数学必修二关于直线与方程的完整ppt课件

.,1,3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率,第三章直线与方程,.,2,笛卡儿（1596-1650）：法国数学家、物理学家和哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”.,几何问题,代数化,.,3,观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？,.,4,1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（重点）2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.（难点）4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式（重点、难点）,.,5,思考1已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？,y,不确定.过一个点有无数条直线.,这些直线有何区别？,它们的倾斜程度不同,如何描述直线的倾斜程度？,.,6,x,y,o,规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.,l,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.,直线倾斜角的范围为：,一、直线的倾斜角,.,7,思考2直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？,平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;,倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;,倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.,x,y,O,l,l,l,.,8,思考3确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素是什么？,x,y,o,【提示】直线上的一个定点及它的倾斜角二者缺一不可,P,l,.,9,思考4日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？,.,10,3m,3m,坡度越大，楼梯越陡,.,11,“坡度（比）”是“倾斜角”的正切值.,.,12,二、直线斜率的定义,通常用小写字母k表示，即,一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope).,倾斜角不是90的直线都有斜率.,注意：,.,13,如图，若为锐角，,思考5已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？,结论：当时，斜率k0.,.,14,若为钝角，,结论：当,.,15,同样，当的方向向上时，也有成立.,说明：此公式与两点坐标的顺序无关.,.,16,思考6当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时，还适用吗？为什么？,O,适用,.,17,O,思考7当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公式还适用吗？,不适用，因为分母为0，斜率不存在.,.,18,三、斜率公式,公式特点：,(1)与两点坐标的顺序无关.,(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角.,(3)当x1=x2时,公式不适用,此时=90.,经过两点的直线的斜率公式,.,19,例1如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.,O,x,A,C,B,分析：直接利用公式求解.,.,20,由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角,斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为0，倾斜角为0；斜率不存在时，倾斜角为直角.,.,21,例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.,x,y,解：设A1（x1,y1）是l1上任意一点，根据斜率公式有,即x1=y1.,设x1=1，则y1=1，于是A1的坐标是（1,1）过原点及点A1（1,1）的直线即为l1,分析：找出直线上异于原点的点.,O,.,22,同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线，l3是过原点及点A3（1，2）的直线，l4是过原点及点A4（1，-3）的直线,x,y,O,l1,.,23,1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于()A.-1B.1C.-3D.3解：选C.因为又A，B，C三点共线，所以kAB=kAC，即解得：x=-3.,.,24,2设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，为45；当135180时，为135,D,.,25,3.请标出以下直线的倾斜角.,x,y,O,x,y,O,x,y,O,.,26,4.已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角.(1)A(a,c),B(b,c).(2)C(a,b),D(a,c).(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).,.,27,5.画出经过点（0,2），且斜率为2与-2的直线.,y,解：斜率为2的直线经过（0,2），（-1,0）两点；,斜率为-2的直线经过（0,2），（1,0）两点.,.,28,1.直线倾斜角的定义及其范围：,2.斜率k与倾斜角之间的关系：,3.斜率公式：,“几何问题代数化”的思想.,.,29,不是每一粒种子都能发芽，不是每一段路程都铺满鲜花，不过不要忘记，乌云遮不住太阳的光华。,.,30,3.1.2两条直线平行与垂直的判定,.,31,平面内两条直线有哪些位置关系？,平行或相交,.,32,能否通过斜率来判断两条直线的位置关系？,x,y,O,.,为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.,.,33,1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件.（重点）2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直.（难点）,.,34,x,y,O,.,35,.,36,x,y,O,解析：斜率均不存在的两条直线平行或重合.,.,37,一、两条直线平行的判定,特别地，两直线的倾斜角都为90时，它们互相平行或重合.,公式成立的条件：两直线不重合；两直线的斜率均存在.,设两条直线与的斜率分别为，,.,38,例1已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.,解:直线BA的斜率,直线PQ的斜率,.,39,例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.,分析：判断两组对边是否分别平行.,.,40,y,l1,O,x,l2,反之，成立,可得,.,41,x,y,o,若一条直线的倾斜角为90,另一条直线的倾斜角为0,则两直线互相垂直.,.,42,二、两条直线垂直的判定,特别地：一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直.,两直线的斜率均存在.,.,43,例3已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系.,解：直线AB的斜率,直线PQ的斜率,分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.,.,44,例4已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断ABC的形状.,分析：结合图形可猜想ABBC，ABC为直角三角形.,.,45,1.已知直线l1过点A(-1，1)和B(-2,-1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若l1l2,则a的值为()A.-2B.2C.0D.解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1l2，可知a=-2.,.,46,2.直线l的倾斜角为30，若直线l1l，则直线l1的斜率k1=_；若直线l2l,则直线l2的斜率k2=_.解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan30=因为l1l，所以k1=k=.因为l2l,所以k2k=-1,答案：,.,47,3.若直线l经过点(a-2,-1)和点(-a-2,1)且与经过点(-2，1)，斜率为的直线垂直，则实数a的值为_.,.,48,4.判断下列各对直线平行还是垂直：（1）经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1，与经过点P(1,0)且斜率为-1的直线l2.（2）经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点M（1，-4）且斜率为-5的直线l4.,解：（1）垂直.,解：（2）垂直.,.,49,5.已知A(1，2),B(-1,0),C(3,4)三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？,分析：证明两直线斜率相等且有公共点.,.,50,“几何问题代数化”的思想.,1.两条直线平行的判定：,（两条直线不重合且斜率均存在）.,2.两条直线垂直的判定：,（两条直线不重合且斜率均存在）,.,51,不是什么人都可以交往的，慎交朋友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心。,.,52,3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程,.,53,如何确定高架桥直线桥面的确切位置呢？,.,54,(1)已知两点可以确定一条直线.,在平面直角坐标系内如何确定一条直线呢？,(2)已知直线上的一点和这条直线的一个方向（斜率或倾斜角）可以确定一条直线.,斜率公式：,（x1x2）,.,55,1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围.（重点）2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.（难点）3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.4.会利用直线方程判断直线平行或垂直.,.,56,思考1已知直线l经过已知点P0（x0，y0），并且它的斜率是k，P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,那么x，y满足什么关系？,关于x,y的方程,.,57,思考2满足方程y-y0=k(x-x0)的所有点P(x,y)是否都在直线l上?为什么？,.,58,由直线上一定点和直线的斜率确定的直线方程，叫直线的点斜式方程.,直线的点斜式方程,成立的条件：直线的斜率存在.,x,y,O,l,.,59,思考3已知直线l经过已知点P0（x0，y0），且它的斜率不存在，直线l的方程是什么？,x,y,O,.,60,思考4当直线l的倾斜角是0时，直线l的方程是什么？,x,O,y,.,61,思考5x轴、y轴所在直线的方程分别是什么？,y=0,x=0,x,O,y,.,62,例1直线l经过点P0（-2，3），且倾斜角=45，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.,l,.,63,思考6已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线方程.,代入点斜式方程得，,即y=kx+b.,O,x,y,直线l的方程:y-b=k（x-0）,P（0，b）,点斜式的特例,.,64,直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.,截距的概念,.,65,方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.,y=kx+b,斜截式方程,成立的条件：直线的斜率存在.,O,x,y,b,斜率,在y轴上的截距,.,66,思考7方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似，你能说出一次函数y=2x-1，y=3x，y=-x+3的图象的特点吗？,y=2x-1的斜率为2，在y轴上的截距为-1;y=3x的斜率为3，在y轴上的截距为0;y=-x+3的斜率为-1，在y轴上的截距为3.,.,67,思考8若直线l的斜率为k，在x轴上的截距为a，则直线l的方程是什么？,解：y=k(x-a),.,68,.,69,.,70,1.直线方程可表示成点斜式方程的条件是（）A.直线的斜率存在B.直线的斜率不存在C.直线不过原点D.不同于上述选项,A,.,71,2.经过点且倾斜角是30的直线的方程是（）A.B.C.D.,C,.,72,3.直线x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为()A.30B.60C.150D.120解：选B.由直线方程得y=x+a，所以斜率k=,设倾斜角为,所以tan=,又0180，所以=60.,.,73,解：,4.已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程,由斜截式方程知直线l1的斜率k12，又因为ll1，所以l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，所以l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.,.,74,斜率k和直线在y轴上的截距b,.,75,不是拥有幸福的人才幸福，而是知道幸福的人才幸福。幸福不在于享受了多少，而在于感受了多少。,.,76,3.2.2直线的两点式方程,.,77,解：设直线方程为：y=kx+b（k0）,一般做法：,由已知得：,解方程组得：,所以，直线方程为:y=x+2.,待定系数法,方程思想,已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程,.,78,还有其他的方法吗？,还有其他做法吗？,.,79,即：,得:y=x+2.,解：设P(x,y)为直线上不同于P1,P2的动点,与P1(1,3)，P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：,.,80,1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.(重点)2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.3.掌握中点坐标公式.(重点)4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.(难点),.,81,解：设点P(x,y)是直线上不同于P1,P2的点,可得直线的两点式方程：,所以,因为kPP1=kP1P2,记忆特点：,1.左边全为y，右边全为x.,2.两边的分母全为常数.,3.两边分子，分母中的减数分别相同.,已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1x2，y1y2）,求通过这两点的直线方程,.,82,是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？,注意：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方程,那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?,当x1x2或y1=y2时,直线P1P2没有两点式方程.(因为x1x2或y1=y2时,两点式方程的分母为零,没有意义),不是!,.,83,若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么?,当x1x2时方程为：xx1或xx2,当y1=y2时方程为：y=y1或y=y2,.,84,y,解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代入两点式得：,例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0,求直线l的方程.,.,85,直线的截距式方程,直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线方程的截距式方程.,在y轴上的截距,在x轴上的截距,截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.,.,86,例2已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.,解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为：,这就是BC边所在直线的方程.,.,87,.,88,中点坐标公式,.,89,例3求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.,分析：截距均为0时，设方程为y=kx,截距均不为0时，设为截距式求解.,O,.,90,解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)代入上式得即直线方程为当截距均不为0时，设直线方程为把P(-5，4)代入上式得直线方程为即综上：直线方程为或,截距为零不容忽视,.,91,1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为(),解：选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有解得从而可知直线l的斜率为,.,92,3.求经过下列两点的直线方程:,2.直线ax+by=1(ab0)与两坐标轴围成的面积是_.,.,93,4.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.,.,94,解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等.所以a=2,方程即为3x+y=0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得=a-2,即a+1=1,所以a=0，即直线方程为x+y+2=0.所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.,.,95,不垂直x轴,不垂直x轴,不垂直坐标轴,不垂直坐标轴且不经过原点,.,96,不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开心扉。培根,.,97,3.2.3直线的一般式方程,.,98,我们共学习了哪几种直线方程的形式?,点斜式,斜截式,两点式,截距式,.,99,1.明确直线方程一般式的形式特征.（重点）2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距.（难点）3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.（难点）,.,100,Ax+By+C=0(A,B不同时为0）,我们把关于x,y的二元一次方程,叫做直线的一般式方程，简称一般式.,一般式适用于任意一条直线.,探究1：直线的一般式方程,.,101,特别：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项的顺序排列.,.,102,直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x，y的方程，上述四种直线方程，能否写成如Ax+By+C=0（A,B不同时为0）的统一形式？点斜式：,探究2：一般式方程与其他形式方程的转化,.,103,斜截式：y=kx+bkx-y+b=0两点式：（y1-y2）x+(x2-x1)y+x1y2-x2y1=0截距式：bx+ay-ab=0,.,104,例1已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.,解：经过点A(6，-4),斜率为的直线的点斜式方程为,化成一般式，得4x+3y-12=0.,.,105,例2把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.,解：将原方程化成斜截式得,因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3，,在直线l的方程x-2y+6=0中，,令y=0，可得x=-6，即直线l在x轴上的截距是-6.,.,106,.,107,例3已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1/l2，求a的值.,.,108,.,109,1.若直线l在x轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，则直线l的点斜式方程是_.直线l的斜截式方程是_.直线l的一般式方程是_.,y-0=x+4,y=x+4,x-y+4=0,.,110,解：(1)x+2y-4=0.,2.根据下列条件，写出直线的一般式方程：,(2)y-2=0.,(3)2x-y-3=0.,(4)x+y-1=0.,.,111,5,-5,3.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.,.,112,.,113,4.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围.解：如图所示，直线l:x+my+m=0过定点A(0，-1)，当m0时，,.,114,解得或当m=0时，直线l的方程为x=0，与线段PQ有交点，所以，实数m的取值范围为,.,115,1.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为0）,2.直线方程的一般式与特殊式的互化.,3.两条直线平行与垂直的判定.,.,116,不同的品格导致不同的兴趣爱好。,.,117,3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离,.,118,想一想：我们上体育课时，用的体育器材中，有哪些涉及两条直线的位置关系呢？,.,119,1.理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会求两条相交直线的交点坐标.(重点)2.能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置关系.(难点)3.能够推导两点间距离公式.(重点)4.会应用两点间距离公式证明几何问题.(难点),.,120,1.两条直线的交点,.,121,两条直线的交点,M的坐标满足方程,M的坐标是方程组的解,.,122,相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组的解.,探究1：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？,如果两条直线,和,.,123,如果方程组,有解，,那么以这个解为坐标的点就是直线,的交点.,和,交点坐标即是方程组的解,.,124,例1求下列两条直线的交点坐标：,解：解方程组,所以l1与l2的交点为M（-2，2）.(如图所示),得,.,125,表示何图形?图形有何特点？,探究2：,=0时，方程为l1：3x+4y-2=0,=1时，方程为l2：5x+5y=0,=-1时，方程为l3：x+3y-4=0,解：先以特殊值引路：,当变化时，方程3x+4y-2+(2x+y+2)=0,.,126,x,y,l2,0,l1,l3,作出相应的直线,所以当变化时，方程表示直线，所有的直线都过点（-2,2）.,.,127,(1)若方程组有且只有一个解,(2)若方程组无解,(3)若方程组有无数个解,则l1与l2平行.,则l1与l2相交.,则l1与l2重合.,2两条直线的位置关系,探究3：两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的情况有何关系？,.,128,讨论下列二元一次方程组解的情况:,无数组解,无解,一组解,相交,重合,平行,（1）,（2）,（3）,.,129,如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？,【提升总结】,.,130,例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：,解:（1）,解方程组,得,所以l1与l2相交，交点坐标为,.,131,（2）,由于,解方程组,方法一：,得,矛盾，,方程组无解，所以两直线无公共点，,方法二：,.,132,（3）,所以,由于,解方程组,方法一：,得,因此，,