数理经济学 1

第四篇最优化问题,第11章多于一个变量的情况最优化条件的微分形式两个变量函数的极值二次型具有多个变量的目标函数与函数凸性，凹性相关的二阶条件经济应用,第11章多于一个变量的最优化问题,最优化条件的微分形式一阶条件:对于任意非零的dx,有dz=0(极值的必要条件,不是充分条件)二阶条件:对于任意非零的dx,d2z0与f(x)0等价,此时z有极小值.微分条件与导数条件微分条件更适宜从单变量直接推广到多变量的形式鉴于导数条件的方便性,可以在完成多变量推广后可以着力开发适用的导数条件.,两个变量函数的极值,一阶条件对于二个不同时为零的任意dx,dy,有dz=0(dz是全微分)dz=fxdx+fydy,满足一阶条件则需要两个偏导fx和fy同时为零,即fx=fy=0一阶条件仍然是极值存在的必要条件而不是充分条件,如鞍点和拐点的存在就是例子.,二阶偏导数函数z=f(x,y)有两个一阶偏导数四个二阶偏导数:只要混合偏导连续,则两者就是相等的.二阶全微分,二阶条件当一阶条件满足时,z=f(x,y)的极大值或极小值的二阶条件极大值充分条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z0极大值必要条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z0;极小值必要条件为:对于不同时为零的dx和dy,有d2z0*在极大值或极小值处,d2x有可能取零值的二阶微分条件可转换为二阶导数条件:推导过程需要二次型的辅助,其结果如下,二次型,型的定义:各项具有相同次数(各项指数和相等)的多项式.二次型的二阶全微分二次型一般形式:q=au2+2huv+bv2二阶全微分可以看做两个变量u,v的二次型:d2z=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2二阶条件中对二阶偏导的限制转换成为对二次型中当u,v可以取任何值的时候,为得到确定符号的q,应对a,b,h所施加的限制!,正定与负定当变量取不同值时q的符号发生变化则称q是不定的当q为正定或负定的情况分别是取极小值或极大值的二阶充分条件当q为半定的情况与二阶必要条件相联系当q为不定时,则可能出现鞍点.,有定符号的行列式检验将二次型做配方变换:可以根据系数确定q的符号:*注意:a与b必须取相同的符号!,将二次型重排为:q=a(u2)+huv+huv+b(v2)将它视为由矩阵乘法得到的矩阵更一般地表达:乘积xAx称为二次型,其中A为任意对称矩阵,系数矩阵的行列式称为q的判别式,用|D|表示.上述q的符号判定准则可表述为:由于a=fxx,b=fyy,h=fxy=fyx,将上式表述为二阶全微分中的各项:,一般地:二次型q=a(u2)+2huv+b(v2)的行列式为一个对称行列式具体的二次型d2z=fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2中,其判别式是以二阶偏导数为元素的行列式,称为海塞行列式,两变量海塞行列式为:判定实例:判断q=5(u2)+3uv+2(v2)是正定还是负定的.判别式为其主子式|a|=fxx=5,=7.750,所以q为正定二次型.,三变量二次型三个变量u1,u2,u3的二次型可以表示成如下形式:,将上式配方,且将各项系数以主子式表示:d11=|D1|,=,=所以正定和负定的充要条件分别为:正定:|D1|0,|D2|0,|D3|0;负定:|D1|0,|D3|0,y0的图形,它是凸集吗?,经济应用,多产品厂商问题首先假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商.在完全竞争条件下两商品的价格必然为外生的,分别以P10,P20表示,所以,该厂商的收益函数为R=P10Q1+P20Q2,其中Qi表示单位时间内i产品的产出水平.假设厂商成本函数为C=2Q12+Q1Q2+2Q22,则第一个产品的边际成本为C/Q1=4Q1+Q2,第二个产品的边际成本为C/Q2=4Q2+Q1.厂商的利润函数为:=R-C=P10Q1+P20Q2-2Q12-Q1Q2-2Q22.,求出使利润最大化的产出水平Q1与Q2的组合先求出利润函数的一阶偏导数得到联立方程产生唯一解:所以P10=12,P20=18时,Q1=2,Q2=4,单位时间的最大利润为48为确认该值的确是最大利润,检验二阶条件从一阶偏导得到二阶偏导进而得到海塞行列式:|H1|=-40,将前述例子移植到垄断市场环境中.在垄断市场环境中,两产品价格将随其产出水平(假设产出水平与销售水平一致)的变化而变化.假设对垄断厂商产品的需求函数如下:将Q1与Q2视为参数,解得如下:厂商的总收益函数为,假设总成本函数为利润函数为:求出利润最大化的产出水平,则最优价格水平即可由需求函数求出.目标函数产生如下的各阶偏导数一阶条件必须满足:代入上述各式:验证二阶条件:海塞矩阵行列式处处负定,目标函数严格凹,具有唯一绝对最大值,价格歧视关于价格歧视的解释:一般说来,价格歧视是指一家厂商在同一时间对同一产品索取两种或两种以上的价格;它还可指一家厂商的各种产品价格之间的差额大于其生产成本之间的差额.假设一个厂商为三个隔离的市场供应产品,假定其总收益函数和总成本以及总利润函数如下:关于各个市场的产出量的一阶偏导应全部为0:,找出各市场中的价格与厂商的边际收益之间的联系各市场的边际收益为:注意到由于厂商MC0,而MC=MRi,要求厂商的MRi0,所以厂商所选择的产量必须使市场中相对应的点弹性大于1而上述式子容易看出:在某特定市场中(选定了产出水平),价格的点弹性越小,则厂商在该市场中所索要的价格必须越高,即产生价格歧视.,验证二阶条件求二阶偏导数和海塞行列式如果下述要求成立,则二阶条件便完全满足:一般假设Ri函数为凹函数,C(Q)函数为凸函数,则-C(Q)为凹函数,则利润函数即为凹函数之和,于是可以避免检验二阶条件的必要性,数值例子假定垄断厂商有如下具体的平均收益函数:总成本函数为:边际函数为:令边际收益与边际成本相等,则均衡数量为:检验二阶条件(或者目标函数的凹凸性)二阶导数为:前述条件全部满足!由平均收益可以看出:厂商在三个市场中应索取不同的价格:P1=39,P2=60,P3=45,厂商的投入决策考察具有下列利润函数的竞争性企业,P,w和r是外生变量,K,L和Q是内生变量:=R-C=PQ-wL-rK生产函数为Q=Q(K,L),假设成为特殊的柯布-道格拉斯生产函数的形式Q=LK(0:对于1/2,二阶充分条件得到满足由一阶条件解出最优的K和L:L*=(Pw-1r-)1/(1-2),K*=(Pr-1w-)1/(1-2),它们是企业的要素需求函数.代入生产函数则可解出Q*,假设存在如下环境:根据假设1,写出一般生产函数:Q=Q(a,b),其边际物质产品为Qa,Qb根据假设2,总成本和总收益函数为:利润函数(收益贴现)利润最大化时一阶导为零:,关于等产量曲线:每一等产量曲线代表一个固定的产出水平,在任意的等产量曲线上有于是等产量曲线的斜率为Qa,Qb为正,意味着经营的区域在脊线之内(斜率为负),二阶条件*二阶充分条件部分规定了两种投入的边际物质产品在选定投入水平上是递减的*二阶充分条件确定了同一等产量曲线在选定的投入