立体几何(几何法)—二面角(模型四

立体几何（几何法）二面角（模型四）例1（2012高考真题四川理19）(本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，平面平面。（）求直线与平面所成角的大小；（）求二面角的大小。【答案】解：解法一：(1)设AB的中点为D，AD的中点O，连结POCOCD.由已知，PAD为等边三角形所以POAD.又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAD，所以PO平面ABC.所以OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设AB4，则PD2，CD2，OD1，PO.在RtOCD中，CO.所以，在RtPOC中，tanOCP.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan.(2)过D作DEAP于E，连结CE.由已知可得，CD平面PAB.根据三垂线定理知，CEPA.所以CED为二面角BAPC的平面角由(1)知，DE.在RtCDE中，tanCED2.故二面角BAPC的大小为arctan2.解法二：(1)设AB的中点为D，作POAB于点O，连结CD.因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAD，所以PO平面ABC.所以POCD.由ABBCCA，知CDAB.设E为AC中点，则EOCD，从而OEPO，OEAB.如图，以O为坐标原点，OBOEOP所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设PA2，由已知可得，AB4，OAOD1，OP，CD2.所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，C(1,2，0)，P(0,0，)所以(1，2，)，而(0,0，)为平面ABC的一个法向量设为直线PC与平面ABC所成的角，则sin.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arcsin.(2)由(1)有，(1,0，)，(2,2，0)，设平面APC的一个法向量为(x1，y1，z1)，则从而取x1，则y11，z11，所以(，1,1)设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而面ABP的一个法向量为(0,1,0)，则cos.故二面角BAPC的大小为arccos.例2（2012高考重庆文20）（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值图13【答案】解：(1)因ACBC，D为AB的中点，故CDAB.又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD.(2)解法一：由CDAB，CDBB1，故CD面A1ABB1，从而CDDA1，CDDB1，故A1DB1为所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1，A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A，因此，得AAADA1B18.从而A1D2，B1DA1D2，所以在A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1.解法二：如下图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴y轴z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h，则A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，从而(4,0，h)，(2，h)由得0，即8h20，因此h2.图14故(2,0,2)，(2,0,2)，(0，0)设平面A1CD的法向量为(x1，y1，z1)，则，即取z1