线性代数教案13.ppt

线性方程组解的表示,线性方程组解的表示,行列式的定义,行列式时研究矩阵的一个重要工具，是矩阵的重要数字特征。定义：对于n阶方阵用记号表示一个与A相联系的数，称为矩阵A的行列式(Determinant).记做det(A)，或|A|.,行列式的计算,余子式与代数余子式：在n阶行列式中，划去元所在的行和列（第i行和第j列），剩余的元保持原来的次序所构成的n1阶行列式，称为元的余子式，记为；称为的代数余子式，记为因此,上述定义中，要求，即3阶及3阶以上的行列式中的元才有余子式和代数余子式.,行列式的计算：2阶行列式n阶行列式等于任一行（列）的每个元与其代数余子式乘积的和.即上式为n阶行列式按第一列的展开式.,例题1计算行列式解：,例题2计算行列式,解：,行列式的性质,1.行列式可以按任意一行（列）展开；2.行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的代数余子式的乘积之和为零.3.行列式转置后，其值不变；4.行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外；5.如果行列式的某一行（列）的元都是两项的和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和；6.设A与B为n阶方阵，则|AB|=|A|B|；7.互换行列式的两行（列），行列式只改变符号；4.行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外；8.如果行列式的某一行（列）的元加上另一行（列）相应元的若干倍，则行列式不变；,小结,行列式性质的推论,1.行列式有一行（列）元素全为零，行列式为零；2.行列式有两行（列）的元对应相等，行列式为零；3.行列式有两行（列）的元对应成比例，行列式为零；4.设A为n阶方阵，则,例题3计算三角行列式,解,同理，,小结,例题4计算行列式,练习,计算行列式,行列式的计算与化简,为解决行列式的计算问题，应当利用行列式的性质进行有效的化简。化简的一般方法是初等变换，目的是化为三角行列式。着手点不同，计算与化简的过程也不尽相同，应善于发现具体问题的特点，并根据特点选择方法与技巧。,例题5计算行列式,解1,解2,例题6计算行列式,解1,解2,例题7证明范德蒙德（Vandermonde）行列式,小结,证明,例题9计算n阶三对角行列式,小结,解,而,从而,克拉默（Cramer）法则,定理如果线性方程组的系数行列式则该方程组有唯一解这里,小结,例题10解线性方程组,解由于从而,推论齐次线性方程组有惟一的零解的充分必要条件为系数行列式D不为零.,行列式、伴随矩阵与逆矩阵的关系,伴随矩阵：对任意n阶方阵A，由|A|中每个元的代数余子式所构成的方阵称为A的转置伴随矩阵（AdjugateMatrix）或伴随矩阵，记为定理1.8设A是n阶方阵，为其转置伴随矩阵，则定理1.9n阶方阵A为可逆矩阵的充分必要条件是此时有,小结,例题11证明（1）对于n阶方阵A，若存在方阵B，使得ABI则A可逆，且；（2）对于n阶方阵A，若存在方阵B，使得BAI则A可逆，且.例题12判断下面矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵,求逆矩阵的方法小结,1.定义法；2.行变换法；3.伴随矩阵法；,例题13设且，求矩阵,解由于，故A可逆，从而由得而故,分块对角阵的性质：,例题14：已知求,解：其中由于所以,对角阵是特殊的对角方阵；对角阵可逆的充要条件是对角元均非零.,例题15：求逆矩阵其中,方法1：定义法；方法2：初等行变换法；方法3：伴随矩阵法；方法4：分块矩阵求逆.,作业,课本P35习题一1.12（1）（6）1.16（3）1.25,余子式与代数余子式,返回,行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外,对比行列式的数乘矩阵的数乘,推论：如果行列式有两行（列）的元对应成比例，则行列式为零.,返回,如果行列式的某一行（列）的元都是两项的和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和,对比：行列式的加法与矩阵的加法有什么不同的地方？,不同：矩阵加法只要求矩阵为同型矩阵，结果所有行对应元相加；行列式加法不光要求为同型行列式，还需要其余n-1行（列）的元完全相同，