材料为线弹性材料。 （2）梁的变形为小变形。 （3）结构为几何线性。 （三）叠加法的特征 （1）各荷载同时作用下的挠度、转角等于各荷载单独作用下挠度、转角的总和，应该 是几何和，同一方向的几何和即为代数和。 （2）梁在简单荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册，参见表 55。 表 5 5 几种常用梁在简单荷载作用下的变形 序号 支承和荷载作用情况 梁 端 转 角 最 大 挠 度 1 B ml EI = 2 2 B ml f EI = 2 2 2 B Pl EI = 3 3 B Pl f EI = 3 3 6 B ql EI = 4 8 B ql f EI = 4 3 6 A B Ml EI Ml EI = = 2 2 16 C l x Ml f EI = = 处 198 续表 序号 支承和荷载作用情况 梁 端 转 角 最 大 挠 度 5 2 16 AB Pl EI = = 3 2 48 C l x Pl f EI = = 处 6 3 24 AB ql EI = = 4 2 5 384 C l x ql f EI = = 处 （3）叠加法适宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。 第七节 应力状态与强度理论 一、点的应力状态及其分类 （1）定义：受力后构件上任一点沿各个不同方向上应力情况的集合，称为一点的应力 状态。 （2）单元体选取方法： 1）分析构件的外力和支座反力； 2）过研究点取横截面，分析其内力； 3）确定横截面上该点的 、 的大小和方向。 （3）主平面：过某点的无数多个截面中，最大（或最小）正应力所在的平面称为主平 面，主平面上剪应力必为零。 （4）主应力：主平面上的最大（或最小）正应力。 （5）点的应力状态分类：对任一点总可找到三对互相垂直的主平面，相应地存在三个 互相垂直的主应力，按代数值大小排列为 123。若这三个主应力中，仅一个不为零， 则该应力状态称为单向应力状态；如有两个不为零，称为二向应力状态；当三个主应力均 不为零时，称为三向应力状态。 二、二向应力状态 （一）斜截面上的应力 1. 解析法 平面应力状态如图 526 所示,设其 x、y、x为已知，则任意斜截面（其外法线 n 与 x 轴夹角为 ）上的正应力和剪应力分别为 cos2sin2 22 sin2cos2 2 xyxy x xy x + =+ =+ （558） 199 式（558）中应力的符号规定为：正应力以拉应力为正，压应力为负；剪应力对单元体内 任意点的矩为顺时针者为正，反之为负； 的符号规定为由 x 轴转到外法线 n 为逆时针者 为正，反之为负。 2. 图解法应力圆 首先，按下列方法画应力圆（见图 527） ：按一定比例尺在 轴上取横坐标OF=x， 在 轴上取纵坐标FD=x，得 D 点；量取OH=y，HE=y，得 E 点；连接 D、E 两点的直 线，与 x 轴交于 C 点（此点即为应力圆的圆心） ；以 C 点为圆心，CD或CE为半径作圆， 此圆即为应力圆。 然后，以 CD 为单元体 x 轴的基准线，沿逆时针方向量2角度，画其射线，此射线与 应力圆的交点 G 的横坐标和纵坐标，即为单元体斜截面上的正应力 和剪应力 。 图解法的步骤可以用 16 个字概括如下：点面对应，先找基准，转向相同，夹角两倍。 图 526 平面应力状态单元体 图 527 应力圆 （二）主应力、主平面 1. 解析法 根据理论推导，平面应力状态（见图 526）的主应力计算公式为 2 max 2 min22 yy xx x + =+ （559） 主平面所在截面的方位 0可由下式确定 0 2 tan2 x yx = （560） 同时满足该式的两个角度 1和 3相差 90， 其中 1和 3分别对应于主应力 1和 3（设 2=0，则 1=max，3=min，否则按代数值排列） 。若式（560）中的负号放在分子上，按 tan20的定义确定 20的象限， 即设 =arctan 2 x yx ， 则 20分别为 （第象限） ， 180 （第象限） ，180+（第象限）和（第象限） ，这样得到的 0即为 1的值。 200 2. 图解法 在图 527 中 maxmin ,OAOB=，由该图可见，在应力圆上 D 点（代表法线为 x 轴的 平面）到 A 点所对的圆心角为 20（顺时针方向） ，相应地，在单元体上由 x 轴顺时针方向 量取 0，就是 max所在平面的法线位置。 （三）最大（最小）剪应力 图 527 中应力圆上 K、M 点的纵坐标即分别为 max和 min 2 max 2 min2 y x x = + （561） 显然，最大（最小）剪应力所在平面与主平面夹角为 45。 三、三向应力状态、广义虎克定律 （一）斜截面上应力、最大剪应力 在 直角坐标系下，代表单元体任何截面上应 力的点，必定在由 1和 2、2和 3、3和 1所组成的 三个应力圆（见图 528）的圆周上或由它们所围成的 阴影范围内。 理论分析证明了在三向应力状态中， 最大剪应力的 作用面与最大主应力 1和最小主应力 3所在平面成 45 ，而与 2所在平面垂直，其值为 13 max 2 = （562） （二）广义虎克定律 对各向同性材料， 在线弹性范围内， 复杂应力状态 下的应力与应变之间存在着如下的关系， 这种关系称为 广义虎克定律，即 1 () 1 () 1 () xx yz yyx z zzxy E E E =+ =+ =+ （563） 以及 yzxyxyyzx zzx GGG = （564） 在平面应力状态下， z =0，式（563）成为 1 () 1 () () xx y yxy xy z E E E = = = + （565） 由式（565）可以反解出 图 528 三向应力状态的应力圆 201 2 2 () 1 () 1 xxy y yx E E =+ =+ （566） 四、强度理论 强度理论实质上是利用简单拉压的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件的一些 假说。这些假说认为，复杂应力状态下的危险准则，是某种决定因素达到单向拉伸时同一 因素的极限值。强度理论分为两类：一类是解释材料发生脆性断裂破坏原因的，例如，最 大拉应力理论（第一强度理论）和最大伸长线应变理论（第二强度理论） ；另一类是解释塑 性屈服破坏原因的，例如，最大剪应力理论（第三强度理论）和最大形状改变比