陕西省榆林市2020届高三高考线上模拟测试 理科数学

绝密启用前绝密启用前 2020 年榆林市高三线上质量检测 理科数学试题 (满分：满分：150 分，考试时间：分，考试时间：120 分钟分钟) 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1设集合设集合 Ax|2x2，xZ，Bx|log2x1，则，则 AB() (A)(0，2)(B)(2，2(C)1(D)1，0，1，2 2在复平面内，复数在复平面内，复数 zabi(a，bR)对应向量对应向量OZ (O 为坐标原点 为坐标原点)，设，设|OZ | r，以射线，以射线 Ox 为始边，为始边，OZ 为终边旋转的角为为终边旋转的角为，则，则 zr(cosisin)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫 弗定理： ，法国数学家棣莫弗发现了棣莫 弗定理：z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，则，则 z1z2r1r2cos(12)isin(12)， 由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式： ， 由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：r(cosisin)nrn(cosnisinn)，已知，已知 z( 3 i)4,则 则|z |() (A)2 3(B)4(C)8 3(D)16 3为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测 验 为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测 验(指标值满分为指标值满分为 100 分，分值高者为优分，分值高者为优)，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷 达图，则下面叙述不正确的是 ，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷 达图，则下面叙述不正确的是() (A)甲的数据分析素养优于乙甲的数据分析素养优于乙(B)乙的数据分析素养优于数学建模素养乙的数据分析素养优于数学建模素养 (C)甲的六大素养整体水平优于乙甲的六大素养整体水平优于乙(D)甲的六大素养中数学运算最强甲的六大素养中数学运算最强 4已知已知 sin2cos1，(，3 2 )，则，则 1tan 2 1tan 2 () (A)1 2 (B)2(C)1 2 (D)2 5 在 在ABC 中， 点中， 点 D 是线段是线段 BC 上任意一点，上任意一点， 2AM AD ， ， BM AB AC ， 则 ， 则() (A)1 2 (B)2(C)1 2 (D)2 6设椭圆设椭圆 E：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的右顶点为的右顶点为 A，右焦点为，右焦点为 F，B、C 为椭圆上关于原点对 称的两点，直线 为椭圆上关于原点对 称的两点，直线 BF 交直线交直线 AC 于于 M，且，且 M 为为 AC 的中点，则椭圆的中点，则椭圆 E 的离心率是的离心率是() (A)2 3 (B)1 2 (C)1 3 (D)1 4 7 九章算术 “少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步” 九章算术 “少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”(整数部分整数部分)及诸分子分 母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步” ，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数 进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸 及诸分子分 母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步” ，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数 进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸(未通者未通者)分子和以通之数，逐个照此同样方法， 直至全部为整数，例如： 分子和以通之数，逐个照此同样方法， 直至全部为整数，例如：n2 及及 n3 时，如图：时，如图： 记记 Sn为每个序列中最后一列数之和，则为每个序列中最后一列数之和，则 S6为为() (A)147(B)294(C)882(D)1764 8已知函数已知函数 f(x) x3sinx (1x)(mx)exe x为奇函数，则 为奇函数，则 m() (A)1 2 (B)1(C)2(D)3 9已知正四面体的内切球体积为已知正四面体的内切球体积为 v，外接球的体积为，外接球的体积为 V，则，则V v () (A)4(B)8(C)9(D)27 10要得到函数要得到函数 f(x)sin(3x 3)的导函数 的导函数 f(x)的图像，只需将的图像，只需将 f(x)的图像的图像() (A)向右平移向右平移 3个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍倍 (B)向右平移向右平移 6个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的1 3倍 倍 (C)向左平移向左平移 3个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的1 3倍 倍 (D)向左平移向左平移 6个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍倍 11已知平面已知平面 ABCD平面平面 ADEF，ABAD，CDAD，且，且 AB3，ADCD6，ADEF 是正方形，在正方形是正方形，在正方形 ADEF 内部有一点内部有一点 M，满足，满足 MB，MC 与平面与平面 ADEF 所成的角相等， 则点 所成的角相等， 则点 M 的轨迹长度为的轨迹长度为() (A)4 3 (B)16(C)4 3 (D)8 12 已知 已知 yaxb 与函数与函数 f(x)2lnx5 和和 g(x)x24 都相切， 则不等式组都相切， 则不等式组 xay30 xby20所 确定的平面区域在 所 确定的平面区域在x2y22x2y220内的面积为内的面积为() (A)2(B)3(C)6(D)12 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 设设 x1、x2、x3、x4为互不相等的正实数，随机变量为互不相等的正实数，随机变量 X 和和 Y 的分布列如下表，若记 的分布列如下表，若记 DX， DY 分别为分别为 X，Y 的方差，则的方差，则 DXDY(填，填，) Xx1x2x3x4 Y x1x2 2 x2x3 2 x3x4 2 x4x1 2 P 1 4 1 4 1 4 1 4 14ABC 的三个内角的三个内角 A，B，C 所对应的边分别为所对应的边分别为 a，b，c，已知，已知 2bcosA2c 3a，则 ，则 B 15若双曲线若双曲线 C：x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)的顶点到渐近线的距离为的顶点到渐近线的距离为b 2，则 ，则b 2 1 3a 的最小值 为 的最小值 为 16 若奇函数 若奇函数 f(x)满足满足 f(x2)f(x)， g(x)为为 R 上的单调函数， 对任意实数上的单调函数， 对任意实数 xR 都有都有 gg(x) 2x21，当，当 x0，1时，时，f(x)g(x)，则，则 f(log212) 三、解答题：共 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题题第第 21 题为 必考题，每个考题考生必须作答第 题为 必考题，每个考题考生必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 (一一)必考题：共必考题：共 60 分分 17. (12 分分)已知数列已知数列an为公差为为公差为 d 的等差数列，的等差数列，d0，a44，且，且 a1，a3，a9依次成等比数 列， 依次成等比数 列，bn2an (1)求数列求数列bn的前的前 n 项和项和 Sn； (2)若若 cn 2bn SnSn+1，求数列 ，求数列cn的前的前 n 项和为项和为 Tn 18(12 分分)在四棱锥在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是平行四边形，是平行四边形， PD底面底面 ABCD，PDAD1，AB 5，sinABD 5 5 (1)证明：证明：PABD； (2)求二面角求二面角 APBC 的正弦值的正弦值 19(12 分分)已知动圆过定点已知动圆过定点 F(0，1)，且与直线，且与直线 l：y1 相切，动圆圆心的轨迹为相切，动圆圆心的轨迹为 C，过，过 F 作斜率为作斜率为 k(k0)的直线的直线 m 与与 C 交于两点交于两点 A，B，过，过 A，B 分别作分别作 C 的切线，两切线的交点 为 的切线，两切线的交点 为 P，直线，直线 PF 与与 C 交于两点交于两点 M，N (1)证明：点证明：点 P 始终在直线始终在直线 l 上且上且 PFAB； (2)求四边形求四边形 AMBN 的面积的最小值的面积的最小值 20(12 分分)2019 年年 12 月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒 性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎 月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒 性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎(Corona Virus Disease 2019，COVID19)，简称，简称“新冠肺炎新冠肺炎”下图是下图是 2020 年年 1 月月 15 日至日至 1 月月 24 日累计 确诊人数随时间变化的散点图 日累计 确诊人数随时间变化的散点图 为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数 y 与时间 变量 与时间 变量 t 的两个回归模型，根据的两个回归模型，根据 1 月月 15 日至日至 1 月月 24 日的数据日的数据(时间变量时间变量 t 的值依次的值依次 1，2， 10)建立模型建立模型y cdt 和和y ab1.5t. (1)根据散点图判断，根据散点图判断，y cdt 与与y ab1.5t哪一个适宜作为累计确诊人数哪一个适宜作为累计确诊人数 y 与时间变量与时间变量 t 的回归方程类型？的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据根据(1)的判断结果及附表中数据，建立的判断结果及附表中数据，建立 y 关于关于 t 的回归方程；的回归方程； (3)以下是以下是 1 月月 25 日至日至 1 月月 29 日累计确诊人数的真实数据，根据日累计确诊人数的真实数据，根据(2)的结果回答下列问题：的结果回答下列问题： 时间时间1月月25日日1月月26日日1月月27日日1月月28日日1月月29日日 累计确诊人数的真实数据累计确诊人数的真实数据19752744451559747111 ()当当 1 月月 25 日至日至 1 月月 27 日这日这 3 天的误差天的误差(模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数 据的比值 模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数 据的比值)都小于都小于 0.1 则认为模型可靠，请判断则认为模型可靠，请判断(2)的回归方程是否可靠？的回归方程是否可靠？ ()2020 年年 1 月月 24 日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺 炎”的措施，若采取措施 日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺 炎”的措施，若采取措施 5 天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请 判断预防措施是否有效？ 附：对于一组数据 天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请 判断预防措施是否有效？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线，其回归直线 vu 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为： 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i uu vv uu ， v u 参考数据：其中 参考数据：其中i i t 5 . 1， ， 1 10 10 1 i i ty 10 2 1 i i t 10 2 1 i i 10 1 ii i t y 10 1 ii i y 1.5111.5121.5131.5141.515 5.539019385764031525154700100150225338507 21(12 分分)已知函数已知函数 f(x)lnxaxa，其中，其中 a0 (1)讨论函数讨论函数 f(x)的零点个数；的零点个数； (2)求证：求证：exsinxxlnx1 (二二)选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分 22选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程(10 分分)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，中，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 C1：x2y22y0，C2： 3xy6，C3：kxy0(k 0) (1)求求 C1与与 C2的极坐标方程；的极坐标方程； (2)若若 C1与与 C3交于点交于点 A，C2与与 C3交于点交于点 B，|OA|OB|，求，求的最大值的最大值 23选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲(10 分分)已知函数已知函数 f(x)2|x|x4|，设，设 f(x)的最小值为的最小值为 m (1)求求 m 的值；的值；(2)是否存在实数是否存在实数 a，b，使得，使得 a2b 2，1 a 2 b m？并说明理由？并说明理由 第 1 页 共 4 页 绝密绝密启用前启用前 2020 年榆林市高三线上质量检测 理科数学参考答案 一、一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分 题号题号123456789101112 答案答案CDDBACABDDCB 二、填空题二、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 题号题号13141516 答案答案1502 1 3 三、解答题三、解答题：共：共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤第第 17 题题第第 21 题为题为 必考必考题，每个考题考生题，每个考题考生必须作答第必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17. (12 分分)(1)a44，且，且 a1，a3，a9依次成等比数列依次成等比数列，a2 3 a1a9，1 分分 即：即：(4d)2(43d)(45d)，d0，d1，3 分分 ann，bn2an2n，5 分分 Sn2(1 2n) 12 2n+12；7 分分 (2)cn 2bn SnSn+1 bn+1 SnSn+1 Sn+1 Sn SnSn+1 1 Sn 1 Sn+1， ，10 分分 Sn 1 S1 1 S2 1 S2 1 S3 1 Sn 1 Sn+1 1 S1 1 Sn+1 1 2 1 2n+22 12 分分 18(12 分分)(1)在在ABD 中中，由正弦定理可得由正弦定理可得： AB sinADB AD sinABD， ，1 分分 sinADBABsin ABD AD 1，ADB90，BDAD，2 分分 PD底面底面 ABCD，PDBD，3 分分 BD平面平面 PAD，4 分分 PABD；5 分分 第 2 页 共 4 页 (2)以以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，PDAD1，AB 5，BD2， A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(1，2，0)，P(0，0，1)，AB (1，2，0)，CB (1，0， 0)，PB (0，2，1)，7 分分 设设平面平面 ABP 的法向量为的法向量为 n (x，y，z)，由由 n AB 0 n PB 0 可得可得： x2y0 2yz0 ，令令 y1，则则 n (2， 1，2)，8 分分 设设平面平面 PBC 的法向量为的法向量为m (x1，y1，z1)，由由 m CB 0 n PB 0 可得可得：x 10 2y1z10， ，令令 y11，则则m (0，1，2)，9 分分 则则 cos m n |m | n| 5 3 5 5 3 ，11 分分 sin 2 3， ，故故二面角二面角 APBC 的正弦值为的正弦值为2 3 12 分分 19(12 分分)(1)动圆过定点动圆过定点 F(0，1)，且且与直线与直线 l：y1 相切相切，动圆圆心动圆圆心到到定点定点 F(0，1) 和定直线和定直线 y1 的距离相等，的距离相等，动圆圆心的轨迹动圆圆心的轨迹 C 是以是以 F(0，1)为焦点的抛物线，为焦点的抛物线，轨轨迹迹 C 的方程为：的方程为：x24y，2 分分 设设 A(x1，x 2 1 4 )，B(x2，x 2 2 4 )，x24y，yx 2， ，直线直线 PA 的方程为的方程为：yx 2 1 4 x1 2 (xx1)，即即： 4y2x1xx2 1 ，同理，同理，直线直线 PB 的方程为：的方程为：4y2x2xx2 2 ，3 分分 由由可得：可得：P(x1 x2 2 ，x1x2 4 )，4 分分 直线直线 m 方程为：方程为：ykx1，联立联立 ykx1 x24y 可得：可得：x24kx40，P(2k，1)，5 分分 kPFk1 k k1，点点 P 始终在始终在直线直线 l 上且上且 PFAB；6 分分 (2)设直线设直线 AB 的的倾斜角为倾斜角为，由，由(1)可得：可得：|AB| 1k2|x1x2|4(1k2)4(1tan2) 4 cos2， ，8 分分 |MN| 4 cos2(90) 4 sin2， ， 10 分分 四边形四边形 AMBN 的面积为的面积为： 1 2|AB| |MN| 8 sin2cos2 32 sin22 32， 当且仅当当且仅当45或或 135， 即即 k1 时取等号，时取等号，四边形四边形 AMBN 的面积的最小值为的面积的最小值为 3212 分分 20(12 分分)(1)根据散点图根据散点图可知：可知：y ab1.5t适宜作为适宜作为累计确诊人数累计确诊人数 y 与时间变量与时间变量 t 的的回归回归 第 3 页 共 4 页 方程类型方程类型；2 分分 ( 2 ) 设设 1 . 5 t ， 则， 则 y a b ， b 10 1 10 2 1 ()() () ii i i i yy 10 1 10 2 2 1 10 10 ii i i i yy 1547001019390 764010192 20，4 分分 a y b 390201910，5 分分 y 10201.5t；6 分分 (3)()当当 t11 时，时，y 2010，|2010 1975| 1975 0.1，7 分分 当当 t12 时时，y 3010，|3010 2744| 2744 0.1，8 分分 当当 t13 时时，y 4510，|4510 4515| 4515 0.1，9 分分 所以所以(2)的回归方程的回归方程可靠可靠；10 分分 ()当当 t15 时，时，y 10150，11 分分 10150 远大于远大于 7111，所以，所以防护措施有效防护措施有效12 分分 21(12 分分)(1)f(x)1 ax x (a0，x0)，1 分分 当当 x(0，1 a)时 时，f (x)0，当当 x(1 a， ，)时时，f (x)0，f(x)在在(0，1 a)上递 上递增增，在在(1 a， ， )上递上递减减，f(x)f(1 a) lnaa13 分分 令令 g(x)lnxx1(lnxx1)，g(x)在在(0，1)上递上递减，在减，在(1，)上递上递增增，g(x) g(1)0，lnaa10，当且仅当，当且仅当 a1 时取等号时取等号4 分分 a1 时时，f(x)有一个零点有一个零点；5 分分 a1 时时，1 a (0，1)，f(1 a) lnaa10，f(1)0，f(1 ea) a ea 0，此时此时 f(x)有两个零有两个零 点点； 6 分分 0a1 时时， 1 a 1，f(1 a) lnaa10，f(1)0，f( 1 a2) 2lna1 a a，令令(x)2lnx 1 x x(x1)，(x)(1 x)2 x2 0，(x)在在(0，1)上递上递增增，(x)(1)0，f( 1 a2) 2lna 1 a a0，此时此时 f(x)有两个零点；有两个零点；7 分分 综 上 ：综 上 ： a 1 时 ，时 ， f ( x ) 有 一 个 零 点 ； 当有 一 个 零 点 ； 当 a 0 且且 a 1 时 ，时 ， f ( x ) 有 两 个 零 点 ；有 两 个 零 点 ； (2)由由(1)可知：可知：lnxx1，xlnx1x2x1，ex 1 x，9 分分 第 4 页 共 4 页 令令 h(x)exsinxx2x1，h(x)excosx2x1ex2x1cosx0，h(x)在在(0， )上递上递增增，h(x)h(0)0，exsinxx2x1xlnx112 分分 (二二)选考题选考题：共共 10 分分 22选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程(10 分分) (1)C1：x2y22y0，22sin，C1的的极坐标方程极坐标方程为：为：2sin3 分分 C2： 3xy6， 3cossin6，C2的的极坐标方程极坐标方程为：为： 3cossin6， 5 分分 (2)C3：kxy0(k0)，(为锐角为锐角)，6 分分 |OA|2sin，|OB| 6 sin 3cos， ，8 分分 |OA| |OB| 2sin 2 2 3sincos 6 3sin2cos21 6 2sin(2 6) 1 6 1 2， ， 3时取等 时取等 号号10 分分 23选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) (1)f(x)2|x|x4| 43x，x0 x4，0x4 3x4，x4 ，3 分分 mf(0)4；5 分分 (2)(a2b)(1 a 2 b) 852(b a a b)， ，7 分分 若若 a，b 同号，同号，852(b a a b) 9，不成立；，不成立；8 分分 若若 a，b 异号，异号，852(b a a b) 5，不成立；，不成立；9 分分 故故不不存在实数存在实数 a，b，使得使得 a2b2，1 a 2 b m10 分分 沉着应考，冷静答题 2020 年榆林市高三年级线上模拟考试理科数学答题卡，第 1 页 共 4 页 2020 年榆林市