2.2.2 标准差

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征,标准差,实际问题：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：,甲：,乙：,如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?如果是一次选拔考核，你应该如何做选择？,计算可得,两人射击的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有什么差异吗?,4,5,6,7,8,9,10,环数,频率,0.1,0.2,0.3,(甲),4,5,6,7,8,9,10,0.1,0.2,0.3,0.4,环数,频率,(乙),甲成绩比较分散,乙成绩相对集中,思考：什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？,极差最大值最小值,极差：,一组数据的最大值与最小值的差,极差越大，数据越分散，越不稳定,极差越小，数据越集中，越稳定,极差体现了数据的离散程度,甲的环数极差=10-4=6乙的环数极差=9-5=4.,极差对极端值非常敏感，在一定程度上表明样本数据的的波动情况但极差只能反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感，到底是A组还是B组数据更加稳定呢？有必要重新找一个对整组数据波动情况更敏感的指标,本节课我们就要来学习反应一组数据稳定程度的两个量方差、标准差,考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差,标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示,于是样本数据x1，x2，xn，到x的平均距离是,平均距离标准差,由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差,考虑一个容量为2的样本:,标准差的几何意义,显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.,标准差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小).,标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有什么特点?标准差是怎样表现数据的离散程度的?,标准差的取值范围:,0,+),标准差为0的样本数据都等于样本平均数.,标准差表现为：标准差越大，表明数据的离散程度就越大；反之，标准差越小，表明各数据的离散程度就越小。,它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。,标准差的作用:,例题分析,例1画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点.(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；,(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.,例题分析,例1画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点.(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；,对于城市居民月均用水量样本数据，其平均数=1.973，标准差s=0.868.在这100个数据中，落在区间（-s，+s）=1.105，2.841外的有28个；落在区间（-2s，+2s）=0.237,3.709外的只有4个；落在区间（-3s，+3s）=-0.631，4.577外的有0个.,一般地,对于一个正态总体(,),数据落在区间()、()、()内的百分比分别为68.3%、95.4%、99.7%，这个原理在产品质量控制中有着广泛的应用（参考教材P79“阅读与思考”）.,标准差还可用于对样本数据的另外一种解释,从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s2_-方差来代替标准作为测量样本数据分散程度的工具。,步骤：求平均数；作差；平方；再求平均数,同步练习,例2甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm),甲25.46,25.32,25.45,25.39,25.3625.34,25.42,25.45,25.38,25.4225.39,25.43,25.39,25.40,25.4425.40,25.42,25.35,25.41,25.39,乙25.40,25.43,25.44,25.48,25.4825.47,25.49,25.49,25.36,25.3425.33,25.43,25.43,25.32,25.4725.31,25.32,25.32,25.32,25.48,从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?,解:用计算器计算可得:,从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于,如果数据,的平均数为，,方差为,（1）新数据,的平均数为,，方差仍为,（2）新数据,的平均数为,，方差为,（3）新数据,的平均数为，,方差为,，则,方差的运算性质：,拓展与延伸,2.一组数据中,每一个数都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别为()(A)81.2,4.4(B)78.8,4.4(C)81.2,84.4(D)78.8,75.6,同步练习,A,随堂练习,C,A,3.下列说法错误的是()(A)在统计里,把所需考察对象的全体叫作总体(B)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据(C)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势(D)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大【解析】选B.平均数一定不大于这组数据中的最大值.,B,小结,1.用样本的数字特征估计总体的数字特征，是指用样本的众数、中