微积分CII试题汇编

微积分 CII 试题汇编 1 微积分 CII 试题汇编 （编辑 2011 级 李雪伟） 说 明： 1.本试题集收录试题共 12 套（1999 年至 2010 年） ，供训练、复习使用; 2.本试题汇编答案仅供参考,个别试题在勘误时存在疑问,不排除答案存在错误的可能. 1 试题部分 目 录 一、1999 -2000 学年微积分 CII 期末试题 . 2 二、2000 -2001 学年微积分 CII 期末试题 . 2 三、2001 -2002 学年微积分 CII 期末试题 . 4 四、2002 -2003 学年微积分 CII 期末试题 . 5 五、2003 -2004 学年微积分 CII 期末试题 . 6 六、2004 -2005 学年微积分 CII 期末试题 . 7 七、2005 -2006 学年微积分 CII 期末试题 . 8 八、2006 -2007 学年微积分 CII 期末试题 . 9 九、2007 -2008 学年微积分 CII 期末试题 . 10 十、2008 -2009 学年微积分 CII 期末试题 . 11 十一、2009 -2010 学年微积分 CII 期末试题 . 13 十二、2010 -2011 学年微积分 CII 期末试题 . 14 微积分 CII 试题汇编 2 一、 1999 -2000 学年微积分 CII 期末试题 一、求解下列各题（40 分） 1.求二元函数ln( ln()zyxy的定义域，并画出定义域的草图. 2.设函数( , )(1)arctan x zf x yyx y ,求 (8,2)y f. 3.设函数sin() xy zexy,求dz. 4.设函数( , )zf x y由方程 222 2xyzxyz所确定,求 z x , z y . 5.设三元函数 z y ux,求 u x , 2u x z . 6.判断级数 1 1 1 1 ( 1)sin 1 n n n n 的敛散性. 7.已知函数 1 ( )1,(,) ! n n x f xx nn ,试求函数( )( ( )g xf f x在0 x 处的导数 (0) g的值. 8.设函数 322 42uxxxyy,求定义域:,1D xy y,求其极值. 二、计算下列各题(28 分) 1. D ydxdy 其中D是由 2 2yxx,直线0,2,2xxy所围成的区域. 2. 2 x D e dxdy 其中D是由,1yx x ,及x轴所围成的区域. 3. 1 22 00 1 x dxxxy dy . (本试题部分缺失) 二、 2000 -2001 学年微积分 CII 期末试题 一、求解下列各题（50 分） 微积分 CII 试题汇编 3 1.求二元函数 22 ln(1)zxyxy的定义域D,并画出D的草图. 2.求广义积分 2 3 0 x x edx . 3.设 1 0 ( )1( )f xxxxf x dx ,求 1 0 ( )f x dx . 4.求由曲线 2 yx,直线yx围成的平面图形的面积,及绕x轴旋转所得到的旋转体的体 积. 5.判断级数 1 sin 23 n n nn 是否收敛.若收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 6.求级数 22 1 21 2 n n n n x 的收敛区间. 7.设arctan()zxy,且 x ye,求 z x 和 dz dx . 8.设 22 (,) y f xyxy x ,求( , )df x y. 9.设 22 (,) x y zf xy e ,且f具有二阶连续偏导数,求 2z x y . 10.求由平面3xyz,0z ,柱面 22 1xy围成的曲顶柱体的体积. 二、求下列二重积分(18 分) 1. 2 22 2 1 2 0 y xy y dyedx 2. 11 0 cos y x dydx x 三、计算下列各题(18 分) 1.设( , , )uf x y z,且( , )zz x y由方程(,)0F xy yz确定,求du. 2.设( )yf x是一个可微函数,且满足 2 0 ()( )1 x f xt dtf xx ,求( )f x. 3.将函数 1 ( )arctan 1 x f x x 展开成x的幂级数,并写出收敛域. 四、求方程的通解(5 分) 322 x yyye 五、应用题(5 分) 已知某工厂生产甲、乙两种产品,当产量分别是x、y单位时,总成本函数为 22 ( , )2237.5c x yxxyy, 两 种 产品 的 售价 与产量 有 关 ,设 甲 产品 的售价 为 微积分 CII 试题汇编 4 1 7023Pxy,乙产品的售价为 2 11035Pxy,求该厂利润最大时的产量. 三、 2001 -2002 学年微积分 CII 期末试题 一、求解下列各题(50 分) 1.求二元函数 22 ln() 1 x zxy xy 的定义域D,并画出D的草图. 2.求定积分 2 1 1 x edx . 3.求反常积分 1 (1) dx x x . 4.求极限 2 2 2 0 lim x x t x e t e dt x . 5.已知函数( )f x连续,且 0 ()1 cos x tf xt dtx ,求 2 0 ( )f x dx . 6.求由曲线yx,直线1y ,0 x 所围平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积. 7.设函数arctan 1 xy z xy ,求 x z, xy z. 8.设函数(,)zyf xy xy,且f具有二阶连续偏导数. 求 x z, xy z. 9.求由方程 222 2xyzxyz所确定的函数( , )zz x y在点(1,0, 1)处的全微分. 10.求函数 33 3zxyxy的极值. 二、求解下列各题(20 分) 1.求幂级数 1 1 2 n n n x n 的收敛域. 2.判断级数 1 cos()sin n n n 的敛散性. 3.用间接展开法将函数( )ln(23 )f xx展开成x的级数,并指出收敛域. 4.求数项级数 1 1 2! n n n 的和. 三、计算二重积分(12 分) 微积分 CII 试题汇编 5 1. 22 22 ,( , )14,0 xy D edxdy Dx yxyy 2. 1 xy y D e dxdy y ,D由曲线 x ye,直线2y ,0 x 所围成. 四、求下列微分方程的通解,或在给定初始条件下的特解(18 分) 1., (0)1 1 dyy y dxx 2. 222 (22)0 x dyyxyxx dx 3. 69yyyx 四、 2002 -2003 学年微积分 CII 期末试题 一、求解下列各题(56 分) 1.设0 x 时, 2 2 0 ( ) xx f t dtx ,其中( )f x连续,求(2)f.(6 分) 2.求 3 01 1 xdx x .(6 分) 3.求 1 2 0 (arccos ) x dx .(6 分) 4.设 1 2 0 1 ( )( )1 1 x xef x dxf x x ,求 1 0 ( )f x dx .(7 分) 5.求由曲线 1 y x ,2y ,yx所围成的平面图形的面积及该图绕x轴旋转所得旋转体的 体积. (7 分) 6.设 y x zx,求 z x , z y .(6 分) 7.设函数( , )zz x y由方程ln xz zy 所确定,求 z x 和 2z x y .(6 分) 8.设(,) x zf xy y ,其中f存在二阶连续偏导数,求 z y , 2 2 z y .(6 分) 9.求函数 22 ( , )(2) x zf x yexyy的极值.(6 分) 二、求二重积分(12 分) 1.求二重积分(6 ) D xy dxdy ,D为,5 ,1yx yx x所围成的区域. 微积分 CII 试题汇编 6 2.求 22 22 1 1 D xy dxdy xy , D为 22 1,0,0 xyxy所围成的区域的第一象限部分. 三、求解下列各题(32 分) 1.判断级数 1 !2 sin 3 n nn n n n 的敛散性,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 2.求幂级数 0 (1) (1)2 n n n x n 的收敛域. 3.将函数 2 ( ) 12 x f x xx 展开为x的幂级数,并写出收敛区间. 4.求数项级数 0 12 ! n n n n 的和. 五、 2003 -2004 学年微积分 CII 期末试题 一、求解下列各题 1.设函数 1 ,0 1 ( ) 1 ,0 1 x x x f x x e ,求 2 0 (1)f xdx . 2.设 2 (2) y x zxy ,求 z x , z y . 3.设由方程2 x y z xyze 确定的隐函数( , )zz x y,求 2z x y . 4.设函数( , )zz x y由方程(,)0f xy yz所确定,其中f二阶可微,求dz和 2 2 z x . 5.计算 211 2 0 y x x dxedy . 6.设区域 222 ( , )Dx y xyk,其中0k ,求k的值,使二重积分 222 D kxy dxdy . 7.判断级数 1 ( 1)n nnn 的敛散性,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 微积分 CII 试题汇编 7 8.求级数 21 1 1 2 ( 1) (21)! n n n nx n 的收敛域与和函数. 9.用间接展开法将函数 111 ( )lnarctan 412 x f xx x 展成x的幂级数,并指出收敛域. 10.求方程 22 x yxyy满足初始条件 1 1 x y 的特解. 11.求方程 2 ln y y yyyx 的通解. 12.求由曲线 2 2 ,0,1yxx yx和3x 所围成的平面区域D的面积及该区域绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积. 二、应用题 甲、乙两个工厂生产同一产品,各自的成本函数分别为 2 1( ) 24C xx和 2 2( ) 68Cyy, 其中, x y分别表示两厂的产量.若该产品的市场需求函数为884()pxy,求利润最大 时各厂的产量和价格. 六、 2004 -2005 学年微积分 CII 期末试题 1.求( , )ln ln()f x yxyx的定义域,并画出定义域的草图. 2.求 1 0 ln(1)x dx . 3.假设 22 arcsin x z xy ,求( 1,1)dz . 4.设( , )zf x y是由ln xz zy 确定的隐函数,求 z x , 2z x y . 5.假设 22 (sin ,) x zf ey xy且存在f而既然连续偏导数,求 2z x y . 6.求 222 ,( , )2 ,12,0 D x ydxdy Dx y xyxxyx . 7.求 22 22 1 1 D xy dxdy xy ,其中D为 22 1,0,0 xyxy围成的区域在第一象限部分. 8.判断级数 2 2 1 1 ( 1) ln n n n n 的敛散性,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 微积分 CII 试题汇编 8 9.求幂级数 2 1 2 (1) n n n x n n 的收敛半径和收敛域. 10.将函数( )ln 1 x f x x 展开成1x的幂级数,并指出收敛域. 11.设( )yf x在(,) 上可导,并满足方程 00 ( )(1)( ) xx xf t dtxtf t dt ,求函数 ( )f x. 12.求微分方程 ( )( )( )yfx yf x fx的通解,其中 ( )( )f x fx为已知连续函数. 13.设区域D由1,2,xyxyx围成的平面图形.求 (1) 区域D的面积; (2) 区域D绕轴Ox旋转一周所得旋转体的体积; (3)以D为底,以 2 2 x z y 为顶的曲顶柱体的体积. 七、 2005 -2006 学年微积分 CII 期末试题 一、解答下列各题(42 分) 1.求函数( )ln()f xxyx的定义域,并画出草图. 2.求 arctan 22 0 2 0 (1tan) lim sin x x t t dt x . 3.计算 2 0 sinxx dx . 4.求级数 0 21 1 !2n n n n 的和. 5.判断级数 2 1 1 ! ( 1)sin 2 2 n n n n n 的敛散性. 6.将 2 1 ( ) 32 f x xx 展开成(4)x的幂级数,并写出收敛域. 7.求函数 44 ( , )41f x yxyxy的极值. 二、求解下列各题(40 分) 1.设( , )zz x y由方程 yz zx确定的函数,求 z x , z y . 微积分 CII 试题汇编 9 2.设 2 (, sin )zf x y yx,其中f具有二阶连续偏导数. 3.设( , )zz x y是由方程(,)0f xy yz确定的函数,其中( , )f u v具有二阶连续偏导 数,且0 f v ,求dz和 2z x y . 4.已知 3 2 0 ( )( ) 3 x x t f xfdte ,求( )f x. 5.计算 22 ln(1) D xy d ,其中D是由圆 22 1xy及坐标轴围成的在第一象限的区域. 三、求解下列各题(18 分) 1.设D由yx和 2 yx围成的平面区域,求 sin D y dxdy y .(6 分) 2.设区域是由曲线和围成的平面区域. (1) 计算区域D的面积; (2) 计算区域D绕轴Ox旋转一周所得旋转体的体积; (3)计算以D为底,以 2 ( , )12f x yxy为顶的曲顶柱体的体积.(12 分) 八、 2006 -2007 学年微积分 CII 期末试题 一、解答下列各题（42 分） 1.（1）写出函数sinyx在区间0,1上的一个黎曼和,要求:对0,1区间n等分,且每一个 小区间 1 , ii x x上取 i 为小区间的左端点,0,1,2,1in; (2)利用定积分求极限: 1 0 1 limsin n n k kb nn (其中0b ,b为常数). 2.已知函数( )f x是定义在1,)上的非负连续函数,且由曲线( )yf x与x轴,直线 1x 和xb所围区域的面积是 2 212,1bbb ,求( )f x. 3.已知 2 1 ( )1fx x ,且(1)2f,求( )f x. 4.设 22 ln()zxy,求 z x , 2z x y ;若 2 yx,求 dz dx . 5.写出一个收敛的级数和一个发散的级数,并用定义说明其敛散性. 微积分 CII 试题汇编 10 6.判断级数 2 12n n n 的敛散性. 7. 判断级数 1 ( 1)n nnn 的敛散性;如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛? 二、计算下列各题(36 分) 1.求定积分 2 2 22 xx dx x . 2.设 22 (sin ,) x zF ey xy,其中F具有二阶连续偏导数,求 2z x y . 3.设D是由直线2,yyx和曲线1xy 所围平面区域,求以区域D为底,曲面zxy为 顶的曲顶柱体的体积. 4.设 6 cos ( ) y x f ydx x ,求 6 0 ( )f y dy . 5.求幂级数 2 1 (1) n n x n n 的收敛半径和收敛域. 6.求函数arctanx关于x的幂级数,并指出收敛域.(要求必要过程) 三、应用题(6 分) 设某厂生产的产品在甲、乙两市场的需求函数分别为 11 240.2Qp和 22 100.05Qp, 其中 1 Q和 2 Q分别为产品在两市场的销售量, 1 p和 2 p分别为产品在两市场的售价,若该产 品的总成本函数为 12 3540()CQQ,问产品在甲、乙两市场的售价分别定为多少,可使 总利润最大? 四、求解下列各题(16 分) 1.求由方程 222 224100 xyzxyz所确定的函数( , )zf x y的极值. 2.设( , , )uf x y z,而( , )yy x t是由方程( , , )0 x y t确定的函数,( , )zz x y是由方程 ( , , )x y z确定的函数,其中, ,f 存在一阶连续偏导数,求 u x , u t . 九、 2007 -2008 学年微积分 CII 期末试题 一、计算下列各题(42 分) 微积分 CII 试题汇编 11 1. 1 0 ln(1)x dx . 2. 0 1 xxdx ee . 3. 1 2 0 1arcsinxxxdx . 4.设函数( , )f u v具有二阶连续偏导数,(,) y zf xy x ,求 2z x y . 5.求二元函数3sinzxy的全微分dz. 6.求解微分方程 3 dyy x dxx ,(0)x 7.计算二重积分3 D xdxdy ,其中D是由2yx, 1 2 yx和1y 所围成的有界区域. 二、求解下列问题(24 分) 1. 22 1 1 D dxdy xy ,其中 22 ( , )1,0Dx y xyx y且. 2. 1 0 sin y y x dydx x . 3.求函数 22 (2)(8)zxy,在条件 2 4yx下的极值,并判断该极值是极大值还是极 小值. 三、求解下列级数的问题(20 分) 1.求数项级数 2 1 (1) 4n n n n 的和. 2.求幂级数 1 1 ( 1)4 (1) 3 nn n n n x n 收敛半径和收敛域. 四、解答题(14 分) 设 2 4 ( ) 253 x f x xx . (1)试将( )f x展开成1x的幂级数; (2)利用上题中( )f x的展开式计算 (100)(1) f. 十、 2008 -2009 学年微积分 CII 期末试题 一、计算下列各题(30 分) 微积分 CII 试题汇编 12 1. 1 2 30 1 (1) dx x . 2. 3 2 0 1 ln 9 dx x . 3. 2 lim( ) x axa x f t dt xa ,其中( )f x是(,) 上的连续函数 4.计算二重积分 11 0 x y e dydx x . 5. 计算二重积分 D ydxdy ,其中D是由直线,0yx y和圆 22 4xyx所围成的有界 区域. 二、求解下列各题(30 分) 1.已知函数(, sin )zf xy xy,其中函数f有二阶连续偏导数,求 z x , 2z x y . 2,已知方程20 xyz ezxye 确定了二元隐函数( , )zz x y,求 z x , z y 以及dz. 3.判断级数 1 () 1 n ab nn 的敛散性. 4.判断级数 3 ( 1) ln n n n n 是否收敛,若收敛说明是条件收敛还是绝对收敛. 5.求微分方程 22 320 dy xxyy dx 的通解. 三、证明题(5 分) 已知函数( )f x在区间 , a b上连续,( )F x是( )f x在区间 , a b上任意一个原函数,证明: ( )( )( ) b a f x dx F bF a . 四、幂级数综合题(10 分) 求幂级数 2 1 1 21 2 n n n n x 的收敛半径、收敛区间、收敛域,并求它的和函数. 五、几何应用题(12 分) 设区域D是由曲线,0,2,0 x yexxy围成的平面区域. (1)计算D的面积; (2)计算D围绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积; 微积分 CII 试题汇编 13 (3)计算以D为底,以 2 ( , )2f x yxy为曲顶的柱体体积. 六、经济应用题(13 分) 某企业生产两种产品A和B,其利润是这两种产品的产量x和y(单位:千只)的函数,其中, 22 ( , )461815L x yxyxyxy (单位:百万元).已知生产这两种产品每千只都要 消耗某种原料 3000 公斤. (1)若所需原料充足,两种产品各生产多少才能使利润最大，并求出最大利润值. (2)若原料只有 9000 公斤,要使利润最大,产量应做如何调整? 十一、 2009 -2010 学年微积分 CII 期末试题 一、计算下列各题(30 分) 1. 21 cos 0 lim sin t x x e dt xx . 2. 2 4 0 sin2 sin1 x dx x . 3. 1 0 arctanxdx . 4. 2 2 11 0 4 y x dxxedy . 5. 22 ()xy D Ied ,其中 22 ( , ),0 2 R Dx y xyRxx. 6.计算方程 5 2 2 (1) 1 dyy x dxx 的通解. 二、求解下列各题(30 分) 1.设 22 1 (sin ,() 2 x zf eyxy,其中f具有二阶连续偏导数,求 z x 和 2z x y . 2.方程 222 40 xyzxyz确定了z是, x y的函数,求dz. 3.判断级数 3 1 3( 1) 3 n n n n n 的敛散性. 4.判断级数 2 ( 1) 1 n n n n 是否收敛,若收敛,说明是条件收敛还是绝对收敛. 微积分 CII 试题汇编 14 5.设函数( )f x连续且满足 2 0 1 (2)arctan 2 x tfxt dtx .已知(1)1f,求 2 1 ( )f x dx . 三、解答题(8 分) 平面区域D是由1,ln ,1xyx y所围成的图形. (1)求区域D的面积; (2)求平面区域D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 四、解答题(10 分) 求二元函数 22 ( , )zf x yxxyxy在直线2 ,yx x轴以及1x 所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 五、解答题（12 分） 求幂级数 21 1 9 2 n n n x n 的收敛半径,收敛区间,收敛域,并求和函数. 六、应用题(10 分) 某公司生产的某款软件市场价格为 140 元/件.公司组织技术人员对该款产品进行了改进,使 之性能更好.现在公司欲销售这款改进后的新产品,同时旧产品会适当降价并继续销售.现在 已知旧产品的价格与销量之间的关系是 11 240QP (件),旧产品的边际成本是 1 ()30C Q ,固定成本为 400 元.经科学估算新产品的价格与销量可能满足的关系是 22 2560QP (件),新产品的边际成本是 2 ()30C Q,固定成本为 600 元. (1)请帮助公司确定新、旧的产品该如何定价才能使公司的总利润达到最大; (2)达到最大利润时,新、旧产品各自的利润是多少? 十二、 2010 -2011 学年微积分 CII 期末试题 一、计算下列各题(30 分) 1.求积分 6 3 1 x edx . 2.求积分 2 21 1 1 dx x x . 3.求极限 2 2 0 6 0 (1) lim ln(1) x t x edt x . 4.判断级数 3 1 11 3 ln(1) 5 1 n n nn 的敛散性. 5.求二重积分 211 2 0 y x dxx edy . 微积分 CII 试题汇编 15 6.求方程 3 dxx y dyy 的通解. 二、求解下列各题(30 分) 1.设sin()(2,) x zxyfxy y ,其中f具有二阶连续偏导数,求 2z x y , 2.设( , )zf x y是由方程 z y x zxyxe 确定的隐函数,求dz. 3.求二重积分 22 D Ixy d ,其中 22 ( , ) 0,2 Dx yyx xyx. 4.判断级数 3 ln ( 1)n n n n 的敛散性,若收敛说明是条件收敛还是绝对收敛. 5.设( )f x是连续函数, 2 () (2)sincos x x tx fxt dtxx ,求 2 0 ( )f x dx . 三、解答题(8 分) 设平面区域D是由抛物线 2 yx和直线 1 2 x 所围成的图形. (1)求区域D的面积; (2)求平面区域D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积. 四、解答题(12 分) 求二元函数(4)zyxy在由直线6,1xyy 轴以及y轴所围成的闭区域D上的 最大值与最小值. 五、求和(10 分) 求数项级数 1 21 2n n n 的和. 六、经济应用题(10 分) 某公司通过网络媒介和报刊媒介两种方式做某一产品的推销广告,根据统计资料,销售收入 R(亿元)与网络媒介费用x(亿元)以及报刊媒介y(亿元)之间的关系如下: 22 15 14328210Rxyxyxy 求: (1)在广告费用不限情况下的最优广告策略(即总收益最大时的策略); (2)在限定广告费用不超过 1.5 亿元情况下的最优广告策略. 微积分 CII 试题汇编 16 2 参考答案部分(仅供参考) 目 录 一、1999 -2000 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 17 二、2000 -2001 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 17 三、2001 -2002 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 18 四、2002 -2003 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 19 五、2003 -2004 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 20 六、2004 -2005 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 21 七、2005 -2006 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 22 八、2006 -2007 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 23 九、2007 -2008 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 24 十、2008 -2009 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 24 十一、2009 -2010 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 25 十二、2010 -2011 学年微积分 CII 期末试题参考答案 . 26 微积分 CII 试题汇编 17 一、 1999 -2000 学年微积分 CII 期末试题参考答案 一、求解下列各题 1. 0 1 y xy 或 0 01 y xy ;草图参照右图 2. (8,2) (1)3 1, 2()10 yy xx ff xyy 3.sin()cos()sin()cos() xyxyxyxy dzyexyexy dxxexyexy dy 4. 222222 222222 , yz xyzxxz xyzyzz xy xy xyzzxy xyzz 5. 2 111 2 1 ,ln zzz yyy uzuz xxxx xyx yyy 6.绝对收敛 7. (0) 1ge 8.极大值(0,0)0u 二、计算下列各题 1. 10 3 2. 1 (1) 2 e 3. 1 4 二、 2000 -2001 学年微积分 CII 期末试题参考答案 一、求解下列各题 1. 22 0 1 y xy xy ;草图参照右图 2. 1 2 3. 8 15 4. 1 2 , 6 15 5.绝对收敛 微积分 CII 试题汇编 18 6.(2, 2) 7. 222222 , 111 xy x zxeeyx dzdxdy xx ex yx y 8. 2 4 ( , )( 2) 1(1) xx df x yxdxdy yy 9. 2 2() 1112222 42() x yx yx y z xyfxy efefef x y 10.10 二、求下列二重积分 1.(1) 8 e 2.sin1 cos1 1 三、计算下列问题 1. 121 123 22 () FFF duf dxf dyfdxdy FF 2.22 x xCe 3. 21 0 ( 1) , 1,1 21 nn n x n 四、求解下列方程的通解 略 五、应用题 5,7.5xy 三、 2001 -2002 学年微积分 CII 期末试题参考答案 一、求解下列各题 1. 22 ( , )0,0,1Dx y xyxxy;草图参照右图 2.2 3.ln2 4. 1 2 5.1 6. 2 7. 2 1 ,0 1x 微积分 CII 试题汇编 19 8. 12121122 (),() xxy zy ffzffyff 9. (1,0, 1) 2dzdxdy 10.(1,1)1z 二、求解下列各题 1. 2,2) 2.条件收敛 3. 1 0 3 () 2 2 2 ln2( 1),(, ) 13 3 n n n x n 4. 1 2 1e 三、计算二重积分 1. 2 e 2.ln2 四、求解下列微分方程的通解 1.1yx 2. 1 22 2 x yxCx e 3.略 四、 2002 -2003 学年微积分 CII 期末试题参考答案 一、求解下列各题 1. 2 3 2. 5 3 3.2 4. 1 28 5. 38 ln2, 23 D SV 6. 12 ( ln1),(ln ) yy xyxy zz xyxdxxx dy xy 7. 222 3 , ()() zzzxz xy xzx yy xz 微积分 CII 试题汇编 20 8. 222 2 121112222 22243 22 , zxzxxx xffx ffff yyyyyy 9. 1 2 e 二、求二重积分 1. 76 3 2. 1 (ln2) 22 三、求解下列各题 1.绝对收敛 2. 3,1) 3. 0 1 12 3 n n n x 4. 2 3e 五、 2003 -2004 学年微积分 CII 期末试题参考答案 一、求解下列各题 1.ln1e 2. 22 2 2ln 2 2 y x yxz xyxy xxy , 22 22ln 2 2 y xzyx xyxy yxy 3. 2 3 22 21 xyzz x y xyz 4. 112 22 fff dzdxdy ff , 2 22 12122111223 2 1 2 z f f fffff x y f 5. 原式= 2 6 e e 6. 3 3 2 k 7.条件收敛 8.收敛域为, ,和函数为 sincoss xxxx 微积分 CII 试题汇编 21 9. 5741 0 ( ) 5941 n n xxx f xx n 10. 2 2 1 x y x 11.ln , C xyy C y 为任意常数 12. 9 2, 2 y sV 二、应用题 6,2,56xyp 六、 2004 -2005 学年微积分 CII 期末试题参考答案 1. ,0101且或且x y xyxxxyx, 草图参照右图 2. 1 2 3. 1 2 dxdy 4. 22 3 , zzzxz xxzx y y xz 5. 2 2 1112212 cossincos42sincos xxx z eyfeyyfxyfeyyxy f x y 6. 49 20 7. 1 ln2 22 8. 绝对收敛 9. 收敛半径 1 2 R ,收敛域 11 , 22 10. 1 1 121 ( )ln21,(0,2 2 n n n n n f xxx n 11. 1 3, x yCe xC 为任意常数 12. ( ) ( ) 1, f x yf xCeC 为任意常数 微积分 CII 试题汇编 22 13.(1) 3 ln2 2 (2) 11 6 V (3) 9 4 V 七、 2005 -2006 学年微积分 CII 期末试题参考答案 一、解答下列各题 1.0,1xxy或0,01xxy, 草图参照右图 2. 0 3. 4 4. 1 2 2e 5.绝对收敛 6. 11 0 11 ( )4,6, 2 23 n nn n f xx 7.极小值(1,1)1f ,极大值( 1, 1)1f 二、求解下列各题 1. ln , lnln 2 z zzz x yy xy xx z 2. 12 2cos , z fxyf yx x 2 3 11112222 222cossincoscos sin z xfx yfxx yxffxyxxf x y 3. fff uvu dzdxdy ff vv 4. 1 3 ( ) x f xCex 5.2ln2 1 4 三、求解下列各题 1.1 sin1 2.(1) 1 3 微积分 CII 试题汇编 23 (2) 3 10 (3) 9 4140 八、 2006 -2007 学年微积分 CII 期末试题参考答案 一、解答下列各题 1.(1)略 (2) 11 cosb bb 2. 2 21 ( ) 22 21 x f x x x 3. 1 2x x 4. 22 2223 22 2424 , zxzxy