数学建模专题三MonteCarlo模拟

2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,1,数学建模专题三,MonteCarlo模拟,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,2,内容提纲,1.引言2.MonteCarlo模拟基本思想3.随机数生成函数4.应用实例举例5.排队论模拟6.MonteCarlo模拟求解规划问题,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,3,引言(Introduction),MonteCarlo方法：,蒙特卡罗方法，又称随机模拟方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。亦称统计模拟方法，statisticalsimulationmethod利用随机数进行数值模拟的方法,MonteCarlo名字的由来：,MonteCarlo是摩纳哥（monaco)的首都，该城以赌博闻名,NicholasMetropolis(1915-1999),Monte-Carlo,Monaco,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,4,二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科学试验中就已发现，并加以利用。,一个简单实例,MonteCarlo方法的基本思想,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,5,举例,Buffon投针实验,1768年，法国数学家ComtedeBuffon利用投针实验估计的值,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,6,Solution,Thepositioningoftheneedlerelativetonearbylinescanbedescribedwitharandomvectorwhichhascomponents:,Therandomvectorisuniformlydistributedontheregion0,d)0,).Accordingly,ithasprobabilitydensityfunction1/d.,Theprobabilitythattheneedlewillcrossoneofthelinesisgivenbytheintegral,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,7,例1.蒲丰投针问题,利用关系式：求出值其中为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,8,一些人进行了实验，其结果列于下表：,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,9,基本思想,由上面的例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与之有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，再通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。,蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。直到电子计算机出现后，使得人们可以通过电子计算机来模拟巨大数目的随机试验过程，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,10,例1在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地点,经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50是准确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮,现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施的20次打击结果显现出来，确定有效射击的比率及毁伤敌方火炮的平均值。,分析：这是一个概率问题，可以通过理论计算得到相应的概率和期望值.但这样只能给出作战行动的最终静态结果，而显示不出作战行动的动态过程.,为了能显示我方20次射击的过程，现采用模拟的方式。,举例,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,11,需要模拟出以下两件事：,2当指示正确时，我方火力单位的射击结果情况,1观察所对目标的指示正确与否,模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2,因此，可用投掷一枚硬币的方式予以确定，当硬币出现正面时为指示正确，反之为不正确,模拟试验有三种结果：毁伤一门火炮的可能性为1/3(即2/6)，毁伤两门的可能性为1/6，没能毁伤敌火炮的可能性为1/2(即3/6),这时可用投掷骰子的方法来确定：如果出现的是、三个点：则认为没能击中敌人；如果出现的是、点：则认为毁伤敌人一门火炮；若出现的是点：则认为毁伤敌人两门火炮,问题分析,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,12,i：要模拟的打击次数；k1：没击中敌人火炮的射击总数；k2：击中敌人一门火炮的射击总数；k3：击中敌人两门火炮的射击总数；E：有效射击比率；E1：20次射击平均每次毁伤敌人的火炮数,符号说明,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,13,模拟框图,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,14,模拟结果,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,15,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,16,理论计算,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,17,结果比较,虽然模拟结果与理论计算不完全一致，但它却能更加真实地表达实际战斗动态过程,用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：,1设计一个逻辑框图，即模拟模型2根据流程图编写程序，模拟随机现象可通过具有各种概率分布的模拟随机数来模拟随机现象3分析模拟结果，计算所需要结果.,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,18,注：rand(n)=rand(n,n),Matlab中的随机数生成函数,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,19,name的取值可以是,normorNormaluniforUniformpoissorPoissonbetaorBetaexporExponentialgamorGammageoorGeometricunidorDiscreteUniform.,random(name,A1,A2,A3,M,N),Matlab中的随机数生成函数,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,20,fix(x):截尾取整，直接将小数部分舍去floor(x):不超过x的最大整数ceil(x):不小于x的最小整数round(x):四舍五入取整,Matlab中的取整函数,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,21,随机投掷均匀硬币，验证国徽朝上与朝下的概率是否都是1/2,n=10000;%给定试验次数m=0;fori=1:nx=randperm(2)-1;y=x(1);ify=0%0表示国徽朝上，1表示国徽朝下m=m+1;endendfprintf(国徽朝上的频率为：%fn,m/n);,小实例一：投掷硬币,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,22,随机投掷骰子，验证各点出现的概率是否为1/6,n=10000;m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;m6=0;fori=1:nx=randperm(6);y=x(1);switchycase1,m1=m1+1;case2,m2=m2+1;case3,m3=m3+1;case4,m4=m4+1;case5,m5=m5+1;otherwise,m6=m6+1;endend.%输出结果,小实例二：投掷骰子,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,23,用蒙特卡罗(MonteCarlo)投点法计算的值,n=100000;a=2;m=0;fori=1:nx=rand(1)*a/2;y=rand(1)*a/2;if(x2+y2MAXP时停止迭代,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,36,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,37,在Matlab软件包中编程，共需三个文件:randlp.m,mylp.m,lpconst.m.主程序为randlp.m.,%mylp.mfunctionz=mylp(x)%目标函数z=2*x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)-8*x(1)-3*x(2);%转化为求最小值问题,2020/5/20,Lxy,ChinaJiliangUniversty,38,%randlp.mfunctionsol,r1,r2=randlp(a,b,n)%随机模拟解非线性规划debug=1;a=0;%试验点下界b=10;%试验点上界n=1000;%试验点个数r1=unifrnd(a,b,n,1);%n1阶的a,b均匀分布随机