复合系统工作可靠性问题.ppt

运筹学,动态规划应用举例,4复合系统工作可靠性问题,某种工作系统由n个部件串联组成，称部件正常工作的概率为部件的可靠性，称整个系统正常工作的概率为系统的可靠性。如图：,部件1,部件2,部件n,在这样的串联系统中，只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作。为了提高系统工作的可靠性，可以给各部件设置备用件，并且设计备用件自动投入装置，一旦部件损坏，则备用件自动投入运行。显然，部件的备用件越多，部件的工作可靠性就越大，从而，整个系统的工作可靠性也就越大。但是备用件多了，整个系统的成本、重量、体积都相应增大。而系统所允许的总成本、总重量、总体积往往都是有限的，因此，复合系统工作可靠性问题主要讨论在上述限制条件下，如何选择各部件的备用件数量，使系统的工作可靠性最大。下面我们先研究这类问题的数学模型。,设部件i装有ui个备用件时，它正常工作的概率为pi（ui）。因此整个系统正常工作的概率为：,设装部件i的一个备用件费用为ci元，要求总费用不超过C元，则这个问题只有一个约束条件，它的静态模型为：,这是一个非线性规划问题。象资源分配问题一样，可以用动态规划方法求解这类问题。不过与以前的资源分配问题不同，本问题的总效果不是等于各阶段效果的和，而是各阶段效果的乘积。下面构造它的动态规划模型：以向各部件分配备用件的顺序为阶段k=1，2，n;以k阶段初拥有的未分配的费用数xk为状态变量；决策变量uk表示部件k拥有的元件数，则xk+1=xk-ckuk记fk（xk）为部件k至部件n最大工作可靠性，则fk（xk）=maxpk(uk)fk+1（xk+1）fn+1（xn+1）=1k=n,n-1,2,1,例6某工厂设计一种电子设备，由D1，D2，D3串联组成。已知三种元件的单价和可靠性如下表所示，要求设计中所使用的费用不超过105元。试问应如何设计，可使设备的可靠性最大？,解：按元件种类分成三个阶段，k=1，2，3；设状态变量xk表示从元件Dk到D3允许使用的费用；决策变量uk为部件Dk所使用的并联元件个数；则xk+1=xk-ckuk；用可靠性作为指标，则部件的可靠性为1-（1-pk）uk。记fk（xk）为部件Dk至部件D3的最大工作可靠性，则fk（xk）=max1-（1-pk）ukfk+1（xk+1）f4（x4）=1k=3,2,1,k=3x3=105-（30+15），105-（30+152），105-（30+153）或105-（302+15）=60，45，30f3（30）=0.5u3（30）=1f3（45）=1-（1-0.5）2=0.75u3（45）=2f3（60）=1-（1-0.5）3=0.875u3（60）=3k=2x2=105-30，105-（302）=75,45f2（45）=0.8f3（30）=0.80.5=0.4u2（45）=11-（1-0.8）3f3（30）0.9920.5f2（75）=max1-（1-0.8）2f3（45）=max0.960.750.8f3（60）0.80.875=max0.496,0.72,0.7=0.72u2（75）=2k=1x1=105f1（105）=max1-（1-0.9）2f2（45）,0.9f2（75）=max0.990.4,0.90.72=max0.396,