第一篇_第二节命题及充分条件与必要条件

第二节命题及充分条件与必要条件,1命题用表达的，可以判断真假的叫做命题，其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题,2四种命题及其关系,(1)四种命题,语言、符号或式子,陈述句,判断为真,判断为假,若q，则p,若p，则q,若q，则p,(2)四种命题间的相互关系,(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性,相同,没有关系,3充分条件与必要条件(1)“若p，则q”为真命题，记pq，则的充分条件，的必要条件(2)如果既有pq，又有qp，记作：pq，则的充要条件，q也是p的,p是q,q是p,p是q,充要条件,1(2008年湖南高考题)“|x1|2”是“x3”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】由|x1|2得1x3，所以易知选A.【答案】A,2(2008年安徽高考题)“a0”是“方程ax22x10至少有一个负数根”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】当a0，显然有x1x20，则有一负数根，具备充分性；反之若方程有一负数根，a0或x1x20或得到a1，不具备必要性，因此选B.【答案】B,3(2008年天津高考题)设a、b是两条直线，、是两个平面，则ab的一个充分条件是()Aa，b，Ba，b，Ca，b，Da，b，【解析】A、B、D中直线a，b可能平行，选C.【答案】C,4下列命题：若一个整数的末尾数字为0，则这个整数能被5整除；奇函数的图象关于原点中心对称；矩形的对角线相等其逆否命题为真命题的序号为_【解析】是真命题，故的逆否命题都为真命题【答案】,5a1是直线yax1与y(a2)x3垂直的_条件【解析】当a1时，两直线为yx1和yx3两直线垂直，故a1是两直线垂直的充分条件反之，若直线yax1与y(a2)x3垂直a0或a2都不满足则a(a2)1，即a22a10，解得a1.综上，a1是两直线垂直的充要条件【答案】充要,命题的关系及真假的判断,分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假(1)面积相等的两个三角形是全等三角形(2)若q1，则方程x22xq0有实根(3)若x2y20，则实数x、y全为零,【思路点拨】,【自主探究】(1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题(2)逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1，假命题否命题：若q1，则方程x22xq0无实根，假命题逆否命题：若方程x22xq0无实根，则有q1，真命题(3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2y20，真命题否命题：若x2y20，则实数x，y不全为零，真命题逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2y20，真命题,【方法点评】1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假2四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假【特别提醒】当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动,1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假(1)等底等高的两个三角形是全等三角形；(2)若ab0，则a0或b0.【解析】(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题(2)逆命题：若a0或b0，则ab0.真命题否命题：若ab0，则a0且b0.真命题逆否命题：若a0且b0，则ab0.真命题,充分条件与必要条件的判定,指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：ab2，q：直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切；(2)p：|x|x，q：x2x0；(3)设l，m均为直线，为平面，其中l，m，p：l，q：lm；(4)设，p：，q：tantan.【思路点拨】(1)先分清命题的条件与结论；(2)分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证,【自主探究】(1)若ab2，圆心(a，b)到直线xy0的距离dr，所以直线与圆相切，反之，若直线与圆相切，则|ab|2，ab2，故p是q的充分不必要条件(2)若|x|x，则x2xx2|x|0成立反之，若x2x0，即x(x1)0，则x0或x1.当x1时，|x|xx，因此，p是q的充分不必要条件,(3)l/lm，但lml，p是q的必要不充分条件(4)x时，正切函数ytanx是单调递增的，当,，且时，tantan，反之也成立p是q的充要条件,【方法点评】充分条件与必要条件的判断方法有：(1)利用定义判断若pq，则p是q的充分条件；若qp，则p是q的必要条件；若pq且qp，则p是q的充要条件；若pq且q/p，则p是q的充分不必要条件；若p/q且qp，则p是q的必要不充分条件；若p/q且q/p，则p是q的既不充分也不必要条件,(2)利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB，且AB，则p是q的既不充分也不必要条件,(3)利用命题的等价性判断把p与q分别记作命题的条件与结论，则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下：如果原命题真逆命题假，那么p是q的充分不必要条件；如果原命题假逆命题真，那么p是q的必要不充分条件；如果原命题与逆命题都真，那么p是q的充要条件；如果原命题与逆命题都假，那么p是q的既不充分也不必要条件,【解析】(1)若ab2，圆心(a，b)到直线xy0的距离dr，所以直线与圆相切，若直线与圆相切，则|ab|2，ab2，故q是p的必要不充分条件(2)若|x|x，则x2xx2|x|0成立，若x2x0，即x(x1)0，则x0或x1.当x1时，|x|xx，因此，q是p的必要不充分条件,2上例条件不变，q是p的什么条件？,(3)la/lm，lmla，q是p的充分不必要条件(4)x，正切函数ytanx是单调递增函数，a，且a时，tantan，反之也成立，q是p的充要条件,充要条件的应用,已知Px|x28x200，Sx|x1|m(1)是否存在实数m，使xP是xS的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使xP是xS的必要条件，若存在，求出m的范围【思路点拨】(1)利用不等式使P、S两个集合更加简练(2)利用充要条件、必要条件，构造m的不等式,【自主探究】(1)由题意xP是xS的充要条件，则PS.由x28x2002x10，P2,10由|x1|m1mx1m，S1m,1m要使PS，则.这样的m不存在,(2)由题意xP是xS的必要条件，则SP.由|x1|m，可得1mxm1，要使SP，则，m3.综上，可知m3时，xP是xS的必要条件【方法点评】把充要条件和求参数的取值范围的问题结合在一起，要利用充要条件的要求，去构造含参数的不等式，同时，这可以和多个知识点相结合，注意知识的综合应用,3设命题p：2x23x10，命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解析】由2x23x10得x1.x2(2a1)xa(a1)0，得axa1.p是q的充分不必要条件，pq，q/p，1a，a1，且不同时取等号，0a，a的取值范围是0，,1(2008年山东高考)给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A3B2C1D0【解析】若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限为原命题，则原命题为真，逆否命题为真，否命题与逆命题都为假命题【答案】C,2(2008年广东高考)命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是()A若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数B若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数C若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数D若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数【解析】由命题“若p则q”的逆否命题为“若q则p”可知，应选B.【答案】B,3(2009年安徽高考)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()Ap：acbd，q：ab且cdBp：a1，b1，q：f(x)axb(a0，且a1)的图象不过第二象限Cp：x1，q：x2xDp：a1，q：f(x)logax(a0，且a1)在(0，)上为增函数,【解析】acbd(不等式的性质)，反之不成立，例如：8263，a8，b2，c3，d6.ab但cd，p是q的必要不充分条件，故选A.,【答案】A,4(2009年福建高考)设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1Bml1且nl2Cm且nDm且nl2【解析】ml1，且nl2，又l1与l2是平面内的两条相交直线，而当时不一定推出ml1且nl2.故选B.【答案】B,5(2009年北京高考)“2k(kZ)”是“cos2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件,