13.4课题学习最短路径问题ppt课件 .ppt

八年级上册,13.4课题学习最短路径问题,1,为什么有的人会经常践踏草地呢？,绿地里本没有路，走的人多了,禁止践踏,爱护草坪,两点之间，线段最短,2,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,3,要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？,垂线段最短,张村,河流,泵站,4,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,5,将军饮马问题：,两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：,将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？,这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。,6,P,两点之间线段最短.,根据：,B,A,(一)两点在一条直线两侧,例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？,最短路线：,将军饮马：,A-P-B.,7,例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？,A,B,河,两点在一条直线同侧,8,C,河边,B,利用对称：将两条线段的和转化到一条直线上，运用两点之间线段最短求最小值,将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线,前面的问题就转化为：当饮马点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小,做法：（1）作点B关于直线l的对称点B；,（2）连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求,9,证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC最短,你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,10,若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小,证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C（与点C不重合），证明AC+BCAC+BC？这里的“C”的作用是什么？,11,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？,轴对称,12,.,.,.,.,.,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称：,13,活动一：,甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？,A,14,B,A,活动一：,甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？,利用平移：将折线和的最小值，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值,15,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？,平移,16,活动二如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角内现在要在河边建一个码头C，在公路边D修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短,河流,公路,17,活动二抽象成数学模型：点A在MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+CB+BA（即ABC的周长）的距离最短。,N,M,O,提示一：求三角形周长的最小值可转化为一条直线上,18,河流,公路,活动二抽象成数学模型：点A在MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+CB+BA（即ABC的周长）的距离最短。,利用对称：将三角形三边和，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值,19,活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直的公路a、b旁有两个居民小区A、B，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？,我思考,我进步,变式思考活跃思维,B,A,公路a,公路b,20,活动三抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。,我思考,我进步,变式思考活跃思维,B,A,公路a,公路b,提示一：AB为定值，只需求折线AD、CD、BC和的最小值。,21,我思考,我进步,变式思考活跃思维,B,A,公路a,公路b,B1,A1,C,D,利用对称：三边和转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值,活动四抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。,22,探究二：,在河边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？,A,B,两点在一条直线同侧,C,问：两边之差|CBCA|是否存在最值问题？,C,当A、B、C三点共线时，|CBCA|最大,23,探究二：,在河两边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？,两点在一条直线两侧,24,抽象成数学模型：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PBPA最大。,提示：,作B的对称点B1，将PB-PA转化到同侧,探究二：,两点在一条直线两侧,25,抽象成数学模型：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PBPA最大。,利用对称：将两线段之差转化到三角形中比较，当三点共线时求线段差的最大值,探究二：,26,小结,（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？,能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想,利用轴对称或平移实质是将折线段转化