数值积分与数值微分

2020/5/20,第五章数值积分与数值微分,5.1引言,5.2Newton-Cotes公式,5.3复化求积公式,5.4龙贝格求积公式,5.5高斯型积分,5.6数值微分,2020/5/20,【本章重点】1.求积公式代数精确度定义，应用此定义建立求积公式。2.梯形公式，Simpson公式及它们的复合公式及余项表达式和误差估计。3.外推原理及Romberg求积公式。4.Gauss型求积公式及求积节点（即Gauss点）的充要条件，Gauss-Legendre求积公式与Gauss-chebyshev求积公式。5.求积公式收敛性与稳定性概念和基本结论。,2020/5/20,【课前思考】1什么是代数精确度？如何确定和验证求积公式的代数精确度和验证求积公式的代数精确度次数？如何利用代数精确度概念确定求积公式系数与节点？2写出梯形公式、Simpson公式及复合梯形公式及复合Simpson公式和它们的截断误差。复合梯形公式和复合Simpson公式的误差是步长h的几阶小量？若给定误差，如何根据复合求积公式的误差估计求积区间等分数3什么是Gauss型求积公式？什么是Gauss点？如何求Gauss点？,2020/5/20,1引言,一、数值求积的基本思想,1、牛顿-莱布尼兹公式,但是求函数f(x)的原函数F(x)不一定比计算积分容易，例如函数找不到用初等函数表示的原函数。,另外若给出的函数f(x)是数据表，也不好求函数的积分。,计算定积分的方法：,2020/5/20,有两种近似方法：,得到,梯形公式,另一种是矩形法，,左矩形公式,一种是梯形法，用代替,中矩形公式,右矩形公式,简称矩形公式,2020/5/20,定义：公式,叫做数值求积公式（机械求积）,其中xk称为求积节点，Ak称为求积系数,亦称伴随节点xk的权。,2020/5/20,二、代数精度的概念,2020/5/20,解：逐次检查公式是否精确成立,当f(x)=1：,=,当f(x)=x：,=,当f(x)=x2：,故：代数精度=1,2020/5/20,三、插值型的求积公式,记则上式=,2020/5/20,证明：显然对于次数不超过n次的多项式，Rf等于0，所以说明，插值型求积至少是n次代数精度的,至少具有n次代数精度，,所以用插值基函数lk(x)当作f(x)代入，上式精确成立，即：,所以,为插值型的求积,定理含有n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。,假设,2020/5/20,例2对于a,b上一次插值，有,即。考察其代数精度。,解：逐次检查公式是否精确成立,代入P0=1：,=,代入P1=x：,=,代入P2=x2：,故：代数精度=1,则积分公式,2020/5/20,四、求积公式有收敛性与稳定性,定义,2020/5/20,2020/5/20,一、柯特斯系数,注：Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到。与f(x)及区间a,b均无关。,2Newton-Cotes公式,为n阶Newton-cotes求积公式。其中：,定义：等距节点下的插值型求积公式,为cotes系数。,2020/5/20,n=1:,梯形公式,代数精度=1,n=2:,辛普森公式,代数精度=3,余项,余项,2020/5/20,由书中表知，当,时柯特斯系数出了负值，所以,故,时Newton-Cotes公式不适用。,n=4:,柯特斯公式,代数精度=5,余项,2020/5/20,二、偶数阶求积公式的代数精度,t=u+n/2,2020/5/20,几种低阶求积公式的余项,梯形公式：,辛普森公式：,构造三次插值函数H(x),满足条件：,则该函数满足三次代数精度，故辛普森公式,柯特斯公式：,2020/5/20,1、复化梯形公式,将区间a,b划分为n等分，分点xk=a+kh,h=(b-a)/n,k=0,1,n，在每个小区间xk,xk+1上采用梯形公式计算.,称为复化梯形公式,其误差为,3复化求积公式,2020/5/20,由于f(x)属于C2a,b,且,所以存在,即有,复化梯形求积公式是稳定的和收敛的。,=O(h2),2020/5/20,2复化辛普森公式,将区间a,b划分为n等分，分点xk=a+kh,h=(b-a)/n,k=0,1,n，在每个小区间xk,xk+1上采用辛普森公式计算。,若记,则得：,称为复化辛普森公式。,2020/5/20,其余项与复化梯形公式相似有：,显然有：,而由其系数为正数，也为稳定的，收敛阶数为4阶，梯形公式的收敛阶数为2阶的。,=O(h4),所以复化辛普生求积公式是收敛的。,2020/5/20,例1对于函数,，给出n=8的函数表，试用复化梯形公式,和复化辛普生公式求积分：,Excel求解,2020/5/20,例2试用复化辛普森公式求积分：,functionS=FSimpson(f,a,b,N)h=(b-a)/N;fa=feval(f,a);fb=feval(f,b);S=fb+fa;x=a;fori=1:Nx=x+h/2;fx=feval(f,x);S=S+4*fx;x=x+h/2;fx=feval(f,x);S=S+2*fx;endS=h*S/6;,functionf=f1(x)f=x/(4+x2);,f=f1;a=0;b=1;N=64;S=FSimpson(f,a,b,N),2020/5/20,一、梯形法的递推化,为了提高求积精度，可在复化求积的基础上将积分小区间xk,xk+1二分一次，增加了一个分点xk+1/2=(xk+xk+1)/2,记h=(b-a)/n，则：,4龙贝格求积公式,称之为梯形法的递推化,2020/5/20,二、龙贝格算法,由复化梯形公式的余项知：,有,即：,所以说明复化梯形公式二分前后两次计算值的线性组合就为复化辛普森求积公式。,2020/5/20,同理对辛普生公式进行二分处理，前后两次计算值的误差进行比较，,复化柯特斯公式,有,即：,2020/5/20,例3、用加速公式加工例2得到的梯形值，计算结果如：,重复同样的操作，可进一步得到龙贝格（Romberg)公式：,2020/5/20,三、理查森外推加速法,记Tn=T(h)，则T2n=T(h/2),2020/5/20,同理由,可得：,如此下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶。,2020/5/20,一般地：,上述处理方法称为理查森外推加速法。,m=1,2,表示加速次数,2020/5/20,设表示二分次后求得的梯形值：,计算步骤：,k表示二分次数，m表示加速次数,表示表示序列的m次加速值。,则：,2020/5/20,例如:地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是,这里a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则,我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长误差不超过10-5。,2020/5/20,即人造卫星轨道的周长为48708km,从而有,解：,2020/5/20,5高斯求积公式,定义：若一组节点x0xna,b,是使插值型求积公式具有2n+1次代数精度。这样的节点称为Gauss点，Ak称为Gauss系数，求积公式称为Gauss型求积公式。,一、高斯求积的一般理论,节点x0xn以及系数A0An都作为待定系数。,要使求积公式具有2n+1次代数精度，令f(x)=1,x,x2,x2n+1代入求积公式精确成立，解出xk和Ak.,2020/5/20,例：求的2点Gauss公式。,代入f(x)=1,x,x2,x3,不是线性方程组，不易求解。,从求积过程知需求解非线性方程组，可以利用正交多项式的特性来构造求积公式。,2020/5/20,证明：“”,x0xn为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。,对任意次数不大于n的多项式P(x)，P(x)wn+1(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：,=0,“”要证明x0xn为Gauss点，即要证公式对任意次数不大于2n+1的多项式f(x)精确成立，即证明：,设,求积公式是插值型,2020/5/20,证明：,是n次多项式，所以,为2n次多,项式，故高斯求积公式对其能准确成立，即有：,证毕。,2020/5/20,以勒让德多项式Pn+1(x)的根就是求积公式的Gauss点，相应的求积公式称为Gauss-Legendre公式。,若取P2(x)=1/2(3x2-1)的两个零点做节点构造求积公式,二、高斯-勒让德求积公式,两点高斯-勒让德求积公式(n=1),一点高斯-勒让德求积公式（n=0),2020/5/20,同理可以求得三点高斯-勒让德求积公式如下：,高斯-勒让德求积公式节点和系数见书中表4-7。,2020/5/20,例6:用4点高斯-勒让德求积公式计算：,解:先将区间0，/2化为-1,1，有：,再由表4-7中n=3的节点及系数值可以求得：,对于一般区间a,b应用高斯求积公式时，先用变量置换：,将它转变为-1,1上的积分.,2020/5/20,6数值微分,一、中点方法与误差分析,其中h称为步长。,中点方法,考查f(ah)在x=a处的泰勒公式：,按导数定义可以用差商近似导数，如下：,2020/5/20,所以中点公式有：,则有其中,1.从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越精确。,2.从舍入误差上来看，由于当h很小时，f(a+h)与f(a-h)很接近，所以在中点公式中，出现了两个接近的数相减，会造成有效数字的损失，所以步长h又不能太小。,例如，用中点公式求,在x=2处的一阶导数。,计算结果如书中表4-8,显然在步长为0.1时逼近效果最好，因为当f(a+h)及f(a-h)分别有舍入误差,时，f(a)的舍入误差,上限为,说明步长越小则舍入误差越大.,2020/5/20,一般用中点公式计算的误差为：,所以步长不宜太小，也不宜太大，最优步长为：,2020/5/20,二、插值型求导公式,用插值多项式来构造数值微分的基本方法：对给定的f(x)的函数表，构造对应的插值多项式Pn(x),再令去求函数微商。,常用的是在节点处带余项的数值微分公式：,2020/5/20,1、两点公式设两个节点x0,x1处的函数值为：f(x0),f(x1),求f(x0),f(x1)。,线性插值公式为,记h=x1-x0有,余项：,2020/5/20,2、三点公式设已知三点x0,x1=x0+h,x2=x0+2h上的函数值f(x0),f(x1),f(x2),求f(x0),f(x1),f(x2)。,对t求导可得：,令,由,故,令t=0,1,2，便得到三节点处的导数：,余项：,2020/5/20,同理可以得到多点插值求导公式，也可以用插值函数求高阶导数。,例如：已知函数y=f(x)的数值如下表：,用三点数值微分公式求f(1.0),f(1.1),f(1.2),解：取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,h=0.1,则:,20