线性代数534相似矩阵2概要.ppt

的相似矩阵，,定义7(P.121),一、相似矩阵,相似变换阵.,3相似矩阵（矩阵之间的又一种关系）,相似变换,又称A与B相似.,AB存在可逆阵P,Q,使得PAQ=B,对方阵A和B，若存在可逆阵P,当然A与B的关系更密切，,称作相似.,二、相似矩阵的性质,2矩阵相似具有自反性、对称性、传递性.,1A与B相似？A与B等价.,相似与等价的关系,3与数量阵kE相似的矩阵只有kE.,4A与B相似,则,5A与B相似,相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.,6定理3(P121),证,这表明A与B有相同特征值,设A与B相似，,反之不然，特征值相同的矩阵不一定相似!,推论(P.122),矩阵A与对角阵相似,不一定！,考虑方阵与对角阵相似的条件！,关于对角阵已经有了一些结果，需要进一步的研究,解决了矩阵A与对角阵相似时,的求法!,则,(p122)对一般矩阵A，,是A的特征多项式，,当与相似时,容易证明,哈密尔顿-凯莱定理（难证）,可逆,O,若矩阵A与对角阵相似,三、矩阵可相似对角化的概念与条件,则称矩阵A可相似对角化.,2、条件,n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件为A有n个线性无关的特征向量.,矩阵A可相似对角化时，,相似变换阵P为对角相似变换阵.,推论1：若A有n个相异特征值,则A可相似对角化.,推论2：若A有r(n)个相异特征值,解空间的维数等于,则A可相似对角化,定理(P.123定理4）,1、概念,否则,不可。,即存在P可逆,使，,定理的证明,线性相关性？,A与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量,P的列向量是A的属于特征值的特征向量,由充分性证明知，若已知A的n个线性无关的特征向量,对角相似变换阵.,四、相似对角化的方法,1、求A的特征值：,(n个特征值相异时，一定可对角化);,2、设相异特征值为：,若每个方程组解空间的维数都分别,则A可对角化；,若某一个方程组解空间的维数,则A不可对角化；,3、A可对角化时，,令,解,例、,P=?,可对角化时，,相似变换阵不惟一，,变成的对角阵也不惟一;,不计对角线上的元素的顺序，则惟一确定,A的特征值.,分析例5，例6，例7中矩阵是否可对角化？,例11（p123),问x为何值时，矩阵A能对角化？并在可对角化时，求可逆矩阵P，使为对角阵.,因此，当X=-1时，矩阵能对角化.,什麽矩阵一定有n个线性无关的特征向量呢？,实对称阵！,4实对称矩阵的对角化,对称矩阵,实矩阵,A为实对称矩阵,实对称矩阵的特征值、特征向量有特殊好的性质,定理5(P.124)实对称矩阵的特征值都是实数.,特征向量也可取为实向量,一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,证明P.124（自学）,定理5(P.126)实对称矩阵的特征值都是实数.,证,两式相减：,非实对称阵的特征值不一定是实数！,实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。,证,定理6(P.124),一般矩阵相异特征值所对应的特征向量线性无关,但不能保证它们是正交的,而,证毕,特征值的重数k对应的线性无关的特征向量的个数,若n阶矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰好有k个,一般矩阵A,二、实对称矩阵的相似对角化,矩阵A一定有n个线性无关的特征向量,矩阵A一定可以相似对角化,实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个,实对称矩阵一定可以相似对角化,定理实对称阵A一定与对角阵相似.,推论(P.125),n阶实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。,即,定理不证,（含有重特征值）。,作为可对角化的必要条件证明,推论(P.125),由定理知，,对称阵A与对角阵相似,即矩阵与对角阵相似,证毕,用可逆矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：,它们的重数依次为,注意？,由属于实对称矩阵的相异特征值的特征向量正交必无关,H为将A对角化的相似变换阵,定理7(P.124)实对称阵A一定与对角阵正交相似.,证,由实对称矩阵的相异特征值的特征向量正交，,实对称矩阵A一定与对角矩阵相似,且对角相似变换阵可取为正交矩阵,及施密特正交化方法,得A的n个两两正交的单位特征向量，以其为列构成矩阵P,（定理4的充分性证明）,（一重特征值的特征向量只做单位化）,上述结论的推