神奇的圆锥曲线问题探究

闻杰科研成果 神奇的圆锥曲线动态结构168- 67-神奇的圆锥曲线动态结构168杭州学军中学闻杰说明：本系列第一部分（1-20）课件于2006年获教育部中央教科所全国课件大赛一等奖，2007年由教育部主管清华大学主办中国多媒体教学学报电子版连载6期发表现已完善至(21-61)共168个案例。 众所周知圆锥曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代数性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了168条性质，归类为五十七个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下：作者闻杰联系方式：邮：电：Email: 操作说明本部分可以让你快速浏览本书所有动态课件的概貌，每页下面附有一个问题探究，它可以让你发挥自己的聪明才智，大胆想象动态过程中可能出现的漂亮结果，当你遇到困难时你随时可以启动随带的光盘（只要选中相应图示，按住CTRL单击图片，即可打开动画，动画中的点A均为可拖动），验证自己的设想，同时，也可以通过动态运行，启发你的思路，观察发现一些新的结论，达到以美启真的功效，让你更加聪明。几何画板5.01 中文破解版.exe下载地址/f/.html?from=like安装后即可启动所有动画，只要双击目录下标题或（动态图示）每页首个图象，即能自动连接启动课件神奇的圆锥曲线动态结构目录一、神奇曲线，定义统一01距离和差，轨迹椭双02距离定比，三线统一二、过焦半径，相关问题03切线焦径，准线作法04焦点切线，射影是圆05焦半径圆，切于大圆06焦点弦圆，准线定位07焦三角形，内心轨迹三、焦点之弦，相关问题08焦点半径，倒和定值09正交焦弦，倒和定值10焦弦中垂，焦交定长11焦弦投影，连线截中12焦弦长轴，三点共线13对焦连线，互相垂直14相交焦弦，轨迹准线15相交焦弦，角分垂直16定点交弦，轨迹直线17焦弦直线，中轴分比18对偶焦弦，比和定值四、相交之弦，蝴蝶特征19横点交弦，竖之蝴蝶20纵点交弦，横之蝴蝶21蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22主轴分割，等比中项23定点割线，倒和两倍24定点割线，内外定积25主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26焦点之弦，张角相等27定点之弦，张角仍等28对称之点，三点共线29焦点切点，张角相等30倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31动弦中点，斜积定值32切线半径，斜积仍定33动弦中垂，范围特定34定向中点，轨迹直径35定点中点，轨迹同型八、向量内积，定值问题36焦弦张角，内积定值37存在定点，内积仍定九、其它重要性质38光线反射，路径过焦39切线中割，切弦平行40直周之角，斜过定点41正交半径，斜切定圆42直径端点，斜积定值43垂弦端点，交轨对偶44准线动点，斜率等差45焦点切线，距离等比46共轭点对，距离等积47正交中点，连线定点48顶点切圆，切线交准49平行焦径，交点轨迹50内接内圆，切线永保51切线正交，顶点轨迹52斜率定值，弦过定点53直线动点，切弦定点54与圆四交，叉连互补55交弦积比，平行方等56补弦外圆，切于同点57、焦点切长，张角相等58斜率积定，连线过定59切点连线，恒过定点60.焦点准线，斜率等差161.焦点准线，斜率等差21距离和差，轨迹椭双实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆。定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线。定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线。问题探究1已知动点在圆A：上运动，定点，则（1）线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？（2）若，直线过点与直线的交于点，且，则点的轨迹又是什么？2距离定比，三线统一实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线。问题探究2已知定点，定直线：，动点在直线上，过点且与垂直的直线上有一动点P，满足，请讨论点P的轨迹类型。3切线焦径，准线作法实验成果动态课件椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线 双曲线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线。 问题探究3已知两定点，动点满足条件，另一动点Q满足，求动点Q的轨迹方程。4焦点切线，射影是圆实验成果动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆。焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆。焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）。问题探究4已知两定点，动点满足条件，动点Q满足，求动点Q的轨迹方程。5焦半径圆，切于大圆实验成果动态课件以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（此圆（简称“大圆”）与椭圆内切，）相切以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆（此圆（简称“小圆”）与双曲线外切）相切。以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷大（实为顶点处的切线）与曲线外切）相切 问题探究51已知动点P在椭圆上，F为椭圆之焦点，探究是否为定值2已知点P在双曲线上，F为双曲线之焦点，探究是否为定值6焦点弦圆，准线定位实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交。抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切。 问题探究6过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.7焦三角形，内心轨迹实验成果动态课件椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆双曲线焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过双曲线实顶点的两条平行且垂直于实轴的开线段(长为2b)抛物线焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原抛物线焦点为顶点的抛物线问题探究71已知动点P在椭圆上，为椭圆之左右焦点，点为的内心，试求点的轨迹方程。2已知动点P在双曲线上，为双曲线之左右焦点，圆是的内切圆，探究圆是否过定点，并证明之。8焦点半径，倒和定值实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数问题探究8已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，是否存在实常数，使恒成立。并由此求的最小值。（借用柯西不等式）9正交焦弦，倒和定值实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数。双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数问题探究9已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，且，是否存在实常数，使恒成立。并由此求四边形面积的最小值和最大值。10焦弦中垂，焦交定长实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB的中垂线与长轴的交点为D，则与之比是离心率的一半。设双曲线焦点弦AB的中垂线与焦点所在轴的交点为D，则与之比是离心率的一半设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴的交点为D，则与之比是离心率的一半。问题探究10已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，中垂线交轴于点D，是否存在实常数，使恒成立。11焦弦投影，连线截中实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段。双曲线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段。抛物线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段。问题探究11已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，直线交轴于点G，点在直线上的射影分别是，设直线的交点为D，是否存在实常数，使恒成立。12焦弦长轴，三点共线实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B与长轴顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线双曲线焦点弦端点A、B与实轴顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线抛物线焦点弦端点A、B与顶点D（D在无穷远处）连线与准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线 问题探究12已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点， 分别为椭圆的左右顶点，动点满足试探究点的轨迹。13对焦连线，互相垂直实验成果动态课件椭圆左焦点弦端点A、B与右顶点D连线AD，BD交相应准线于点N、M，则 双曲线左焦点弦端点A、B与右顶点D连线AD，BD交相应准线于点N、M，则抛物线焦点弦端点A、B与顶点D（无穷远处）连线交相应准线于点N、M，则 问题探究13已知双曲线，为双曲线之左焦点，过点的直线交双曲线于A，B两点， 分别为双曲线的左右顶点，动点满足动点满足试探究是否为定值。14相交焦弦，轨迹准线实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 问题探究14已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，直线，直线AD交直线于点P，试判断点P、B、C是否三点共线，并证明之。15相交焦弦，角分垂直实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦AB，CD端点所在直线AD和BC交点P必在准线上且交点P与焦点的连线平分角双曲线的任意两焦点弦 AB，CD端点所在直线AD和BC交点P必在准线上且交点P与焦点的连线平分角抛物线的任意两焦点弦 AB，CD端点所在直线AC和BD交点P必在准线上且交点P与焦点的连线平分角 问题探究15已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，直线，直线AD交直线于点P，试证明。16定点交弦，轨迹直线实验成果动态课件过椭圆长轴直线上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线。过双曲线实轴直线上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线。过抛物线对称轴上任意一定点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线问题探究16已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证明点P的轨迹为直线，17焦弦直线，中轴分比实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值。双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值。过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值。 问题探究17已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，设直线AB与轴于点，试求的值。18对偶焦弦，比和定值实验成果动态课件过椭圆上任一点A作两焦点的焦点弦AC和AB，其共线向量模的比之和为定值即。过双曲线上任一点A作两焦点的焦点弦AC和AB，其共线向量模的比之和为定值即。（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即。问题探究18已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：。求椭圆的方程；设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为,设，求的值。19横点交弦，竖之蝴蝶实验成果动态课件过椭圆长轴所在直线上任意一点T（）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段NM（）相等，即NTTM过双曲线实轴所在直线上任意一点T（）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段NM（）相等，即NTTM。过抛物线对称轴上任意一点T（）的两条弦AB和CD端点的直线AC和BD截过T点的垂线段NM（）相等，即NTTM。问题探究19已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，过分别作切线 ，点在抛物线上，且，是抛物线在P处的切线，若过点且交 于N，M，交抛物线于，试探索是否成立。20纵点交弦，横之蝴蝶实验成果动态课件过椭圆短轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ过双曲线虚轴上任意一点N（）的两条弦端点作两条直线,一定截过N点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ过抛物线对称轴上任意一点N（）的两条弦端点作两条直线,一定截过N点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ问题探究20已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，和C，D两点，设直线过点T且，交于点N，M，试证明。实验成果动态课件过椭圆直径所在直线上任意一点T作的两条弦AB，CD，过其端点作两条直线AC和BD,截过T点与N点切线平行的直线段，被T点平分，即MT=TR（N点为主轴OT与曲线的交点）过双曲线直径所在直线上任意一点T作的两条弦AB，CD，过其端点作两条直线AC和BD,截过T点与N点切线平行的直线段，被T点平分，即MT=TR（N点为主轴OT与曲线的交点）过平行于抛物线对称轴的直线上任意一点T作两条弦AB，CD，过其端点作两条直线AC，BD，截过T点与N点切线平行的直线段，被T点平分，即MT=TR（N点为主轴NT与曲线的交点）21蝴蝶定理，一般情形22主轴分割，等比中项实验成果动态课件过椭圆中心O与点的连线交椭圆于N，交切点弦于点Q，则，。且Q点平分切点弦AB。（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且点P与直线沿直线PO作反向运动。双曲线中心O与点的连线交双曲线于N，交切点弦于点Q，则，。且Q点平分切点弦AB。（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且点P与直线沿直线PO作反向运动。设过点P与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N，交切点弦于点Q，则，。且Q点平分切点弦AB。（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）。且点P与直线作反向运动。问题探究22已知椭圆，过原点，点的直线交椭圆于点N，过点T的中点弦为AB，过A，B分别作切线且交于点P，求证：23定点割线，倒和两倍实验成果动态课件过椭圆外一点的任一直线与椭圆的两个交点为C、D，与椭圆切点弦的交点为Q，则成立。反之亦然。双曲线外一点的任一直线与双曲线的两个交点为C、D，与双曲线切点弦的交点为Q，则成立。反之亦然。 过抛物线外一点P的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦的交点为Q，则成立。反之亦然。问题探究22过抛物线外一点作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，另一直线过点P与抛物线交于两点C、D，与直线AB交于点Q，试探求的值是否为定值。 24定点割线，内外定积实验成果动态课件过椭圆外一点P的任一直线与椭圆的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然。过双曲线外一点P的任一直线与双曲线的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然。过抛物线外一点P的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然。问题探究23过椭圆外一点作直线与椭圆交于两点C、D，点Q在线段CD上，且满足试探求点Q的轨迹。 25主轴交点，切线平行实验成果动态课件椭圆中心O与椭圆外一点的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦。双曲线中心O与双曲线外一点的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的切点弦。过抛物线中心O（这中心在无穷远处）与抛物线外一点的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦。问题探究24过抛物线外一点作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，另一直线：与抛物线交于点N，与直线AB交于点Q，求证：（1）N点处的切线与直线AB平行，（2）。 26焦点之弦，张角相等实验成果动态课件椭圆准线与长轴的交点G与焦半径端点A、B连线AG、BG所成角被长轴平分双曲线准线与长轴的交点G与焦半径端点A、B连线AG、BG所成角被长轴平分抛物线准线与长轴的交点G与焦半径端点A、B连线AG、BG所成角被长轴平分问题探究26已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P。使得斜率。27定点之弦，张角仍等实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一定点N（）的一条弦AB，端点与对应点的连线所成角必被对称轴（NG所在直线）平分。过实轴所在直线上任意一定点N（）的一条弦AB，端点与对应点的连线所成角被对称轴（NG所在直线）平分。过对称轴上任意一定点N（）的一条弦AB，端点与对应点的连线所成角被对称轴（NG所在直线）平分。问题探究27已知双曲线，过点的直线交双曲线于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P。使得斜率。28对称之点，三点共线实验成果动态课件过点Q(t,0)的直线交椭圆于AB两点，点A关于x轴的对称点A,则点A，B，三点共线。过点Q(t,0)的直线交双曲线于AB两点，点A关于x轴的对称点A,则点A，B，三点共线。过点P(t,0)的任一直线交椭圆于AB两点，点A关于x轴的对称点A,则点A，B，P(-t,0)三点共线。问题探究28抛物线，直线过点并交抛物线于M、N，若，直线与x轴交于点E，试探究：的夹角是否为定值。29焦点切点，张角相等实验成果动态课件过椭圆外一点P作椭圆的两条切线PA、PB，点P与焦点连线，则 过双曲线外一点P作双曲线的两条切线PA、PB，点P与焦点连线，则 过抛物线外一点P作抛物线的两条切线PA、PB，点P与焦点连线（另一焦点在无穷远处），则 。 问题探究29过点作抛物线的切线PA（斜率不为0），为焦点，研究斜率的关系。30倾角互补，连线定角实验成果动态课件过椭圆上一定点倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值过双曲线上一定点倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值过抛物线上一定点倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值问题探究30过点作直线PA、PB，分别交抛物线于A、B两点，且斜率，（1）探究直线AB的斜率是否为定值，（2）试研究三角形PAB的面积是否有最大值。31动弦中点，斜积定值实验成果动态课件圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积为定值椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值问题探究31已知椭圆的动弦AB的中点为M，试研究斜率是否为定值（O为原点）。32切线半径，斜积仍定实验成果动态课件圆切线与切线处半径的斜率积为定值椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值 问题探究32已知点P为椭圆上的动点，设点P的切线斜率为，试研究斜率是否为定值（O为原点）。33动弦中垂，范围特定实验成果动态课件椭圆的动弦AB的中垂线MQ必不过焦点（AB不垂直于长轴）若设，则必有（e为离心率，c为半焦距）双曲线的动弦AB的中垂线MQ必不过焦点（AB不垂直于长轴）若设，则必有（e为离心率，c为半焦距）抛物线的动弦AB的中垂线MQ必不过焦点（AB不垂直于对称轴）若设，则必有（P为焦准距）问题探究33已知椭圆的动弦AB的中垂线交x轴于点，试研究的取值范围。34定向中点，轨迹直径实验成果动态课件椭圆的定向弦AB的中点轨迹是过椭圆中心的线段。双曲线的定向弦AB的中点轨迹是过双曲线中心的直线。抛物线的定向弦AB的中点轨迹为平行于抛物线对称轴的射线。问题探究341 对于给定的椭圆，怎样用圆规和直尺找出椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点、准线。2 对于给定的双曲线，怎样用圆规和直尺找出双曲线的中心、对称轴、顶点、焦点、准线、渐近线。3对于给定的抛物线，怎样用圆规和直尺找出抛物线的对称轴、顶点、焦点、准线。35定点中点，轨迹同型实验成果动态课件椭圆的定点弦AB的中点轨迹为原椭圆内的椭圆弧双曲线的定点弦AB的中点轨迹为双曲线抛物线的定点弦AB的中点轨迹为抛物线。问题探究35过点的直线交抛物线于AB两点，试探求AB中点的轨迹实验成果动态课件在椭圆焦点所在直线上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量点积为定值且在椭圆、情形下定点坐标为 在双曲线焦点所在直线上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量点积为定值且在双曲线情形下定点坐标为 在抛物线对称轴上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量点积为定值在抛物线情形下定点C恰为顶点36焦弦张角，内积定值问题探究36已知椭圆，直线过焦点交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使为定值37存在定点，内积仍定实验成果动态课件过椭圆长轴直线上任一定点的直线交椭圆于A、B两点，则必存在一定点，它与AB弦端点所张的向量点积为定值。过双曲线实轴直线上任一定点的直线交双曲线于A、B两点，则必存在一定点，它与AB弦端点所张的向量点积为定值 过抛物线对称轴直线上任一定点的直线交抛物线于A、B两点，则必存在一定点定点C恰为顶点 问题探究37已知椭圆，直线过点交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使为定值。38光线反射，路径过焦实验成果动态课件由焦点发出的光线经椭圆曲面反射后的光线必过另一焦点由焦点发出的光线经双曲面反射后的光线所在直线必过另一焦点由焦点发出的光线经抛物面反射后的光线必过另一焦点（另一焦点在无穷远处，故反射光线会平行于对称轴）问题探究38要测试一只音响的声音效果，请你设计出一个测试房间，使测试效果尽可能准确39切线中割，切弦平行实验成果动态课件过椭圆外一定点与切点连线的中点的任一直线交椭圆于两点,这两点分别与定点的连线交椭圆于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等过双曲线外一定点与切点连线的中点的任一直线交双曲线于两点,这两点分别与定点的连线交双曲线于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等过抛物线外一定点与切点连线的中点的任一直线交抛物线于两点,这两点分别与定点的连线抛物线于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等 问题探究39抛物线上一点，点P是以H为切点的切线上一点，点M满足，过点P的直线交曲线于两点，过M，D的直线交曲线于点，过P，C的直线交曲线于点，求证：40直周之角，斜过定点实验成果动态课件以椭圆上一定点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点恰在斜边的中点轨迹上。若直角顶点在椭圆上运动时,其对应的定点在一新的椭圆上运动.以双曲线上一定点为直角顶点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点,且定点恰在斜边的中点轨迹上。若直角顶点在双曲线上运动时,其对应的定点在一新的双曲线上运动.以抛物线上一定点为直角顶点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨迹上。若直角顶点在抛物线上运动时,其对应的定点在一新的抛物线上运动.问题探究40抛物线上一点，A,B是抛物线上另两点，且，。（1） 试探求点Q的轨迹。（2）试探求直线AB是否过定点。41正交半径，斜切定圆实验成果动态课件直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在椭圆上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在双曲线上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆问题探究411.设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。2.已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. 42直径端点，斜积定值实验成果动态课件圆上动点对直径端点的斜率积为定值椭圆上动点对直径端点的斜率积为定值双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值问题探究42已知定点，P为动点且满足：PA，PB的斜率，试探求点P的轨迹43垂弦端点，交轨对偶实验成果动态课件椭圆中垂直于长轴的弦的端点对长轴顶点的连线交点轨迹为与椭圆共顶点的双曲线。双曲线中垂直于实轴的弦的端点对实轴顶点的连线交点轨迹为与双曲线共顶点的椭圆抛物线中垂直于对称轴的弦的端点对顶点的连线交点轨迹为与抛物线共顶点的抛物线。问题探究43已知椭圆的动弦垂直交x轴于点，椭圆的长轴端点分别为，试探求直线交点的轨迹。44准线动点，斜率等差实验成果动态课件过x轴上一定点Q(t，0)的直线交椭圆于两点A，B，则在直线上任一点P对弦AB端点及定点Q的连线的斜率成等差。过x轴上一定点Q(t，0)的直线交双曲线于两点A，B，则在直线上任一点P对弦AB端点及定点Q的连线的斜率成等差过x轴上一定点M(t，0)的直线交抛物线于两点A，B，则在直线上任一点P对弦AB端点及定点M的连线的斜率成等差。问题探究44过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点. （）试证明两点的纵坐标之积为定值； （）若点是定直线上的任意一点，分别记直线的斜率为，试探求之间的关系，并给出证明.45焦点切线，距离等比实验成果动态课件椭圆的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为。双曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为。抛物线还未找到相应性质 问题探究45已知直线是过椭圆上一点的切线，（1）求两焦点到切线的距离积。（2）当是椭圆的任一切线时，试问两焦点到切线的距离积是否为定值。46共轭点对，距离等积实验成果动态课件过椭圆对称轴上一定点Q(t,0)的动弦AB，一端点B与另一端点A关于坐标轴的对称点的连线交对称轴于点P，则定值。过双曲线对称轴上一定点Q(t,0)的动弦AB，一端点B与另一端点A关于坐标轴的对称点的连线交对称轴于点P，则定值。抛物线还未找到相应性质问题探究46设椭圆的右焦点弦AB，点B关于x轴的对称点为，直线交x轴于点。（1）求的值。（2）若点Q(t,0)是对称轴上任一定点，动弦CD所在直线过点Q，端点B关于x轴的对称点为，直线交x轴于点，试研究是否为定值，其定值与椭圆的几何量有何关系？47正交中点，连线定点实验成果动态课件椭圆中互相垂直的焦点弦中点连线必过定点。双曲线中互相垂直的焦点弦中点连线必过定点。抛物线中互相垂直的焦点弦中点连线必过定点。问题探究47：已知直线过抛物线的焦点，分别交抛物线于A，B和C，D四点，且，直线分别过AB和CD的中点，问直线是否过定点？ 48顶点切圆，切线交准实验成果动态课件过椭圆中心O的直线OH垂直于并与大圆在Q点处的切线相交于点P，则点P的轨迹是与焦点对应的准线。过双曲线中心O的直线OH垂直于并与小圆在Q点处的切线相交于点P，则点P的轨迹是与焦点对应的准线。问题探究48：设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为动点满足（其中，不重合）（）求点的轨迹的方程；（）过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为若直线与（）中的曲线交于两点，求的取值范围实验成果动态课件椭圆同侧平行的两焦半径对角连线的交点轨迹是椭圆。双曲线同侧平行的两焦半径对角连线的交点轨迹是椭圆。49平行焦径，交点轨迹问题探究49：已知椭圆，为椭圆的左右焦点， A，B分别为椭圆上两点， ，请探求交点的轨迹。50内接内圆，切线永恒实验成果动态课件过椭圆上任一点A引椭圆内接三角形UVW的内切（旁切）圆G的切线交椭圆于另两点BC，则这另两点的连线BC必是圆G的切线。过双曲线上任一点A引双曲线内接三角形UVW的内切（旁切）圆G的切线交双曲线于另两点BC，则这另两点的连线BC必是圆G的切线。过抛物线上任一点A引抛物线内接三角形UVW的内切（旁切）圆G的切线交抛物线于另两点BC，则这另两点的连线BC必是圆G的切线。问题探究50若点是曲线C：上的动点，过点P与圆：的切线为，交曲线C于另两点、B，问是否存在，使对任意的动点P，直线AB必与圆相切。51切线正交，顶点轨迹实验成果动态课件椭圆的两条正交切线的交点轨迹是圆。双曲线的两条正交切线的交点轨迹是圆。抛物线的两条正交切线的交点轨迹是准线（无穷大圆）。问题探究51：已知直线分别切抛物线于A，B两点，且，请探求交点的轨迹。实验成果动态课件过椭圆外一点P任作一直线交椭圆于AB两点，过