高中物理竞赛力学

力学,物理奥赛培训,2011年5月福建福州,厦门大学物理学系苏国珍,(gzsu),一.质点运动学二.牛顿运动定律三.动量定理动量守恒定律四.动能定理机械能守恒定律五.质心运动定律六.角动量定理角动量守恒定律七.刚体的平衡八.万有引力与天体运动九.简谐振动,一.质点运动学,（一）基本知识,1质点运动的一般描述,1.1运动方程与轨道方程,轨道方程,运动方程,1.2速度,反映质点运动的快慢和方向的物理量,瞬时速度沿轨道切线方向,1.3加速度,反映速度（大小和方向）变化快慢的物理量,加速度与速度的方向一般不同。,2.抛体运动,速度：,运动方程：,轨道方程：,推论,3.1圆周运动的加速度,3.圆周运动,3.2圆周运动的角量描述,角位置：=(t),角速度:,角加速度:,3.3角量和线量的关系,4.相对运动,4.1运动描述与参照系：对物体运动的描述与参照系有关位移、速度、加速度的测量与参照系有关。,4.2不同参照系间位移、速度和加速度的变换,（二）拓展知识,1.一般曲线运动,1.1一般曲线运动中的加速度,1.2曲率半径的物理求法,椭圆的曲率半径：,轨道方程：,对应运动方程：,A点：,同理：,抛物线的曲率半径：,轨道方程：,对应运动方程：,其中：,2.连体运动问题,解题方法一：运动的分解,情形1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。,解：,情形2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。,v1,v2,P,例1.2如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为时竖直杆运动的速度。,解：,R,O,练习：顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推动，凸轮绕过O点的水平轴以角速度转动。在图示的瞬时，OAr，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA夹角为，试求此瞬时顶杆AB的速度。,参考答案：,情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动：,例1.3水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度。,解：,练习：如图，一平面内有两根夹角为细杆l1和l2，两细杆各自以垂直于自己的速度v1和v2在该平面内运动，试求两细杆交点P的速率。,解：,A对B：,解题方法二：运动的合成（相对运动）,一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：,B对地：,A对地：,例1.4如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上。今以恒定速度v拉绳，当绳与竖直方向夹角为时，求线轴中心O的运动速度v。设线轴的外半径为R，内半径为r，线轴沿水平面作无滑动滚动。,解：,情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为。,B点相对于地面的速度：,B点相对O的速度大小：,由式（3）可知，情况1出现的条件为：,情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：,出现情况2的条件为：,例1.5续例11，求重物上升的加速度。,以地面为参照系，A的加速度,以O点为参照系，绳子末端A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为,解：,例1.6续例12，求竖直杆运动的加速度。,P,R,O,以圆心O为参照系，P点作圆周运动，其速度大小为：,P点相当于地面的加速度：,向心加速度：,关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速度、加速度之间的关系。,解题方法三：微积分,解：,P,v0,vP,例1.8如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为时竖直杆运动的速度和加速度。,y,R,x,O,A,解：,例1.9水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度和加速度。,解：,二.牛顿运动定律,（一）基本知识,第一定律：定性反映了物体的运动与其受力之间的关系，引入惯性参照系的概念。,第二定律：定量性反映了物体的运动规律与其受力之间的关系：,第三定律：反映了力的来源：力来自物体间的相互作用。,正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。,1牛顿运动定律,2自然界中的力,2.1万有引力,任何物体之间都存在的相互吸引力：,2.2重力：使物体产生重力加速度的力。,重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的惯性离心力，则,重力加速度与物体质量无关,比萨铁塔落体实验,逻辑推理,2.3弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力。,2.4摩擦力：相互接触的物体间产生的一对阻止相对运动或相对运动趋势的力。,滑动摩擦力：,摩擦力总是阻止相对运动。,摩擦力总是阻止相对运动,一人被困在冰面上（冰面水平光滑）无法离开。请你替他想一个办法使他能够离开该冰面。,自行车在粗糙的水平面上起动时，前轮和后轮所受的摩擦力方向如何？,（二）拓展知识,接触面:沿法线方向,1关于弹力,1.1弹力的大小,微小形变,微小振动为简谐振动,1.2弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反.,杆：较复杂,绳子：沿绳子方向,1.3弹簧的串联与并联,2关于摩擦力,2.1摩擦力的大小,两接触物体相对滑动的条件：fs=N,无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：,有滑动：,摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。,2.2摩擦力的方向,无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：,有滑动：与相对运动速度方向相反。,解：,解：,2.3摩擦力的作用时间,可能有两种情况：,例2.3一质量为M的平板沿光滑水平面以速度V0运动。质量为m的小球从h处落下，与平板发生碰撞后弹起，已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小与碰撞前速度大小之比为e，球与平板间的摩擦系数为。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。,解：,情况1：tf=tN,tf=tN的条件：vxV，即,情况2：tftN,tftN的条件：,3.四种基本力,宏观世界里除了重力来源于万有引力外，其它的力几乎都源于电磁力,4.非惯性参照系的动力学问题,4.1惯性参照系与非惯性参照系,4.2非惯性参照系中的牛顿第二定律,m,M,解1：,解1：,（三）典型题解,例2.5在光滑的水平桌面上有质量为m的小车C，车上有质量为4m和m的立方块A和B，它们与小车表面之间的摩擦系数=0.5。今用一恒力F沿水平方向作用在滑轮上。求A、B、C的加速度。,A,B,C,解：,第一种情况：A、B与小车间均无相对滑动。,A、B与小车间无相对滑动的条件：,结论：,A,O,a,解：,无滑动条件：fN,为使大、小环间始终无滑动，以上不等式对任意都要成立。因此,令,根据牛顿第二定律可得：,两式相除：,有三角形相似可知：,解：,依题意：,由此可得：,例2.8如图所示，长为2l的轻绳，两端各系一个质量为m的小球，中央系一个质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，三球在一条直线上。今给小球M以一个冲量，使它获得水平速度v0，v0的方向与绳垂直。求：（1）M刚受冲量时绳上的张力；（2）在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。,解：,（1）以M为参照系，m绕M作以速度v0作圆周运动。M刚受冲量时，绳子对M的作用合力为零，M为惯性参照系，因此,（2）,以M为参照系，m绕M以速度v作圆周运动。此时M有加速度aM，为非惯性参照系。,三动量定理动量守恒定律,（一）基本知识,1.质点的动量定理,1.1牛顿第二定律的普遍形式,1.2质点的动量定理,动量定理反映了力对时间的积累效应,2.质点系的动量定理,内力只是使系统内各质点产生动量的交换，但不改变质点系的总动量,3.动量守恒定律,若系统在某一方向所受的合力的冲量为零，则该方向动量守恒,（二）拓展知识,1.变力的冲量,2.动量定理、定理守恒定律与参照系,动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。在非惯性参照系中使用动量定理，需计入惯性力的冲量；在非惯性参照系中，动量守恒定律的适用条件为外力与惯性力的合力为零。,3.碰撞问题,3.1碰撞的物理过程,3.2一般碰撞,3.3完全弹性碰撞,3.4完全非弹性碰撞,（三）典型题解,例3.1一机枪质量为M，放置于光滑水平面上，内装有n颗质量为m的子弹，当它在水平方向射出子弹时，子弹的出口相对速度为u，假定在1min内连续发射了这n颗子弹，试求：（1）发射结束后机枪的后退速度；（2）如果nmM，试讨论上述结果的近似值。,解：,（1）,（2）,例3.2如图所示，有一列N节（含机车）的火车，车厢之间由完全非弹性的车钩相连接，机车与每节车厢的质量均为m，机车与每节车厢所受的阻力均为自身重量的倍，火车以恒定牵引力启动。（1）若启动时各节间的车钩已拉紧，求启动火车所需的最小牵引力。（2）若启动前每一车钩间隙等于L，则启动火车所需的最小牵引力为多少？,1,k,k+1,F,N,1,k,k+1,F,N,vk,1,k+1,k+2,F,N,vk+1,(a),(b),(c),解：,（1）,（2）,例3.3如图所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度,u：A的速度或B的速度在B、A连线方向的分量u1：B或C的速度在C、B连线方向的分量u2：D的速度或C的速度在D、C连线方向的分量,解：,B球：,C球：,D球：,联立以上各式，解得：,解：,根据（1）（5）可得,系统落地时的速度:,解：,(1),(2),四动能定理机械能守恒定律,（一）基本知识,1质点的动能定理,动能定理反映了力对空间的积累效应,2质点系的动能定理,内力所做的总功一般不为零，即内力一般要改变系统的总动能,例：,内力可以改变系统的总动能,3势能,3.1保守力：做功只与物体的始、末位置有关，而与物体的运动路径无关的力。,几种常见保守力的势能:,4功能原理机械能守恒定律,4.1功能原理,4.2机械能守恒定律,封闭保守系统：,（二）拓展知识,1.变力做功,x0,x,xi,xi+xi,t,F,O,2.功、能与参照系,动能定理、机械能守恒定律只适用于惯性参照系。在非惯性参照系中使用动能定理，需计入惯性力所做的功；在非惯性参照系中，机械能守恒定律的适用条件为外力、非保守内力及惯性力所做的总功为零。,力做功一般与参照系（即使是惯性系）有关，但成对相互作用力做功与参照系无关（例4.6）。,在某一过程中，动能的增量一般与参照系（即使是惯性系）有关，但势能的增量（与成对保守力做功相联系）与参照系无关。所以相同的过程对某一参照系机械能守恒，但对另一参照系却可能不守恒。,一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问：若视弹簧和物体m为一个体系，则在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。,（三）典型题解,解：,（1）,以地面为参照系，A的加速度,以O点为参照系，A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为,（2）先计算A、B加速度之间的关系：,O,L,2L,B,A,vA|,vA,vA,aB,aA,再求绳子中的张力：,练习如图所示，质量为m、半径为R，表明光滑的圆柱体B放在光滑的水平桌面上。有一质量也等于m的细长直杆A，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动初始时，杆的下端正好与圆柱体顶点接触，系统保持静止状态。因受一微小扰动，使A、B从静止开始运动。求：（1）当杆A与圆柱面接触点的连线和竖直方向夹角为时，杆A的速度；（2）此时杆A与圆柱体将的相互作用力。,参考答案：,解：,（1）,以上不等式有解：,即开始上升时，,M,m,v,R,V,解：,脱离球面的条件：N0，则,解：,m2刚好能被提起的条件：,机械能守恒：,解：,（1）考察物体第n次来回运动：,物体停止在位置xn的条件：,物体最终停止的位置为：,（2）根据功能原理：,（3）物体来回一次的时间：,因此可得物体从开始运动到最终停止所经历的时间：,（1）,物块滑到斜面底端的速度：,解：,物块在斜面上滑动的加速度：,以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小:,运动方向与传输带边缘的夹角满足：,物块在传输带上作减速运动，加速度大小：,当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离：,物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数2应满足:,物块对传输带的摩擦力大小:,单位时间内物块对传输带所做的功:,（2）,传输带上与传送带间存在相对滑动的货物质量:,单位时间内传输带对物块所做的功:,或,以地面为参照系，单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:,以传送带为参照系，单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:,力做功一般与参照系（即使是惯性系）有关，但成对相互作用力做功与参照系无关。,五质心运动定理,（一）基本知识,1.质心,2质心运动定理,系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。,内力不影响系统质心的运动。,（二）拓展知识,1.柯尼希定理,质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为柯尼希定理。,特别地：两质点构成的质点系统的总动能为,推论：质心参照系中两质点构成的质点系统的总动能为,在讨论孤立质点系的运动时，采用质心系是方便的。在质心系里，体系的动量恒为零，且孤立体系的质心系是惯性系，功能定理和机械能守恒定律都能适用。,2.质心参照系,取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系或质心系。,即使讨论非孤立体系的运动，采用质心系也是方便的，可以证明，当质心系为非惯性参考系时，功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。（这是因为在质心参照系中，作用在各质点上的惯性力所做的总功为零。）,（三）典型题解,例5.1如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对与地面移动的距离。,解：,M,m,R,O,解：,解：,例5.4一轮船质量为M，以速度V0行驶，船上一人以相对轮船的速度v向前投掷一质量m的球。问需做功多少（图a）？若向后投掷情况又如何（图b）？,解1：,向前抛：,向后抛：,成对相互作用例所做的总功与参照系无关。,解2：,不管向前或先后抛：,六.角动量定理角动量守恒定律,（一）基本知识,1力矩,质点对参考点O的角动量定义为：,2质点的角动量,3质点的角动量定理和角动量守恒定律,质点的角动量守恒,角动量守恒，动量未必守恒,4质点系的角动量定理和角动量守恒定律,质点系的角动量守恒,内力不改变系统的总角动量,（二）典型题解,解：,例6.2如图所示，质量为m的小球B放在光滑的水平槽内，现以一长为l的细绳连接另一质量为m的小球A，开始时细绳处于松弛状态,A与B相距为l/2。球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运动时速度vB的大小。,l/2,l,B,A,A,300,解：,机械能守恒:,角动量定理：,（1）,解：,对小球1：,同理对小球2：,.,.,初速度的方向与水平线的夹角：,得任意t时刻球2的位置坐标：,球2脱离细杆时，,解：（1）,螺旋环的角动量：,角动量守恒：,（2）根据角动量守恒和机械能守恒定律,解得：,另解：（1）,（2）,七.刚体的平衡,（一）基本知识,1.刚体平衡条件,1）物体受力的矢量和为零：,2）对矩心的合力矩为零,2.刚体平衡的稳定性,满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为随遇平衡。,（二）典型题解,例7.1匀质杆OA重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重为P2、长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时此两杆与水平线所成的角度与的大小，以及OA与AB间的作用力。,解：,以AB为研究对象，有,（1）,以OA+AB为研究对象，有,以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此,（2）,N的方向与水平线的夹角满足：,解：,设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则,（i=26）,考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得,例7.3用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长为hl/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。,解：,例7.4有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件？,B,A,r,R,对A球：,对B球：,解：,联立（1）（6）解得：,（1）（2）（3）,（4）（5）（6）,圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：,圆柱A在地面上不发生滑动：,两圆柱的接触点不发生滑动：,综合上述结果，可得到r满足的条件：,八.万有引力与天体运动,（一）基本知识,1.开普勒三定律,第一定律：行星围绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。,第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积：,第三定律：各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方之比值相等：,2.万有引力与引力势能,2.1万有引力,2.2引力势能,开普勒定律角动量守恒机械能守恒,3.解题技巧,（二）典型题解,解：,r,S,r,例8.2地球和太阳的质量分别为m和M，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b，如图所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度大小及轨迹在A、B、C三点的曲率半径。,M,m,A,C,O,b,a,A,解：,A、B两点：,A、C两点：,例8.3质量为M的宇航站和对接上的质量为m