几何直观及其教学__兼谈小学新课程图形与几何的教学

几何直观及其教学兼谈小学新课程“图形与几何”的教学,案例1直观思考：梯形的面积公式请尽可能地用不同的方法推导梯形的面积公式,图1,O、引例,图2,图3,图4,图5,图6,课例点评,重视学生已有的知识经验，引导学生动手操作，发展几何直观学生经历了复习旧知观察图形直观感知形成设想动手实践解决问题体验数学思想方法的过程。在探究过程中，学生充分利用自己对梯形的直观认识，联系复习的旧知，大胆做出猜想，把梯形或进行分割、或分割并组合、或用两个全等的梯形拼接，最终用不同的方法完成了对梯形面积公式的探究过程。在学习过程中，学生的已有的几何直观得到很好的应用，并在应用中进一步发展他们的几何直观能力。,重视化归思想的渗透教学过程中对于化归思想的渗透采取了多次孕育、循序渐进的有层次推进，在教学活动之始就暗含了化归思想的运用。教师在教学过程中多次强调“把什么化为什么”，为学生认识和理解化归思想做好铺垫，并在反思学生的数学化思考过程中提炼化归思想，向学生作了简单介绍。最后，在例题和课内外练习题中都出现需要运用化归思想解答的题目，使学生对化归思想的认识进一步提高。,案例2：比较大小：0.99991，,这到底是小于还是等于嘛？我开始腾云驾雾了!,各位老师都知道：0.9999与1都是有理数。既然都是有理数，当然就可以比较大小啦！（实数大小比较的三歧性！）请大家想想，这两个数，哪个大？,老师们都知道如下事实：,以上的方法用到了“无穷等比递缩数列”的求和公式，等比数列当公比q（0）的绝对值小于1时：所有项的和：,现在的问题是，如果一个小学生或者初中生面对这样的问题，他们会如何思考？大多数同学回答：当然是1大！也可能会有学生回答：两个一样大！换句话说，你如何把0.999=1这个结论教给那些没有学习过等比数列求和的学生？也就是说，有没有很简单或很直观的证明0.999=1这个结论的办法？,大家请看：小学高年级学生已经知道如下结果,为了说明问题，再看另外一个例子：,庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话的意思虽然简单，但是仔细一想，这里面却隐含着深刻的极限思想.,由于最初的长度是1尺，直观上应有：这恰恰是一个无穷等比数列的求和.,上面的例子可以简单表示为下图：,把木棒看作“线段”，这就是一维的情形.再看一个二维的例子，将单位正方形无限二等分如下图所示：,由于单位正方形的面积为1，同样有：,再看一个二维的例子，设大正三角形的面积为1，如图所示：,于是有：,按照这样的处理，我们能否设计一个类似的图形解决0.999=1的问题呢？请老师们想一想。我想，大多数老师是能够做到这一点的了。,再继续往下分，每次取剩下的，无限的往下分,是不是就有,呢？这也就是,以上的结论直观吗？易于接受吗？看了以上两个案例，你有何感想,一、几何直观概述,儿童生活的现实世界中，充满许多几何图形和几何形体，他们每天都在和图形接触。日常生活中积累的对图形世界的直观感知、表象心象以及思考猜想，构成了学生丰富的几何经验知识背景，成为他们发展几何直观、学习“图形与几何”的各种概念和定理的重要事实基础；,同时，学前期及低年级儿童偏爱搭积木、折纸等操作性活动，小学高年级学生偏爱模型制作、图形设计等，由此积累的丰富活动经验以及初步形成的空间观念，构成了他们学习几何知识的重要方法基础。,数学课程标准的研制者们指出，要让学生“经历直观认识简单几何体和平面图形的过程”，“在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直观”。同时，课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。课程内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，直接经验与间接经验的关系。,这些基本理念，为发展小学生的几何直观指明了方向，即是：我们的几何教学应贴近学生生活实际，研究儿童生活世界中的几何问题，在理性认识与感性操作过程中提高学生利用几何知识表述问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的几何直观。,1.什么是几何直观所谓直观，即是指通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。所谓几何直观，从字面上讲，是指通过对几何概念、几何图形以及与几何知识相关的问题的直接了解获得的感性认识，并通过获得的认识来帮助分析问题和解决问题。,数学家M.克莱因认为，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”；徐利治先生提出，“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”。一些数学教育专家们认为：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。,数学家希尔伯特指出：“算术记号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式”。,数学教学的直观性原则，是数学教学的基本原则之一。通过感性观察、根据直观认识来研究图形的性质，是数学教学中常用的教学方法。数学教学要求把抽象的问题形象化，使学生通过直观的形象理解抽象的内容。利用直观性原则可以进行猜想、推理、发现解题思路，在教学中运用几何直观与逻辑推理相结合的方法，对培养学生形成分析问题的能力和科学的思维品质等具有十分重要的意义。,总而言之，几何直观是一种意识、是一种能力，是能借助几何概念、几何图形、几何知识、几何模式等获得对相关问题的感性认识，并帮助分析问题和解决问题的意识和能力。这种意识和能力，并不是人生而有之的，需要加以培养，尤其是需要数学老师的培养。,2.几何直观的特征（1）背景性直观与问题背景、个人经验密切相关。几何直观是在以几何图形（或几何体）为主要素材的数学情境中产生和发展起来的，几何直观的发展是以学生已有的几何经验知识背景、几何操作活动经验为前提的。（2）概括性几何直观是对几何概念、几何图形的总体把握，是从整体上对几何关系和数量关系的直接感知，具有较高的概括性。,（3）可误性几何直观是对几何概念、几何图形以及相关问题的直观感受，属于感性认识，更多的依赖于主体已有的几何经验和对问题情境的表层把握，缺乏系统的理性分析和严密的演绎论证，因而有时是不准确的，甚至会产生错误。这种可误性更多的表现为主体对几何对象的理解和认识的主观性以及想象的随意性。,（4）预测性虽然几何直观具有可误性，但几何直观在数学发展史上却表现出很强的预测性。数学家依赖几何直观来激发对数学的思考，常常为几何证明提供思路和技巧,有时严格的逻辑证明，实质上就是直观思考的严格化和数学加工。因此，几何直观是数学认识的重要基础,有助于学生更好地理解数学知识，促进学生的数学学习。,3.几何直观的教育价值数学家依赖直观来推动对数学的思考，数学教育家们依赖直观来加强学生对数学的理解。几何直观的教育价值，主要表现为培养学生的观察能力、空间想象能力、合情推理能力和创新思维能力。,二、发展几何直观的教学建议,重视几何直观教学与学生生活的实际相联系重视学生对几何对象的观察与操作重视几何教学与其他知识教学之间的联系重视学生用自己的语言表述对几何问题的直观感受重视几何直观的合情推理教学重视现代信息技术在几何直观教学中的应用,重视学生对几何对象的观察与操作低年级学生偏爱操作性活动，比如搭积木、折纸等，由此积累的丰富活动经验以及初步形成的空间观念构成了他们学习几何知识的重要方法基础。小学高年级学生偏爱模型制作、图形设计等，他们在这些活动中进一步形成对几何学习的兴趣和动机。,学生在长期活动中形成的个体经验是发展几何直观的基础，是感受、理解抽象几何直观的有力支撑。在几何教学中，数学教师应立足于学生的个体经验，应充分利用活动与游戏，引导学生积极参与，使学生在理性认识与感性操作过程中学习几何知识，提高利用几何知识表述问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的几何直观。,镶嵌（课题学习）让学生动手试一试、拼一拼，再想一想、议一议以下是我自己设计的一个案例,1.问题的提出已知图形如下：,请记住这道题目，并根据排列组合的知识推算这样的不同图形共有多少个？,一道有趣的开放题,现保持阴影部分的面积大小，该图形可以变化为如下一系列图形：,假设规定正方形的边长不变，相应地，圆的半径（正方形边长的一半）也不变，同时规定只能用半圆和圆心角为90的扇形去分割这个正方形并保持阴影部分的面积不变.画出尽可能多的不同分法，选出你喜欢的图形并说明你喜欢的理由.,2.问题解决的思路,为了解决这个问题，我们还得回到最初的图形.先将原图分成四部分，如下：,思路一：将上图沿虚线剪开，该问题则转化为用以下的四个小正方形去填充一个空白正方形的问题.,abcd,事实上，上面的四个小正方形（通过旋转后）是完全一样的.但为了说明问题，我们将它们的位置固定下来，看作四个不同的图形，分别记为a，b，c，d，现在用这四个小正方形去填充，考虑一共能组成多少种不同的图案.,由排列组合的知识知道，这是一个可重复排列的问题，应有44=256种不同的情形.,是不是有这么多呢？这256个不同的图案中有没有重复的呢？为了说明问题，再来看思路二.,思路二：（1）如下图，先将三个小正方形的位置固定，旋转带*的小正方形.这样就得到三个不同于初始图案的图案.,（2）那么，运用排列组合的知识，如果有两个小正方形同时按不同方向（旋转方向互不关联）分别旋转（为避免重复，只考虑两个都旋转的情形.否则回到（1）.这里分为同时旋转两个相邻的小正方形和同时旋转两个对角的小正方形两种情形，共有332=18种不同的图案.,（3）类似的，固定一个同时旋转另三个小正方形，又可以得到33=27种不同的图案.（4）现在让四个小正方形同时旋转（旋转方向互不关联），都不保持原来的位置，又可以得到34=81种不同的图案.加上原来的初始图案，则共有13182781=130种不同的图案.由此可见，思路一中的256个图案中有很多是重复的.,接下来的问题是：这130种图案中有没有重复的？如果有，重复了几种？这个问题的最终结果应该是多少种不同的图案？请读者自行解决.,3.教学与反思,笔者曾经在小学4、5、6年级的数学课外活动中运用该题进行过数学活动课教学，让学生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生的学习兴趣非常高，收到了良好的教学效果.通过这样的数学活动，使学生能够既动脑又动手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，用心体会，让学生体验到数学活动的乐趣、欣赏到几何图形的美.,相信经历过这样的数学活动的学生，等到他将来长大以后购买地板砖准备家庭装修时仍然能够清楚的回忆起当年他在这堂课中所设计的美丽图案.如果是这样的话，作为一个数学教育工作者，应该开心微笑了.,以下是一些学生自己画出的并且是他们最喜欢的图案:,我也曾在初二的数学课外活动中运用过该题，并试图把排列组合的知识以及化归思想渗透给他们.事实证明，如果处理得当，教学中深入浅出，给学生充裕的时间思考领会，初二的学生在一定程度上也是可以接受这些知识的.当然，这道开放题如果给高中生来解答，尤其是刚刚学完排列组合知识的学生，不论他们能够得到什么样的结果，最起码，对于他们对排列组合知识的理解是大有益处的.,同时，这道题目还可以扩展为：(1)如果用9块拼成33的大正方形情形又是怎样的？(2)如果用6块作为正方体的6个侧面，那么围成的正方体的侧面展开图有多少种不同的图案？(3)用正多边形地板砖铺满房间，有哪些不同的铺设方案？,重视几何教学与其他知识教学之间的联系,案例：个位是5的两位数的平方规律,重视现代信息技术在几何直观教学中的应用以“圆的面积”为例,在圆的面积公式的推导过程中，可采用把圆分割成全等的小扇形，然后拼成近似的长方形，利用合情推理，导出圆的面积公式。在教学时，要引导学生仔细观察，并发现分割成的扇形越“瘦小”、数量越多，拼成的图形越接近于长方形（如下图）。,这需要借助多媒体更好地呈现，同时也蕴含着微积分的基本思想！,三、认识小学新课程中的“图形与几何”,1.整体认识(12年的)几何课程主线的几个维度从立体到平面再到立体（直观立体模型抽象平面图形抽象立体图形）从整体到局部再到整体（整体直观感知研究局部特征理解整体属性）从直观到抽象再到直观（表层直观逐步抽象直观推理与思辨推理）从定性到定量（定性感受简单定量描述（坐标、向量）精确定量研究）从静止到运动（静态几何对称、旋转轨迹、曲线）从直到曲（直线型曲线型以直代曲（微积分的基本思想）,2.管窥中学与大学的几何学习很容易发现，大学的几何学习是沿着几何代数化的方向展开的。因为只有代数才可以更深刻地认识复杂几何图形的性质，因此“空间解析几何”、“高等几何”、“微分几何”等无不是通过代数的手段对几何进行深入的研究，通过代数形式呈现几何结论。这也正是为什么要在中学阶段的几何教学中引进坐标和向量的根本原因之一。除传统的综合几何外，坐标进入几何，向量进入几何，使几何有了更多的代数的味道，事实上，高中新课程的几何不完全是欧氏几何，既包含有坐标几何与向量几何，而且在选修系列中还有“分形几何”。,鉴于此，为适应更高层次的几何学习，在高中引进了向量（平面、空间），同时引进了空间直角坐标系。相应地，在初中开始接触平面直角坐标系，并尝试用坐标描述点（物体）的位置.其目的正是为了将来向几何代数化的方向前进！,3.小学阶段的几何学习小学数学“图形与几何”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。但是，由于知识储备、认识水平和智力发展的限制，他们对空间与图形的认识方法主要是通过大量的观察，形成一定的感性认识。,第一学段中，学生将认识简单几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，学习描述物体相对位置的一些方法，进行简单的测量活动，建立初步的空间观念。第二学段中，学生将了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，发展空间观念。,四、小学新课程“图形与几何”的具体内容及教学目标,对一些基本图形的认识是“图形与几何”领域的重要内容。新课程注重借助学生在现实世界中积累的图形经验，来认识常见的立体图性和平面图形；把现实作背景，通过观察、操作、比较、概括等活动体会图形的特征；通过丰富的活动形成空间观念，体会图形与生活世界的密切联系。,（一）第一学段图形认识的教学目标在第一学段，图形的认识主要内容有：辨认简单的几何体以及平面图形，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征，会运用平面图形的学具进行拼图等。,具体的目标有：1.通过对生活中常见实物和模型的观察，感受不同立体图形的不同特征，从而辨认长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。本目标中对长方体、正方体、圆柱和球等立体图形的认识仅仅是“辨认”，是初步认识。所以，教学中，主要通过观察学生身边的实物和模型来感受各立体图形的特征，允许学生用自己的语言来描述所“辨认”的立体图形。例如：“圆柱放不稳，会滚动”等。,注重操作感知、重视学生的表象思维，让学生摸一摸、拼一拼、说一说、猜一猜，让学生“走出”课堂，充分关注学生的生活经验，是实施本目标的重要手段。,2.能根据实物或照片，辨认出从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。在第一学段让学生从不同的角度进行观察，是标准新增加的要求。这是引导学生从生活经验中形成空间意识的重要举措之一。教学时，要注意选择学生熟悉的简单的物体，让学生都有观察的机会，进行充分的观察，并组织学生对观察的结果进行讨论，体会“同一个物体，从不同的方向观察，看到的图形往往会不同”，最终目的是认识物体，能根据不同角度的观察，知道物体的大致形状。当学生积累了一定的观察经验以后，可以用同一物体不同方位的图形或照片引导学生想象物体的形状，培养学生初步的空间想象力。,3.辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等是学生需要认识的最基本的图形，可以把这些图形的认识过程设计成帮助学生从实物立体图形逐步过渡到抽象平面图形的过程。立体和平面的内容交织在一起，增加一些直观、非形式化的内容，既有利于学生区分二者的特征和把握二者的联系，又有利于学生对空间的理解。,本目标的重点是“辨认”，学生能用自己的语言叙述对平面图形的感受就可以了。实施本目标时，要让学生经历“看说画”的过程，即让学生观察生活中的实物或模型，说一说观察的结果（可以是整个实物或某一个面），然后让他们把观察到的某一个面画下来。使学生体会三维空间与二维空间的转换及其关系。,4.通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征。让学生记住长方形、正方形的特征不难，关键要看：是死记硬背的，还是在经历了探索、体验的过程之后，从观察、操作、比较、交流中，自主领悟“记住”的。后者正是标准所倡导的。在实际教学中，对学生的观察与操作要重视，并注意引导，要引导学生用不同的方法去观察，用多种方法去操作，鼓励学生用自己的语言描述观察与操作的结果，并组织学生进行交流。,5.会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。本目标是标准新增加的内容。目的是通过拼图活动，使学生进一步认识长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆的特征，加强直觉体验，培养学生的直觉思维（几何直观）能力和空间想象能力。教学时，要注意让学生对所拼的图形进行充分的想像。由于不同学生的生活空间、生活经验、经历、爱好都不同，即使是同一幅图，他们也可能有不同的想象结果，所以要让学生在独立拼图、分组合作拼图等基础上，在独立想象的基础上，再互相交流各自的想法，进而拓展学生的想象能力和直觉思维能力。,6.结合生活情境认识角，会辨认直角、锐角和钝角。本目标的“认识”角，是指以学生的生活情境为背景，根据学生自身的经历与体会，用经验性语言描述角的特征，不须对角进行定义性的概括。角是一个比较抽象的概念，如何描述角，对第一学段的学生来说，确实比较困难，更何况学生这之前还没有认识射线。所以，在教学时，要充分让学生动手操作。使学生会辨认直角、锐角和钝角的首要条件是知道角有大小之分、会区分角的大小。,对于角的大小，可以放手让学生独立想办法、再交流，常会有意想不到的创意出现的。也有的老师让学生把直角、锐角或钝角的学具叠放在一起，进行多次比较，然后把它们画在纸上，说一说谁的角度大。这样的反复操作，有助于学生辨认直角、锐角和钝角。,7.能对简单的几何体和图形进行分类。分类思想是数学中的重要思想，它是发展学生数学素养的基础。标准力求在小学数学的各个年级、各个领域渗透分类的思想。本目标主要是让学生学会对简单的几何体和图形进行分类，由此进一步认识几何体和图形的本质特征。教学中，要让学生体验：任何物体，按照不同的分类标准，就会有不同的分类结果。如果有的学生发现：同一物体按某种标准分成几类后，其中的某一类还可以分成几类。由此让学生体会到分类必须有分类标准和逐级分类的思想，也是可以的。本学段的教学应在现实情境中辨认、操作、测量和描述，通过实践活动，增强直观体验，认识图形。学生能在情境中认识图形，就达到目标了，而不要求学生死记图形概念。,（二）第二学段图形认识的教学目标学生在第一学段学习的基础上，已经积累了一些有关“空间与图形”的知识和经验，形成了一定程度的空间感，他们对周围事物感知、理解的能力以及探索图形及其关系的愿望不断提高。此时，学生已经具备了一定的抽象思维能力，可以在比较抽象的水平上认识图形、进行探索。因此，第二学段“图形的认识”的教学要求与第一学段有所不同。第二学段，学生可以通过观察、操作、推理等手段，认识线的特征和平面上线的位置关系，进一步认识简单几何体和基本的平面图形的特征等。,具体目标有：1.了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。点、线的认识是学习抽象平面图形的基础。因此，通过“有限长”的演示或操作，充分发挥学生的想象，让学生认识“无限长”的直线，进而知道直线的一些特征，这一点尤为重要。教学中，可以通过制作幻灯片或利用计算机作图工具使学生体会直线是直的，可以向两边无限延长的特征。关于两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点，可让学生进行“过一个指定点画直线与过两个指定点画直线”的对比操作，然后交流讨论，从而了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。,2.能够区分直线、线段和射线。直线、线段和射线是“空间与图形”的重要概念。它们之间既有联系又有区别，因此，教学时，要在直观演示与操作中让学生认识它们的基本特征的同时，引导学生对直线、线段和射线进行比较，区别异同。,3.体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。在上述教学目标中，学生已认识了线段，但连接两点的线有线段、折线，还有曲线。本要求是让学生在动手测量和比较中体会两点间所有连线中线段最短。教学时，要注意结合第一学段中的线路图，让学生亲手测量，在比较中体会两点间所有连线中线段最短，并把这种体会转化为抽象的图象知识。在教学两点间的距离时，还可以将“路程”与“距离”进行对比教学，使学生明确两者之间的区别与联系。,4.知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。本目标是在第一学段认识了直角、锐角和钝角的基础上提出来的。不仅要求学生知道周角、平角，还应理解这些角之间的关系，将原来对角的直观认识逐步转化为比较抽象的认识。一定要把握好两个学段在这点上的要求的差异。在教学时，可以借助多媒体技术，直观形象地揭示锐角、直角、钝角与周角、平角之间的关系。同时引导学生按一定的标准对角进行分类，进一步让学生加深对锐角、直角、钝角与周角、平角的特征的认识。,5.结合生活情境，了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。在平面上，两条直线的位置关系是学生认识长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的基础。本目标原大纲中也有，但实施策略上有一定的差异，应该引起重视。标准强调，教学时要特别注意结合生活情境，让学生在具体的情境中体会平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。在了解平面上两条直线的位置关系时，要让学生了解点到直线的距离、直线与直线的距离，但不宜做精确的定义，重点是在情境中体会，在测量、操作中理解。,6.通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆。在日常生活中，学生已经大量地接触了平行四边形、梯形和圆，积累了丰富的感性经验。本目标是让学生在看一看、量一量、拉一拉、折一折、比一比、画一画的观察实践操作中，抽象出平行四边形、梯形和圆的概念。教学时，要特别注意留给学生操作、观察、感知的时间与空间，以便学生的认识从感性水平上升到理性高度。同时，要注意“概念图形”（标准图形）与“非标准形”（“变式形”）的对比，帮助学生认识图形的本质特征。,7.认识三角形，让学生通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180。本目标的重点是认识三角形，了解三角形两边之和大于第三边，知道三角形的稳定性以及运用三角形的稳定性解决一些简单的实际问题，理解三角形的高与底的概念，会作三角形的高.,其中“三角形两边之和大于第三边”是标准新增加的知识点。有人认为比较难，建议移到第三学段。实践表明，这个内容用直观的方法进行教学对于第二学段的学生来说并不难。让学生了解这一特征，形成对三角形的比较全面的认识也是有必要的。教学时，可以给学生提供一定数量的小棒，（2、4、5、7共4根）让他们从中任选3根摆三角形，并把结果填在事先绘好的表格中。然后组织讨论、交流，使学生自己探索得出“三角形两边之和大于第三边”这个结论。相信这个内容如果采用直观教学法，并注意让学生自己操作、探索，这不仅难不倒第二学段的学生、而且对发展学生的严谨思维也是有价值的.,8.认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。本目标的重点是让学生在操作活动中认识等腰三角形、等边三角形、直角三