投资组合的选择VIP

第7章投资组合的选择,重点与难点：资产组合的含义和计算原理；资本配置线、资本配置决策，最优资本配置；最优风险资产组合，最优配置原则。,资产组合的涵义,资产组合：投资者在金融市场的投资活动中，根据自己的风险收益偏好所选择的适合自己的几种金融工具的集合。权重：投资者选中的每种资产占全部组合的比例。风险与收益的平衡：投资者根据自己的对风险-收益偏好构建投资组合。降低投资的风险：投资组合套期保值：具有相互抵消风险的功能多样化：不要将鸡蛋放在同一个篮子里。,资产组合的计算,雨较多的年份少雨年份股市的牛市股市的熊市伞需求大减概率0.40.30.3收益率30%12%-20%E(r伞公司)=(0.430)+(0.312)+0.3(-20)=9.6%2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04=431.041/2=20.76或20.76%,资产组合的方差,投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的50%投资于收益率为3%的国库券，因此，投资者的整个资产组合的期望收益率为E(r投资者)=0.5E(r伞公司)+0.5r国库券=(0.59.6%)+(0.53%)=6.3%资产组合的标准差为投资者=0.5伞公司=0.520.76%=10.38%,冷饮的收益与风险,雨较多的年份少雨年份股市的牛市股市的熊市冷饮需求大增概率0.40.30.3收益率4%-10%30%冷饮公司的期望收益率为7.6%，方差为248.64%，标准差为15.77%。,互补组合的收益与风险,雨较多的年份少雨年份股市的牛市股市的熊市冷饮需求大增概率0.40.30.3收益率17%1%5%新组合的期望收益为8.6%，标准差为7.03%。互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好。资产组合期望收益标准差全部投资于伞公司股票9.6%20.76%一半伞股票一半国库券6.3%10.38%一半伞股票一半冷饮股票8.6%7.03%,斜方差的计算,测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)，它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。斜方差的计算公式为Cov(r伞,r冷饮)=Pr(s)r伞(s)-E(r伞)r冷饮(s)-E(r冷饮)Cov(r伞公司,r冷饮公司)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96,相关系数的计算,相关系数范围在1和+1之间，与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。(伞，冷饮)=Cov(r伞,r冷饮)/(伞冷饮)=-240.96/(20.7615.77)=-0.736另一种计算资产组合方差的公式为P2=w1212+w2222+2w1w2Cov(r1,r2)2=(0.5220.762)+(0.5215.772)+20.50.5(-240.96)=49.437.03%这与前面得出的资产组合收益的标准差一样。,投资组合的构建过程,投资组合的构建过程是由下述步骤组成的：1、需要界定适合于选择的证券范围。2、投资者还需要求出各个证券和资产类型的潜在回报率的期望值及其承担的风险。3、实际的最优化阶段，必须包括各种证券的选择和投资组合内各证券权重的确定。,风险资产与无风险资产的结构,资产配置决策主要要解决的问题是在整个资产中确定各项资产的比例。投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.75万买清华同方，19.25万买清华紫光。同方：w1=15.75/35=0.45紫光：w2=19.25/35=0.55风险组合P的权重为y，无风险组合的权重为1-y，有y=35/50=0.7(风险资产)1-y=0.3(无风险资产),风险与无风险资产的结构变化,投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投资者的投资资金的配置则为投资于股票：y=5000000.55=275000(元)投资于国库券：1-y=5000000.45=225000(元)投资者在股票投资减7.5万(35-27.5=7.5)，增买7.5万的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有清华同方：w1=2750000.55=151250(元)清华紫光：w2=2750000.45=123750(元),风险与无风险资产的结构决定,假定风险资产的期望收益为E(rP)=15%，标准差为P=22%，无风险资产组合F的收益率为rf=7%。风险资产的风险溢价为E(rP)rF=15%-7%=8%令整个资产组合C的收益率为rC，有：rc=yrp+(1-y)rf资产组合C的期望收益为：7%+y(15%-7%)=7+8y由于P=22%，有：C=yp=22y,资本配置线的形成图,资本配置线如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=15%，P=22%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=7%，P=0。,资本配置线的意义,从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为8/22=0.36，每增1单位风险，可获0.36单位收益。即每增1单位收益，将增2.75(22/8=2.75)单位风险。,资本配置线的数学表达,根据C=yp=22y，有y=c/p，将y代入有E(rc)=rf+yE(rp)-rf=rf+(c/p)E(rp)-rf=7+(8/22)c从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线，其截距为rf，斜率为8/22。该斜率也称为酬报与波动性比率。一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。,假定投资预算为300000美元，我们的投资者另外借120000美元，把所有可用资金全部投入风险资产中。y=420000/300000=1.41-y=1-1.4=-0.4，这反映出无风险资产是空头，即一个借入头寸。资产组合收益率分布仍旧展现出相同的酬报与波动性比率：E(rC)=7%+(1.48%)=18.2%,非政府投资者不能以无风险利率借入资金。借款者的违约风险使得贷款者要求更高的贷款利率。假设借入利率rBf=9%在借入资金的条件下，酬报与波动性比率，也就是资本配置线的斜率将为：E(rP)-rfB/P6/220.27。,最优资本配置推导,根据前面的公式，我们可以得到以下两式：E(rc)=rf+yE(rp)-rf2C=y22p将两式代入效用函数，有MaxU=E(rc)-0.005A2C=rf+yE(rp)-rf-0.005Ay22p(MaxU)=E(rp)-rf0.01Ay2p令导数为0，有：y*=E(rp)-rf/0.01A2p最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。,最优资本配置举例,还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A为4，求投资者的最优风险资产组合比例y*的值。有y*=15%-7%/(0.014222)=41%根据结果，应将资金的41%投资于风险资产，56%投资于无风险资产。整个资产组合的E(rc)=7%+(41%8%)=10.28%C=41%22%=9.02%3.28/9.02=0.36等于前例中的酬报与波动性比率。,最优资本配置举例,如果假定投资者的风险厌恶程度A为2，其结果为y*=15%-7%/(0.01222%2)=82.6%E(rc)=7%+(82.6%8%)=13.61%C=82.6%22%=18.96%6.61/18.96=0.36风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到13.61%，风险溢价提高到6.61%，标准差也提高了一倍，达到18.96%。,风险厌恶程度较低（A2）的投资者比风险厌恶程度较高（A4）的投资者有更高的风险资产（譬如P）的确定等价。,最优资本配置的几何表达,资产配置程序可分为两步进行：（1）确定资本配置线，（2）沿这条线找到最高效用点。,资本市场线,消极投资策略的资本配置方案为：短期国库券与股票指数的资产组合。它的资本配置线称资本市场线(CML)。美国标准普尔500的1926年至1996年的数据表明，消极的风险资产组合提供的平均风险溢价为8.7%，其标准差为20.39%，假设投资者将投资资金的71%投向与标准普尔500指数相同的收益风险特性的风险资产组合。有y*=E(rp)-rf/0.01A2p=8.74%/(0.01A20.392)=0.71A=8.74%/(0.010.7120.392)=2.96当然，这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来，美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在2-4之间。,非系统风险与系统风险,“资产组合”的风险来源:来自一般经济状况的风险对特定企业带来风险分散化的方法达到降低风险的目的,非系统风险与系统风险,在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险（marketrisk），它来源于与市场有关的因素，这种风险亦被称为系统风险（systematicrisk）或不可分散的风险（nondiversifiablerisk）。那些可被分散化消除的风险被称为独特风险（uniquerisk）、特定企业风险（firm-specificrisk）、非系统风险（nonsystematicrisk）或可分散风险（diversifiablerisk）。,股票分散化的实证研究,美国股票1960-1970年随机选样的分散化效应表股数月均收益率月均标准差与市场的相关系数R10.88%7.0%0.5420.69%5.0%0.6330.74%4.8%0.7540.65%4.6%0.7750.71%4.6%0.79100.68%4.2%0.85150.69%4.0%0.88200.67%3.9%0.89,两种风险资产的资产组合,假定投资两种风险资产，一是股票，一是债券。投资者会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。假定投资债券的资金为wD，投资股票的部分为1-wD记作wE，rD为债券收益，rE为股票收益，组合收益rp为rp=wDrD+wErEE(rp)=wDE(rp)+wEE(rE)2p=w2DD2+w2EE2+2wDwECov(rD,rE)Cov(rD,rD)=D2组合的方差还可以有以下计算公式：P2=wDwDCov(rD,rD)+wEwECov(rE,rE)+2wDwECov(rD,rE),下列矩阵提供了一个快速计算资产组合方差的方法：斜方差矩阵中的每个因子与行、列中的权重相乘，把四个结果相加，就可以得出式(5.11)中给出的资产组合方差。,尽管斜方差项是正的，资产组合的标准差仍然低于个别证券标准差的加权平均值，除非两种证券是完全正相关的。所以当=1，右边可简化为：,=1时，组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。当1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。=-1时，P=|wDD-wEE|期望收益不受各证券收益相关性的影响。因此，在其他条件不变的情况下，我们总是更愿意在资产组合中增加与现有资产低相关甚至最好是负相关的资产。,相关性对资产组合标准差的效应,标准差可以降低到0的资产恰当比例为：由于：wDD-wEE=0，所以有wD=E/(D+E)wE=D/(D+E)=1-wD以上的公式表明，当=1时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果=-1，在股票的比重为wD=E/(D+E)，债券的比重为1-wD时，组合的标准差为0，即完全无风险。,相关性效应举例,股票E(rE)为20%，方差为15%，债券E(rD)为10%，方差为10%。给定相关性下的资产组合的标准差投资比重=-1=-0.5=0.5=1wDwE收益方差收益方差收益方差收益方差1.000.0010.010.010.010.010.010.010.010.00.800.2012.03.0812.05.0412.08.9612.010.920.700.3013.01.1113.03.6813.08.8213.011.390.600.4014.00.1214.03.0614.08.9414.011.880.550.4514.50.0014.53.0314.59.0914.512.120.400.6016.01.1216.04.0616.09.9416.012.880.200.8018.06.0818.08.0418.011.9618.013.920.001.0020.015.020.015.020.015.020.015.0最小方差的资产组合(根据表中的数据，不再细分)wD0.550.550.701.00wE0.450.450.300.00E(rP)14.514.513.010.02P0.003.038.8210.0,相关性效应举例,假定股票与债券的=-0.5。计算组合方差的公式为：p2=w2DD2+w2EE2+2wDwECov(rD，rE)，用(1-wD)来替代wE，有：p2=w2DD2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)Cov(rD，rE)求出wD系数，令其等于0，有wmin(D)=E2-Cov(rD，rE)/D2+E2-2Cov(rD，rE)将前面的数据代入，由于有：Cov(rD，rZ)=DEDE，,相关性效应举例,将2D=10，2E=15代入此式，Cov(rD，rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123将此值代入，有wmin(D)=15-(-6.123)/10+15-2(-6.123)=(21.123)/(37.246)=0.567wmin(E)=1-0.679=0.433这个最小化方差的资产组合的方差为2min=(0.567210)+(0.433215)+20.5670.433(-6.123)=3.02该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。这一组合的期望收益为：E(rp)=0.56710%+0.43320%=14.33%,资产组合机会集合线E(rp)20B=-1=0.5=-0.5=110A03.163.87,不同下标准差的几何表达,股票与债券的=-1：wmin(D)=151/2/(101/2+151/2)=0.55wmin(E)=1-0.55=0.45位于图中东北方向的资产组合收益高，但风险也高。最好的取舍取决于个人的偏好。,资产配置线BE(rp)15%B资产配置线A14.33%A机会集合线6.5%1.74%1.79%,三种资产的资产组合,上图的说明,两条CAL以rf=6.5%为起点，通过A,B两点。A点代表了在股票与债券的=-0.5时具有最小方差组合A，该组合债券比例为56.7%，股票比例为43.3%。它的E(r)为14.33%(风险溢价为7.88%)，为1.74%。由于无风险利率为6.5%，酬报与波动性比率，即资本配置线的斜率为:SA=E(rA)-rf/A=(14.33-6.5)/1.74=4.5B点，=-0.5,债券股票各50%，E(r)=15%(风险溢价为8.5%)，=1.79%。斜率为：SB=E(rB)-rf/B=(15-6.5)/1.79=4.75由于B的斜率大于A，B更优。相同方差更高收益。两条线切点所对应的组合P最优。,资产配置线E(rp)6.5%机会集合线0,最优组合的几何表达,最优值的计算,目的是找出wD，wE值，以获得斜率最大的资本配置线。因此，目标函数就是斜率，即SP，Sp=E(rp)-rf/p只要满足权重和=1，就可以求斜率的最大值，有MaxSp=E(rp)-rf/p因为wI=1，将E(rp)=wDE(rD)+wEE(rE)代入，有MaxSp=wDE(rD)+wEE(rE)-rf/p将P2=wD2D2+wE2E2+2wDwEDEE代入上式，有MaxSp=wDE(rD)+wEE(rE)-rf/wD2D2+wE2E2+2wDwEDEE用1-wD代替wE，有：MaxSp=wDE(rD)+(1-wD)E(rE)-rf/wD2D2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)DEE用wD对Sp求导，令导数为零，有wD=E(rD)-rfE2-E(rE)-rfCov(rD,rE)/E(rD)-rfE2+E(rE)-rfD2-E(rD)-rf+E(rE)-rfCov(rD,rE)wE=1-wD,最优值的计算,把上例中的数据代入，得到的解为wD=10-6.515-20-6.5(-6.123)/10-6.515+20-6.510-10-6.5+20-6.5(-6.123)=46.7%wE=1-0.46.7=53.3%这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为E(rP)=(0.46710)+(0.53320)=15.33%2min=(0.467210)+(0.533215)+(20.4670.533-6.123)=3.39%这个最优资产组合的资本配置线的斜率为SP=E(rp)-rf/p=(15.33-6.5)/1.84=4.80这也是资产组合P的酬报与波动性比率，这是资产组合P可以得到的最大的斜率，因此也是投资者可以得到的最优资本配置线的斜率。,最优值的计算,风险资产与无风险资产的比率为：y*=E(rp)-rf/0.01A2p，假定A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为y=E(rp)-rf/0.01A2p=(15.33-6.5)/(0.0143.39)=65.12由于风险太小，应将其资产的100%全投向风险资产。只有A大于261的时候，投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产。假定A=300，有y=(15.33-6.5)/(0.013003.39)=86.82%1-y=13.12%即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的86.82%投向股票与债券，13.12%投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为46.7%，股票在风险资产中的比例为53.3%，因此，在全部投资资金中应有(46.7%86.82%=)40.55%投资于债券，(53.3%86.82%=)46.28%投资于股票，剩下的13.12%投向国库券。,E(rp)资产配置线全部资产最优组合P最优风险资产组合C6.5%机会集合线0,三资产最优组合的几何表达,构建资产组合的步骤：1)确定所有各类证券的回报特征（例如期望收益、方差、斜方差等）。2)建造风险资产组合：