1988考研数学一、二、三真题

刘老师考研数学 TelMail1 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 一、 （每小题 5，本题满分 15 分） 数学 一、 （每小题 5，本题满分 15 分） （1）求幂级数 1 3 3 n n n x n 的收敛域. （2）已知 2 x f xe， 1fxx ，且 0 x.求 x并写出它的定义域. （3）设S为曲面 222 1xyz的外侧， 计算曲面积分 333 S Ix dydzy dzdxz dxdy . 二、填空题： （本题满分 12 分，每小题 3 分）二、填空题： （本题满分 12 分，每小题 3 分） （1）若 2 1 lim1 t x x f tt x ，则 ft （2）设 f x是周期为 2 的周期函数，它在区间1,1上定义为 3 2, 10 ,01 x f x xx ， 则 f x的傅里叶级数在1x 处收敛于 . （3）设 f x是连续函数，且 3 1 0 x f t dtx ，则 7f . （4）设 4 阶矩阵 234 ,A ， 234 ,B ，其中， 234 , , 均为 4 维 列向量，且已知行列式4A ，1B ，则行列式AB . 三、选择题（每小题 3 分，满分 15 分） 三、选择题（每小题 3 分，满分 15 分） （1） 若函数 yf x有 0 1 2 fx， 则当0 x 时， 该函数在 0 xx处的微分dy是 （ ） （A）与x等价的无穷小 （B）与x同阶的无穷小 （C）比x低阶的无穷小 （D）比x高阶的无穷小 （2）设( )yf x是方程240yyy的一个解，若( )0f x ，且 0 ()0fx，则函 数( )f x在点 0 x （A）取得极大值 （B）取得极小值 （C）某个邻域内单调增加 （D）某个邻域内单调减少 （3）设有空间区域 2222 1: ,0 xyzR z及 2222 2:x yzR，0,0,0 xyz，则（ ） （A） 12 4xdvxdv （B） 12 4ydvydv （C） 12 4zdvzdv （D） 12 4xyzdvxyzdv 刘老师考研数学 TelMail2 （4）若 1 1 n n n ax 在1x 处收敛，则此级数在2x 处（ ） （A）条件收敛 （B） 绝对收敛 （C）发散 （D）收敛性不能确定 （5）n维向量组 12 ,3 s sn 线性无关的充分必要条件是（ ） （A）有一组不全为 0 的数 12 , s k kk，使 1122 0 ss kkk （B） 12 , s 中任意两个向量都线性无关 （C） 12 , s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 （D） 12 , s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 四、 （本题满分 6 分） 四、 （本题满分 6 分） 设 xy uyfxg yx ，其中, f g具有二阶连续导数，求 22 2 uu xy xx y . 五、 （本题满分 8 分） 五、 （本题满分 8 分） 设函数 yy x满足微分方程322 x yyye，且图形在点0,1处的切线与曲线 2 1yxx在该点的切线重合，求函数 yy x. 六、 （本题满分 9 分） 六、 （本题满分 9 分） 设位于点0,1的质点A对质点M的引力大小为 2 k r （0k 为常数，r为质点A与M之间 的距离） ，质点M沿曲线 2 2yxx自2,0B运动到0,0O.求在此运动过程中质点 A对质点M的引力所做的功. 七、 （本题满分 6 分） 七、 （本题满分 6 分） 刘老师考研数学 TelMail3 已知APPB，其中 100 000 001 B ， 100 210 211 P ，求A及 5 A. 八、 （本题满分 8 分） 八、 （本题满分 8 分） 已知矩阵 200 001 01 A x 与 200 00 001 By 相似， （1）求x与y， （2）求一个满足 1 P APB 的可逆矩阵P. 九、 （本题满分 9 分） 九、 （本题满分 9 分） 设函数 fx在区间, a b上连续，且在, a b内有 0fx.证明：在, a b内存在唯 一的，使曲线 yfx与两直线 yf，xa所围平面图形面积 1 S是曲线 yfx与两直线 yf，xb所围平面图形面积 2 S的 3 倍. 十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分）十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分） （1）设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于 19 27 ， 则事件A在一次试验中出现的概率为 （2）在区间0,1中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6 5 ”概率为 （3）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知 2 2 1 2 u x xedu ， 2.50.9938，则X落在区间9.95,10.05内的概率为 十一、 （本题满分 6 分） 十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量X的概率密度函数为 2 1 ( ) 1 X fx x ，求随机变量 3 1YX 的概率 密度函数( ) Y fy. 刘老师考研数学 TelMail4 数学 一、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） （1） 【 数学 一、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） （1） 【同数学第一（1）题】 （2） 【 】 （2） 【同数学第一（2）题】 （3） 【 】 （3） 【同数学第一（3）题】 二、填空题（本题满分 12 分，每小题 3 分） （1） 【 】 二、填空题（本题满分 12 分，每小题 3 分） （1） 【同数学第二（1）题】 （2） 【 】 （2） 【同数学第二（2）题】 （3） 【 】 （3） 【同数学第二（3）题】 （4） 【 】 （4） 【同数学第二（4）题】 三、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分） （1）【 】 三、选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分） （1）【同数学第三（1）题】 （2）（2） 【同数学第三（2）题】 （3）（3） 【同数学第三（3）题】 （4）（4） 【同数学第三（4）题】 （5）（5） 【同数学第三（5）题】 四、 （本题满分 18 分，每小题 6 分） 】 四、 （本题满分 18 分，每小题 6 分） （1）【同数学第四题】 】 （2）计算 242 12 sinsin 22 x xx xx dxdydxdy yy （3）求椭球面 222 2321xyz上某点M处的切平面的方程，使平面过已知直线 6321 : 212 xyz l . 五、 （本题满分 8 分） 【 五、 （本题满分 8 分） 【同数学第五题】 六、 （本题满分 9 分） 【 】 六、 （本题满分 9 分） 【同数学第六题】 七、 （本题满分 6 分） 【 】 七、 （本题满分 6 分） 【同数学第七题】 八、 （本题满分 8 分） 【 】 八、 （本题满分 8 分） 【同数学第八题】 九、 （本题满分 9 分） 【 】 九、 （本题满分 9 分） 【同数学第九题】 】 刘老师考研数学 TelMail5 数学 一、填空题（每小题 4 分，满分 20 分） 数学 一、填空题（每小题 4 分，满分 20 分） （1）若 sincos,0 2,0 x exxx fx xax 是, 上的连续函数，则a （2）【同数学第二（1）题】 】 （3）【同数学第二（3）题】 】 （4） 0 1 lim()tanx x x （5） 4 0 x e dx 二、选择题（每小题 4 分，满分 20 分） 二、选择题（每小题 4 分，满分 20 分） （1） 32 11 ( )61 32 f xxxx的图形在点0,1处切线与x轴交点的坐标是（ ） （A） 1 ,0 6 （B）1,0 （C） 1 ,0 6 （D）1,0 （2）若( )f x与( )g x在, 上皆可导，且( )( )f xg x，则必有（ ） （A）()()fxgx （B）( )( )fxg x （C） 00 lim( )lim( ) xxxx f xg x （D） 00 ( )( ) xx f t dtg t dt （3） 【同数学第二（1）题】 】 （4）曲线 3 2 sin, 0yxx与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转体体积是（ ） （A） 4 3 （B） 4 3 （C） 2 2 3 （D） 2 3 （5） 【同数学第三（5）题】 三、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） 三、 （本题满分 15 分，每小题 5 分） （1） 【同数学第一（2）题】 （2）已知1 xy yxe ，求0y x及0y x （3）求微分方程 2 11 1 yy xx x 的通解（一般解）. 四、 （本题满分 12 分） 四、 （本题满分 12 分） 作函数 2 6 24 y xx 的图形，并填写下表. 刘老师考研数学 TelMail6 单调增区间 单调减区间 极值点 极值 凹 区间 凸 区间 拐 点 渐近线 五、 （本题满分 8 分） 五、 （本题满分 8 分） 将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少 时，正方形与圆形的面积之和为最小？ 六、 （本题满分 10 分）六、 （本题满分 10 分）【同数学第五题（分值不同） 】 七、 （本题满分 7 分） 七、 （本题满分 7 分） 设1x ，求 1 1 | | x t dt . 八、 （本题满分 8 分） 八、 （本题满分 8 分） 设 fx在, 上有连续导数，且 mfxM. （1）求 2 0 1 lim 4 a aa f taf tadt a ； （2）证明 1 ,0 2 a a f t dtfxMm a a . 刘老师考研数学 TelMail7 数学 一、填空题（本题满分 12 分，每空 1 分） 数学 一、填空题（本题满分 12 分，每空 1 分） （一）已知函数 2 1 2 0 xt fxedt ，x （1） fx （2） fx的单调性： （3） fx的奇偶性： （4） fx图形的拐点： （5） fx图形的凹凸性： （6） fx图形的水平渐近线： （二） 1110 1101 1011 0111 （三） 1 0001 0010 0100 1000 （四）假设 0.4P A ，0.7P AB，那么 （1）若A与B互不相容，则 P B （2）若A与B相互独立，则 P B 二、判断题（本题满分 10 分，每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分， 全题最低 0 分） 二、判断题（本题满分 10 分，每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分， 全题最低 0 分） （1）若极限 0 lim xx fx 与 0 lim xx fx g x 都存在，则极限 0 lim xx g x 必存在.（ ） （2）若 0 x是函数 fx的极值点，则必有 0fx . （ ） （3）等式 00 aa fx dxf ax dx ，对任何实数a都成立.（ ） （4）若A和B都是n阶非零方阵，且0AB ，则A的秩必小于n.（ ） （5）若事件A，B，C满足等式ABBC，则AB.（ ） 三、计算下列各题（每小题 4 分，满分 16 分） 三、计算下列各题（每小题 4 分，满分 16 分） 刘老师考研数学 TelMail8 （1）求极限 1 1 lim ln x x x xx （2）已知 u uexy，求 2u x y . （3）求定积分 3 0 1 dx xx （4）求二重积分 66 0 cos y x dydx x 四、 （本题满分 6 分，每小题 3 分）四、 （本题满分 6 分，每小题 3 分） （1）讨论级数 1 1 1 ! n n n n 的敛散性 （2）已知级数 2 1 n n a 与 2 i i n b 都收敛，试证明级数 1 n n n a b 绝对收敛. 五、 （本题满分 6 分） 五、 （本题满分 6 分） 已 知 某 商 品 的 需 求 量D和 供 给 量S都 是 价 格P的 函 数 ： 2 a DD p p ， SS pbp， 其中0a 和0b 是常 数；价 格P是 时间t的 函数且 满足方 程 dp k d ps p dt ， （k 是常数） ，假设当0t 时价格为 1，试求： （1）需求量等于供给量时的均衡价格 e P； （2）价格函数 P t； （3）极限 lim t P t 六、 （本题满分 8 分） 六、 （本题满分 8 分） 在曲线 2, 0yxx上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成的面积为 1 12 ， 试求： （1）切点A的坐标； （2）过切点A的切线方程： （3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 刘老师考研数学 TelMail9 七、 （本题满分 8 分） 七、 （本题满分 8 分） 已给线性方程组 1234 1234 12134 12342 231 363 3153 51012 xxxx xxxx xxk xx xxxxk ，问 1 k和 2 k各取何值时，方程组无解？有 唯一解？无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解. 八、 （本题满分 7 分） 八、 （本题满分 7 分） 已 知 向 量 组 12 ,2 s a aas 线 性 无 关 ， 设 112 aa， 223 aa， ， 11sss aa ， 1ss aa，讨论向量组 12 , s 的线性相关性. 九、 （本题满分 6 分） 九、 （本题满分 6 分） 设A是三阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式 1 2 A ，求行列式 1 32AA 的值. 十、 （本题满分 6 分） 十、 （本题满分 6 分） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率是0.8,0.1,0.1，一顾客 欲购买一箱玻璃杯， 在购买时， 售货员随意取一箱， 而顾客开箱随机观察4只， 若无残次品， 则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 十一、 （本题满分 6 分） 十一、 （本题满分 6 分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽 查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X的概率分布； （2）利用棣莫佛拉普拉斯定理.求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. （附：(2.5)0.994,(1.5)0.993） 十二、 （本题满分 6 分） 十二、 （本题满分 6 分） 假设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布.试求随机变量 2x Ye的概率密度