数值分析复习ppt课件

Review,Chap1数值计算中的误差,误差误差限有效数字,误差误差限有效数字,设是准确值，是的近似值,例1.5题1.1,用微分计算函数值误差,相对误差,误差,例1.9,例1.10,例1.11,例1.10,例1.11,题1.5,计算方法的数值稳定性,数值计算中应注意的几个原则,避免相近数相减;避免小除数,大乘数;避免大数吃小数;采用数值稳定的算法;减少运算次数.,题1.9,题1.10,题1.7,Chap2插值法与最小二乘法,n次多项式插值问题：,求作一个次数不超过n的多项式，使之满足,插值条件,f(x)的满足插值条件(2.1)的n次插值多项式,插值区间,插值节点,被插值函数,Lagrange插值公式插值余项,1)线性插值,2)抛物插值,3)n次Lagrange插值,满足,n次Lagrange插值基函数的性质:,是n次式;,题2.1,题2.2,4)Lagrange插值余项,定理2.2：设的n+1阶导数,在上存在，则,其中与有关。,例2.4,题2.5,Newton插值公式,1)差商、差商的计算,例2.5,2)Newton插值公式,误差,例2.7,例2.8题2.6,题2.7,差商与微商的关系,Hermite插值,3次Hermite插值,3次Hermite插值基函数(插值基函数的性质),插值余项,例2.9,题2.8,题2.10,混合型Hermite插值,分段插值,1)分段线性插值,2)分段3次Hermite插值,(如何确定其解析式,光滑性,误差估计?),题2.11,题2.12,3次样条函数,1)什么是3次样条函数,3次样条插值,2)比较3次多项式插值(不含导数条件),分段3次Hermite插值,3次样条插值,Chap3数值积分与数值微分,机械求积公式,求积节点,求积系数,例3.1,题3.1,题3.2,题3.11,插值型求积公式,1)求积系数,2)求积系数具有n+1个求积节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度.,3)中矩形公式、梯形公式、Simpson公式是插值型求积公式(各自的代数精度).,4)Newton-Cotes公式:一类节点等距分布的插值型求积公式.,(n为奇数时,代数精度为n;n为偶数时,代数精度为n+1),梯形公式余项,记,Simpson公式余项,复合求积公式(复合求积的思想),1)复合梯形公式,复合梯形求积公式的余项为,2)复合Simpson公式,复合Simpson求积公式的余项为,题3.5,题3.6,Gauss求积公式,1)什么是Gauss求积公式?,2)Gauss点的性质?,例3.7,例3.8,例3.9,例3.10,题3.9,题3.10,题3.11,数值微分,例3.11,1)中心差商公式,2)Richardson外推,例3.12,Chap4方程求根,不动点迭代法,2)不动点迭代格式,3)迭代收敛条件,迭代不收敛的条件,题4.4,4)迭代收敛速度,若，则称(4.5)是线性收敛的；若,则称(4.5)是平方收敛的.,例4.4,例4.5,例4.6,题4.2,题4.3,题4.5,Newton迭代,求近似根的Newton迭代公式:,1)迭代控制条件,2)收敛性,3)Newton迭代与开方法,例4.7,题4.8,例4.8,题4.7,简化Newton迭代法弦截法Newton下山法,1)简化Newton迭代法,2)弦截法,3)Newton下山法,例4.9,例4.10,例4.11,Chap5线性代数方程组数值解法,迭代法,考虑线性方程组,Jacobi迭代,Gauss-Seidel迭代,Jacobi迭代的矩阵表示:,Gauss-Seidel迭代的矩阵表示:,或,SOR迭代的矩阵表示:,证明：,假设SOR方法收敛，则有,设的特征值为，则,而,-L,-U,D,迭代法的收敛性,迭代收敛基本定理：对任意和任意的初始向量,迭代公式(5.18)收敛的充要条件是.,例5.6,题5.3,定理5.3：设G是(5.18)的迭代矩阵，且它的某一种范数满足,则对任意的初值，迭代公式(5.18)均收敛.,例5.5,定理5.4：设A严格对角占优，则其Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式均收敛.,例5.7题5.2,证明：,SOR迭代法的迭代矩阵为,设是G的一个特征值，相应的特征向量为x,则,记,则p0.(因为A正定,D亦正定),又记,则有.,且,于是,而,故当时,SOR方法收敛.,特别的,当时,SOR方法就是GS方法,从而当A是对称正定矩阵时,GS方法收敛.,Gauss消去法,1)顺序Gauss消去法,2)列主元Gauss消去法,例5.8题5.7,例5.10题5.7,矩阵的LU分解及应用,A=LU,其中L是单位下三角阵,U是上三角阵,1)计算矩阵行列式,2)解方程组,3)求矩阵的逆,例5.11题5.9,方程组的条件数与误差分析,定义5.7:称数为矩阵A的关于解方程1组的条件数.,例5.13题5.10,(定理5.7),当方程组良态时,可以用来估计近似解y的误差.,Chap7常微分方程初值问题数值解法,(7.1)(7.2),数值求解一阶常微分方程的初值问题:,Euler公式:,(步进式,单步方法,显式格式),记,则Euler公式的,局部截断误差:,总体截断误差:,(Euler法是1阶方法),Euler法的三种分析解释:差商逼近微商,数值积分,Taylor级数法,隐式Euler公式:,(单步法,隐式格式,1阶方法),两步隐式Euler公式:,(两步方法,显式格式,2阶方法),梯形公式:,改进Euler公式:,或,(2阶方法),经典4阶R-K公式:,(4阶方法),例7.1例7.3例7.4题7.1题7.2,如何讨论数值方法的阶?!,收敛性与稳定性,定理7.1：设关于y满足Lipschitz条件，是1中任意固定的点(T0是常数).则对Euler法的总1体截断误差有,1)收敛性,题7.5,2)稳定性,对模型方程,下列方法的稳定性区域为,显式Euler公式,隐式Euler公式,或,改进Euler公式,