量子力学基础.ppt

第六篇量子物理(2),第26章量子力学基础（8课时）,第26章量子力学基础,261德布罗意物质波假设262代维逊革末实验（电子衍射实验）263不确定关系（测不准关系）264波函数及其统计意义265薛定谔方程266势阱中的粒子267氢原子的量子力学处理268电子自旋269多电子原子中电子壳层结构,1924年德布罗意提出，实物粒子（电子、质子、中子、分子、介子、子弹等）也具有波粒二象性。,261德布罗意物质波假设,1.德布罗意假设,（1）质量为m速度为v的粒子，具有能量E动量P。,（2）上述粒子具有波长，频率,（3）它们之间的关系是：,2.德布罗意公式,静止质量为m0的实物粒子，若以速度v运动时，与该粒子缔合在一起的平面单色波的波长为这种波称为“德布罗意波”或“物质波”。,例1.电子由电场加速，加速电压为V，求电子的德布罗意波长。,电子的德布罗意波长很短,所以，电子的德布罗意波长为：,决定，即：,注意：若vc则,解：电子的速度由,262代维逊革末实验（电子衍射实验）,回顾X射线的布喇格衍射,当d,一定时,只有当满足以上条件时,才能得到电流强度的极大值。即：,才能得到I的极大值,对应着一定的d,k取1,2时,由上式计算出来的V值恰好与实验相符。证实了实物粒子的波粒二象性。,263不确定关系（测不准关系）,研究宏观质点运动时，质点的坐标和动量可以同时被测定。,1.位置和动量的不确定关系式,粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。例：,*沿y方向运动的粒子穿过狭缝前，若粒子没有波动性，它穿过狭缝时，仍有。只要尽可能地将缩小，就可同时准确地确定粒子在穿过狭缝时的坐标和动量。,*事实上，粒子具有波动性，当它穿过狭缝时，会发生衍射现象，粒子运动的方向将发生变化Px不可能总是零！,而微观粒子的坐标和动量不能同时被测定。,*粒子的坐标不确定范围是,*动量在ox方向的分量,（单缝衍射一级极小的条件）,ox轴上，动量的不准确量,*将德布罗意关系式代入上式得：,*粒子的坐标X，动量Px不可能同时有确定的值。,如果把次级极大包括在内，则有,对三维运动：,海森伯不确定关系的数学表达式。,意义：在决定粒子坐标越准确的同时（即X越小）决定粒子在这坐标方向上动量分量的准确度就越差（Px越大），反之亦然。,例2.对速度为v=105m.s-1的射线，若测量速度的精确度为0.1%即,求：电子位置的不确定量,解：,例3.用不确定关系讨论原子中电子的速度,*原子的线度的数量级是10-10m，原子中确定电子位置的不准确量为x10-10m，,*原子中电子速度的不确定量按不确定关系,*按经典力学算氢原子的电子在轨道上速度的数量级为106m.s-1,不能用经典理论计算原子核外电子的速度。,估算为：,结论：,动量的不准确量为Pxh/x.,例4.试比较电子和质量为10g的子弹在确定它们位置时的不确定量x，假定它们都在x方向以200m.s-1的速度运动，速度的测量误差在0.01%以内。,解：据不确定关系：,得,对电子,对子弹,结果分析.,关于h的几句话：,非常小,令：h0,那么：在任何情况下都可有x=0、Px=0,波,粒子,波粒二象性就将从自然界中消失！,让h大一点：,子弹射出枪口的横向速度：,波粒二象性就将统治到宏观世界中！,不大不小,正好！,10,2.能量和时间的不确定关系：,（1）若一体系处于某状态的时间不确定量为t那么，这个状态的能量也有不确定范围E。（可解释光谱线宽度）,（2）原子在某激发状态的时间越长，该态的能级宽度就越小,（3）E小的能级比较稳定，基态最稳定。即：基态的能量是可以准确被测定的,爱因斯坦的时钟匣子,264波函数及其统计意义,宏观物体,运动状态的描述：,运动规律的描述：,微观物体,运动状态的描述：,运动规律的描述：,1.波函数的引入,由经典物理知：频率为、波长为、沿X方向传播的平面余弦波可表示为:,机械波电磁波,波函数,薛定谔方程,上式可用复数的实部表示为：,但是，对于与自由粒子对应的平面波，还具有微粒性,将德布罗意关系式,得与自由实物粒子对应的平面物质波复数表式：,这便是描述能量为E动量为P的自由粒子的德布罗意波,代入，,而或便称为波函数它既不是y(位移)，又不是E(电矢量)。波函数是什么？,2.波函数的物理意义：（统计解释）,光波,波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度,微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，,物质波,波动：电子波的强度（波函数模的平方）,微粒：,结论：某时刻在空间某地点，粒子出现的几率正比于该时刻、该地点波函数模的平方。,*波函数是什么呢？,与粒子（某时刻、在空间某处）出现的几率成正比。,*物质波是什么呢？,不是机械波不是电磁波而是几率波!,*对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的,波函数所反映的只是微观粒子运动的统计规律。,宏观物体：讨论它的位置在哪里。,微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。,3.波函数的归一化条件,且粒子在某区域出现的几率又正比于该区域的大小，,几率密度,表示某时刻、在空间某地点附近单位体积内粒子出现的几率.,必定,这就是波函数的归一化条件,几率密度：,所以某时刻、在（x,y,z）附近的体积元dV中，出现粒子的几率为：,因与粒子某时刻、在空间某处出现的几率成正比,4.波函数的标准条件和归一化条件,单值:一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的几率应有一定的量值.,连续、有限。（保证其平方可积）,归一化。,265薛定谔方程,1.自由粒子一维定态薛定谔方程,即：一维空间自由粒子的振幅方程。,自由粒子：没有外场作用，具有能量E（恒量）、动量P（恒量）的自由运动的粒子，粒子在某处出现的几率不随时间变化。,从物理、数学上看，归纳为：,一个沿X轴（一维）运动的自由粒子，具有确定的,动量：,能量：,它的平面波函数是：,振幅函数也称波函数,将(x)对x取二阶导数：,将2mE代入,这就是一维空间、自由粒子的振幅方程，因为(x)只是坐标的函数，与时间无关，所以(x)描述的是粒子在空间的一种稳定（定态）的分布。,式称为自由粒子一维、定态、薛定谔方程。,2.粒子一维定态薛定谔方程,粒子在势场中作一维运动总能量,所以，,采用拉普拉斯算符,上式可表示为,2.粒子一维定态薛定谔方程,回顾上次课：,1.自由粒子一维定态薛定谔方程,2.粒子一维定态薛定谔方程,波函数,一般定态薛定谔方程的意义:,*质量为m(不考虑相对论效应),并在势场中运动的一个粒子,有一个波函数与它的运动的稳定状态相联系,这个波函数满足薛定谔方程。,*这个方程的每一个解(x,y,z),表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解相应的常数E(参数),就是粒子在这个稳定状态的能量。,*同时说明,根据题设的U,还要算出(x,y,z)合理:单值、连续、有限、归一化。因此，,只有E为一些特定的值时，方程才有解，这些E值叫本征值，与这些E值对应的波函数(x,y,z)叫本征函数。,总之，解薛定谔方程，就是求出：,（1）波函数,（2）与这些状态对应的能量E，从而动量P。,表示粒子所处的各个可能稳定状态。,266势阱中的粒子,1.对一维无限深方势阱求解薛定谔方程,设质量为m的粒子只能在0xa的区域内自由运动,因此，在x0,xa的区域中,定态问题,在0xa的区域中，粒子的定态薛定谔方程为,求解此薛定谔方程：（1）求（x）,（2）求E,（1）先求E,薛定谔方程改写为,(x)=0,其通解为：,式中A、B、k可用边界条件、归一化条件确定。,边界条件,由（1）可得：,k只能取一系列不连续的值.,注意：n0。若n=0,k=0,(x)0,k是什么？,k对应着能量！,k取一系列不连续的值，就是能量只能取一系列不连续的值。,由（2）可得：,这样的波函数不满足归一化条件!,！,即,粒子在无限深方势阱中允许的状态的能量值为:,结论：10能量是量子化的这是量子力学中解薛定谔方程得到的必然结果，不是（玻尔理论中的）人为的假设。,20可看出粒子的零点能（即粒子的最低能量状态）。,（与a有关，居然与v无关！）,经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子能量不可能为零。,动能！（因U=0）,30相邻两能级的能量差：可以证明,当势阱的宽度a小到原子的尺度，E很大，,当势阱的宽度a大到宏观的尺度，E很小，,可把能量看成连续，量子理论回到了经典理论。,能量的量子化显著。,能量量子化不显著。,40对不同的n,得粒子的能级图,（2）再求(x),薛定谔方程本征解,与一定的En对应，得本征函数：,式中的A可由归一化条件确定：,查表求得,薛定谔方程的解：,说明：10粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态，描述这些状态的波函数为实数，从物理意义上理解束缚定态方程的解，是一些驻波。这些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒子在0xa范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。,20束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多，（驻波波长越短），对应粒子的能级越高。,30第n个能级,波函数在总区间内有n-1个节点(0、a除外）.节点说明此处出现粒子的几率为零.,例：n=8,例5.在宽度为a的一维无限深方势阱中运动的电子,（4）n=1及n=2时，几率密度最大的位置（5）处在基态的粒子在a/43a/4范围内的几率（6）波函数图形,解（1）,（2）,由边界条件可求得,（4）几率密度：,求（1）系数A（2）基态能量（3）基态德布罗意波长,已知：,（3）,电子的质量,几率密度最大的位置：,由倍角公式，上式为：,若n=2可求得,(6)波函数图形:略,（5）处在基态的粒子在a/4到3a/4范围内的几率,将n=1代入此式：,2.势垒贯穿（隧道效应）,（1）梯形势垒：,薛定谔方程：,O,I,II,其解为：,（EUU0,衰减解）,(EU0,振动解）,电子逸出金属表面的模型,31,（2）隧道效应,（3）扫描隧道显微镜,图象放大：108倍,分辨本领：10-10m,32,动画,碘原子在铂晶体上的吸附,硅表面的硅原子排列,砷化钾表面的砷原子排列,观看原子,石墨晶体表面原子的STM照片,34,量子阱,48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.,移动原子,267氢原子的量子力学处理,1.氢原子的薛定谔方程,设则处：,（U是r的函数，不随时间变化，所以是定态问题。不是一维）将一般的定态薛定谔方程改用球坐标表示：,解之，得氢原子中电子的波函数及氢原子的一些量子化特征，介绍如下：,（1）能量量子化：,玻尔理论与量子力学一致。(但量子力学无轨道而言),氢原子核外电子在核电荷的势场中运动，,（2）角动量量子化：,微观粒子有动量，此动量对坐标原点（核）就有角动量.,玻尔理论中角动量量子化的表式：,玻尔理论与量子理论在角动量问题上的异同：,相同之处：电子运动的角动量是量子化的。不同之处：,L=mvr对应着轨道,无轨道可言,L与En的取值都由主量子数n决定,L的取值由角量子数l决定，En的取值主要由主量子数n决定，与l也有关。,玻尔理论,量子理论,n取值不限,n一定时，,n个值,（3）角动量的空间量子化（轨道平面取向的量子化）,玻尔和量子理论都认为：氢原子中角动量L在空间的取向不是任意的，只能取一些特定的方向（空间量子化），,轨道磁量子数，决定Lz的大小。,L,L,L,L,Lz,Lz,动画,L,L,这个特征是以角动量在空间某一特定方向（例如外磁场方向）Z轴上的投影来表示的。,对确定的,m有个值。,例6.画出时电子轨道运动空间量子化情形,注意：量子力学中虽没有轨道的概念，但有电子的空间几率分布的概念。可以证明，玻尔理论中所谓n=1时所对应的r1=0.53A0，在数值上等于量子理论中，氢原子处于基态E1时，核外电子出现几率最大的位置。,则,解：n=4,可取0,1,2,3四个值，,依题意=2,2.氢原子中电子的稳定状态,（1）原子中电子的稳定状态用一组量子数来描述。,10n主量子数：氢原子能量状态主要取决于n。,30m（轨道）磁量子数：决定角动量空间量子化,n个值,（2）无外场时，电子的状态用n,l表示。,n个值,20角量子数（副量子数）:角动量的量子化由决定,2+1个值,称为,电子,在无外场时，氢原子内电子的状态有：,例7.（2612）,证明：氢原子2P和3d态径向几率密度的最大值分别位于距核4a0和9a0处，2P和3d态波函数径向部分分别为,式中a0为玻尔半径,解：在半径为r的单位球壳空间内2p电子出现的几率为,令,解出,故r=4a0处为一几率密度极大值。,同理可证r=9a0处为另一几率密度极大值.,268电子自旋,薛定谔方程解释不了原子光谱的双线结构问题。,1.斯特恩盖拉赫实验：,一条谱线分裂成两条！,原子的磁矩,电流的磁矩,动画,可以证明,动画,被加热的原子射线在没有外场作用时，应有：,分析：,在非均匀的外磁场中若所有的原子轨道磁矩都相同,若每个原子有大小不同的轨道磁矩，而此磁矩又不是空间量子化的,若磁矩是空间量子化的（角动量空间量子化）,最奇怪的是：处于S态的银原子,而实际上却是,这种磁矩显然不是轨道磁矩，它是什么？,事实正是这样！,说明原子具有磁矩！,应有,原子本身没有轨道磁矩,2.电子自旋,1925年,乌伦贝克,高斯密特提出电子自旋的半经典假设:,（1）电子是带电小球,除绕原子核旋转有轨道角动量以外，还绕自身的轴旋转有自旋角动量和自旋磁矩。,且自旋角动量的取值是量子化的,自旋量子数,（3）自旋角动量取向量子化，用在外磁场方向的投影来表示,ms共