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文档简介

第九章多元函数微分法及其应用习题课,一、内容回顾,1、偏导数的定义与计算,求函数的偏导数时，只要把暂时看作常量而对求导数；,类似地，可求函数的偏导数。,2、多元复合函数求导法则,z,u,v,t,z,u,v,x,y,(1)设和在点可导，在对应点处可微，则复合函数在点处可导，且,(2)设和存在偏导数，在对应点处可微，则复合函数在偏导数存在,且,3、隐函数的导数,由方程确定二元函数，则有：,（2）.由四个变量两个方程所构成的方程组,如,确定隐函数两个二元函数,方程组,（1）.由三个变量两个方程所构成的方程组,如,确定隐函数两个一元函数,方程组,由方程组所确定的隐函数,4、多元函数微分学在几何上的应用,4.1空间曲线的切线与法平面,切线方程：,法平面方程：,切线方程：,法平面方程：,切线方程和法平面方程可转化为第(2)种形式，,求出即可.,(2),则在点处,4.2曲面的切平面与法线,切平面方程：,法线方程：,切平面方程：,法线方程：,(2),则在点处,(1),则在点处,5.方向导数与梯度,二元函数在点沿方向的方向导数为,计算公式:,其中是方向的方向余弦。,其中为x轴到方向的转角,6.无条件极值求法步骤：,求,得全部驻点.,求,7.条件极值求法：(拉格朗日（Lagrange）乘数法),求出极值。,构造辅助函数,求解,得出,就是可能的极值点.,二、典型例题,解：,例1、求函数的偏导数.,解：根据复合函数求偏导法则得,例2、设,而,求和.,解：设,则,利用隐函数的求导公式得,解:令,则,例4、设,求.,分析：如果令,则由方程,确定了是的函数,求用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。,计算时，我们采用在方程两边同时对求偏导的方法,并视为的二元函数,得,分析：此曲线为参数方程,只需求出切向量为再求出切点，即可得切线及法平面方程。,解：因,故在点处的切向量为,所求切线方程为：,法平面方程为：,即,解：将所给方程的两边同时对求导得,例6、求曲线在点处的切线及法平面方程.,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,则曲线在点处的切向量为,解得,故切平面方程为,即,法线方程为,例7、求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.,分析：此曲面可看成的形式,只需求出法向量,即可求出切平面及法线方程.,解：设,则,解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为,所以,方向导数的最大值为,例8、问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。,解：解方程组,得驻点,又,所以,故,例9、求函数的极值.,因此在点处取得最小值
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