2422切线长定理

24.2.2切线长定理,1、如何过O外一点P画出O的切线？,2、这样的切线能画出几条？,如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是O的切线。,画一画,o,o,p,1.连结OP,2.以OP为直径作O，与O交于A、B两点。,A,B,即直线PA、PB为O的切线,如图，已知O外一点P，你能用尺规过点P作O的切线吗？,通过作图你能发现什么呢？,观察,实验,1.过圆外一点作圆的切线可以作两条,2.点A和点B关于直线OP对称,说明,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。,切线长是一条线段,o,p,A,B,如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？,探究,PA、PB是O的切线，A、B为切点,OAPA，OBPB,又OAOB，OPOP,RtAOPRtBOP,PAPB，APOBPO,结论,切线长定理：,从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,符号语言,PA、PB是O的切线，A、B为切点,PAPB，APOBPO,猜想,如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？,分析,PA、PB是O的切线，A、B为切点,PAPB，APOBPO,OPAB，且OP平分AB,C,D,归纳,从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。,（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则APB=,P,A,B,C,O,60,（4）OP交O于M，则，,M,牛刀小试,（3）若P=70，则AOB=,110,（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA,OA=3,已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求PEF的周长。,易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周长为24cm,牛刀再试,例1,已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线OP交O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,A,O,C,D,P,B,E,解：,(1)OAPA,OBPB,OPAB,(2)OAPOBP,OCAOCBACPBCP.,(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm),在RtOAP中，由勾股定理，得,PA2+OA2=OP2,即42+x2=(x+2)2,解得x=3cm,所以，半径OA的长为3cm.,利用切线长定理进行计算,P,A,B,C,如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B两点，OP交O于C，若PA6，PC2，求O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。,解：连接OA、AC，则OAAP,在RtAOP中，设OAx则OPx2,OA2PA2OP2,即x262（x2）2,解得x2，即OAOC2,OP4,在RtAOP中，OP2OA,APO30,PA、PB是O的切线,APB2APO60,O的半径为2，两切线的夹角为60,利用切线长定理进行证明,A,B,C,D,E,O,2,1,例2,如图，已知：在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC于点D。求证：DEOC,证明：连接,，为的半径,是的切线,C是的切线，是切点,，,是的直径,，即,思考,如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？,A,B,C,A,B,C,M,D,N,I,结论,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形。,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；,4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。,例1ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm),BD=y(cm),CEz(cm),AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).,O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOCSAOC,ABODBCOEACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径r,结论,探究,三角形的内切圆的有关计算,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb,ABc,O为RtABC的内切圆.求：RtABC的内切圆的半径r.,设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4,O为RtABC的内切圆.（1）求RtABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围。,设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4,AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD,RtABC的内切圆的半径为1。,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,基础题：,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,解：点O是ABC的内心，,BOC=180(13),=180(2535),4.如图，在ABC中，点O是内心，若ABC=50，ACB=70，求BOC的度数,=120,同理3=4=ACB=70=35,1=2=ABC=50=25,5.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说明她这样做的