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文档简介

第4章函数逼近的插值法与曲线拟和法,引言在工程实际问题计算中，常常会遇到函数值的近似计算问题。在本门课程中，数值微积分及常微分方程的数值解等，都会涉及到求函数的近似表达式问题。插值法与曲线拟合都是求函数的一个近似表达式的古老而常用的方法。,4.插值问题及代数得基本概念,插值问题,代数插值插值函数类是多种多样的，一般根据问题的特征与研究的要求来选择。最常用到的是代数函数插值，也称多项式函数插值，多项式函数形式简单，便于计算。设插值函数是次多项式,其中为待定系数，由插值条件（4.1）得其系数矩阵为Vandermonde行列式D,因为插值点互不相同，即，所以,方程组(4.3)有唯一解。定理4.1在个互异插值点处取给定值的次数不高于的代数多项式(4.2)存在且唯一。值得注意的是，尽管唯一，但其表达式的形式不唯一，一般不宜直接求解方程组(43)，因为计算量较大。,4.2Lagrange插值法,Lagrange插值法,构造插值基函数,引理1设在区间a,b上有n+1个互异节点，如果n次多项式满足则,构造插值函数Ln(x),计算机上算法实现,上式在计算机上实现容易：,Lagrange插值算法,误差估计,特例,例题,抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。（3）相应的误差估计：,仅与已知数据有关，与的原来形式无关，但余式与密切相关。若本身是一个不超过n次多项式，则,关于Langrange插值的几点说明,从角度观察，内插误差要小些，即而外插有可能误差变大，因此要慎用。Langrange插值也有其不足为了提高精度有时需增加结点，但这时原来求的全改变，也就是原来的数据不
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