电介质物理_徐卓、李盛涛_第三讲(电偶极子和电场)

静电场中的电介质 电偶极子和电场 点电荷q对某一定点O的电矩： 电矩和电偶极矩 rq fr 与力矩对比 O点至q处的径向量 多点电荷系统，相对定点O的电矩： i i ir q 通常与参考点O位置有关 电矩和电偶极矩 若 0 i i q ，当参考点由O移至O点时 oii rrr 系统电矩的变化量： 0) i ioo i ii i ioi i i qrrqrqrrq （ 此时电荷系统的电矩与参考点位置无关此时电荷系统的电矩与参考点位置无关 o r 值不随变化，为一恒定值。 电矩和电偶极矩 电荷重心 1. 正电荷重心： 2. 负电荷重心： pp i pipi i pi Qrqrrq nn i nini i ni Qrqrrq 其中： pi i pip qrqr/ 参考点O到正电荷重心的矢径，Qp为正电荷总量。 nii i nin qrqr/ 参考点O到负电荷重心的矢径，Qn为正电荷总量。 对于总电量为零的系统 令 O 电矩和电偶极矩 QQQ np )( np rrQ np rrl + - p r n r lQ 1. 对于正负电荷总量相等的系统，电矩被称为电偶极矩； 2. 偶极矩对于带有+Q和-Q相距的点电荷组成的系统称电偶极子； 3. 数学表达式为： l lQ 理想偶极子（点偶极子）： 例 HCL就像一个点偶极子，若把H+和CL-各自看成离子，则q将等于电子电荷的 绝对值e，若把分子中所有电子的电荷集中考虑来决定负电荷重心 电矩和电偶极矩 n l nql q n 电荷配置 nqq n l l 使 保持常数 eq18 18 l l C -19 106 . 1m 1011 1010 它是把一个电子电量与分子中正负电荷间距离 的乘积数量级取作偶极矩单位的。 参考点P电位： 偶极子电场 + - P l cos lrr pn pn pn np rr rr q rr q 00 4 ) 11 ( 4 点偶极子0l rrr np 3 0 2 0 44 cos r r r ql 其电场称偶极子电场，简称偶极电场其电场称偶极子电场，简称偶极电场 偶极子电场 参考点P电场： )( 11 4 1 33 0 r rr rE 53 31 r r r )(r 3 4 1 35 0 rr rr E 点偶极子的电场强度由两分量 ： 1. 一个分量沿方向； 2. 一个分量沿方向； r 点偶极子产生的电位和电场随距离衰减比电荷要快 ？ 偶极子电场 实际偶极子 ： 1. 与点偶极子比较，场点P很远，r很大，则它们的电 场与电位表达式一样 2. 点偶极子除原点外，全部空间均合适，实际偶极子 只有在远离原点的地方才适合，实际偶极子的远处 场才是偶极场，才被看成点偶极子。 3 0 4r r 偶极子电场 直角坐标系中，偶极电场的分解： ) 333 ( 4 1 555 22 0 zyxx r xz r xy r rx E ) 333 ( 4 1 55 2 2 5 0 zyxy r yz r ry r xy E ) 333 ( 4 1 5 22 55 0 zyxz r rz r yz r xz E 当与z轴平行 z 0 yx 5 0 3 4 1 r xz Ex 5 0 3 4 1 r yz E y ) 3 ( 4 1 5 22 0 r rz Ez 多极子（一个实际偶极子建立的电场可以用多极子来展开） 不同极子分类 1. 单极子：一个电荷20极子 2. 偶极子：两个电荷21极子 3. 四极子：两个相同的反平行排列的偶极子，这是一个平行四边形 22极子 4. 八极子：两个相同的反平行排列的四极子，这是一个平行六面体23极子 不同极子分类 多极子电荷系统可定量地用多极矩来描述，多极矩是张量 1. 单极子的单极矩是电量Q，标量，0阶张量； 2. 偶极子的偶极矩是矢量，一阶张量，在三维空间，3个分量； 3. 四极子的四极矩是二阶张量，32=9个分量； 4. 八极子的八极矩是三阶张量，33=27个分量； 5. 2n极子的2n极矩是n阶张量，有3n个分量； 不同极子分类 多极子可用多极强度来衡量，多极强度是标量 1. 单极子的单极强度是电量q； 2. 偶极子的偶极强度是偶极矩的模； 3. 四极子的强度是：； 4. 八极子的强度是：； ql 21l ql 321 llql 单极子的多极展开式单 极子场 任何电荷系统可以看成是一个单极子（例如分子中的电 场），它所形成的电场。 位于距原点O为的点电荷q在场点处产生的电位： r |4 ) 0 rr q r （ 2/1 2 2/12 2 cos2)(1)cos2(| r r r r rrrrrrr 414. 0 r r 当 有1|cos 2 | 2 r r r r ）（ 单极子的多极展开式单 极子场 . 8642 7531 642 531 42 31 2 1 1 1 1 432 xxxx x 利用 cos 2 2 r r r r ）（ 对展开按升幂排列，则 .)cos 2 3 cos 2 5 () 2 1 cos 2 3 (cos 4 1 ) 3 4 3 2 3 2 2 0 r qr r qr r qr r q r （ 写成通式： )(cos 4 1 ) 1 0 n n n P r qr r （ 单极子的多极展开式单 极子场 cos 2 1 cos 2 3 2 cos 2 3 cos 2 5 3 n=0 P0 = 1 n=1 P1 = n=2 P2 = n=3 P3 = 由的幂级数表示 r 1 . 4 1 ) 3210 4 3 3 2 2 10 0 r K r K r K r K r （ 单极子的多极展开式单极子 场 第一项 r q 0 0 4 1 第二项 2 0 1 1 4r K 3 0 2 2 4r K 第三项 4 0 3 3 4r K 第四项 qK 0 0 1 coscosrqrK ) 2 1 cos 2 3 ( 22 2 qrK ）（cos 2 3 cos 2 5 33 3 qrK 实际偶极子的多极展开式实际 偶极子的电场 一个在原点的实际偶极子是两个单极子（+q）和（-q）在处的电 位迭加 )(cos 4 1 1 0 n n n p P r qr )cos( 4 1 )cos( 4 1 1 0 1 0 n n n n n n n P r qr P r qr )cos()(cos 4 1 1 0 nn n n n np PP r qr 对于勒让德多项式 )cos()(cos 22 nn PP )(cos)cos( 1212 nn PP 实际偶极子的多极展开式实际 偶极子的电场 )(cos 2 1 ) 12 0 22 12 0 n n n n P r qr r （ 2 0 0 cos2 4 1 r qr 点偶极子 ） cos 2 3 cos 2 5 ( 2 4 1 3 4 3 0 1 r qr 点八极子 ） cos15cos70cos63( 8 12 4 1 35 6 5 0 2 r qr 点三十二极子 可见实际偶极子的电场不等于点偶极子电场，可见实际偶极子的电场不等于点偶极子电场， 而是无数个点多极子电场的迭加而是无数个点多极子电场的迭加 分子或离子中电荷系统多极展开 式 分子或离子中电荷系统的电场把原子，分子或离子作为场源， 在自身以外很远的地方建立电场，电荷连续分布： R dv 0 4 1 212 2 )cos2(rrrrR rr 在场点很远处 .)cos 2 1 cos 2 3 ( 1 cos 11 4 1 22 3 2 0 dvr r dvr r dr r r ）（ .)( 4 1 3 2 2 10 0 r K r K r K 0 dvK 电荷系统的总电量或单极矩 分子或离子中电荷系统多极展开 式 dudvrKcoscos 1 )(dvrrdu r 是电荷系统的偶极电矩在方向的分量。 22 3 2 )()cos 2 1 cos 2 3 ( 1 dvrr r K K0,K1,K2只决定于电荷分布，与无关r 结论：电荷分布的原子、分子或离子场源，在远离场源地方建立 的电位主要取决于幂级数展开式中第一个系数不为零的项。 分子或离子中电荷系统多极展开 式 1. 对原子分子来说, ,其电位主要取决于在原点的一个点偶极子 建立的场项 0 0 K 2 0 1 4r K 2. 对于离子来说，不论K1和K2多大在离原点足够远的地方， 电位主要取决于原点的一个点电荷，其电位对电介质来说， 单极强度和偶极强度起主要作用，而其它电矩可以忽略。 0 0 K r K 0 0 4 均匀电场中的偶极子 - + E 偶极子放在均匀外电场时 l q 受到的合力为零 EM 但力矩M不为零 偶极子在电场中的势能： Eqqqw