09静电场习题解答

第九章 静电场一 选择题1. 在坐标原点放一正+Q，它在P点（x=+1，y=0）产生的电场为E。现在，另外有一个负电荷-2Q，试问应将它放在什么位置才能使P点的电场强度为零？ （ ）. x轴上x1。 B. x轴上x0。 C. x轴上0x0。 E. y轴上y0。解：根据电场叠加原理，应选（）。2. 下列说法中哪一个是正确的？A. 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受的电场力的方向。B. 在以点电荷为中心的球面上，该电荷产生的场强处处相同。C. 场强方向可由定出，其中q为试验电荷的电量，q可正可负，为试验电荷所受的电场力。D. 以上说法都不正确。 ( )解：根据电场强度的定义应选(C)。SQq选择题3图3. 如图，电量为Q的点电荷被曲面S所包围，从无穷远处引另一电量为q的点电荷至曲面外一点，则： （ ）曲面S的E通量不变，曲面上各点场强不变曲面S的E通量变化，曲面上各点场强不变曲面S的E通量变化，曲面上各点场强变化曲面S的E通量不变，曲面上各点场强变化解：根据高斯定理，应选(D)。4. 两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb（RaRb），所带电量分别为Qa和Qb，设某点与球心相距r，当Ra r Rb时，该点的电场强度的大小为：（ ）解：外球面上的电荷在其内部产生的场强为零，两球面间的场强仅由内球面电荷产生，故选（D）。5. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E-r关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。（ ）A 半径为R的均匀带电球面 B. 半径为R的均匀带电球体C. 半径为R、电荷体密度r =Ar（A为常数）的非均匀带电球体D. 半径为R、电荷体密度r =A/r（A为常数）的非均匀带电球体RrE=1/r2EO选择题5图选择题6图CONM q+qDq0P解：根据计算可知，该电场为半径为R、电荷体密度r =A/r（A为常数）的非均匀带电球体所产生，故选（D）。6. 如图示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径圆弧，N点有正电荷+q，M点有负电荷-q，今将一试验电荷+q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功（ ）(A) W0且为有限常量； （B） W0且为有限常量；（C） W= （D） W = 0解：O点的电势为零，O点与无穷远处的电势差为零，所以将试验电荷+q0从O点出发沿任意路径移到无穷远处，电场力作功均为零，故本题应选（D）。 7. 在匀强电场中，将一负电荷从A移到B，如图所示，则：（ ）A. 电场力作正功，负电荷的电势能减少；B. 电场力作正功，负电荷的电势能增加；C. 电场力作负功，负电荷的电势能减少；D. 电场力作负功，负电荷的电势能增加BEA选择题7图PqRPr选择题8图解：根据图示，A点的电势高于B点的电势，所以负电荷在B点的电势能高于A点的电势能，电场力作负功。应选（D。）8. 在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P点的电势为 （ ）解：根据电势的定义可计算出P点的电势应为，故选（B）。二 填空题1. 把两个相同的小球用同样长度的细绳l悬挂于同一点，小球的质量都为m，带等值同号的电荷q，如图所示，设平衡时两线间夹角2q 很小，则两小球间的距离x= 。解：设细绳的拉力为，根据受力平衡可得：，由此可得x=填空题1图qllq填空题3图oRd填空题2图O-aq2qa2. 位于x轴上的两个点电荷，分别带电量2q和q，坐标分别为a和-a。第三个点电荷q0放在x= 处，它所受合力为零。解：第三个点电荷所在处场强为零，设该点的坐标为x，根据题意，-a x0，则，由此解得：3. 一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d ( dR)环上均匀带正电，总电量为q，如图所示，则圆心o处的场强大小E = ，场强方向为 。解：圆心处的场强可看成是均匀带正电的完整圆环电荷与缺口处与圆环电荷密度相同的负电荷共同激发，均匀带正电的完整圆环电荷在圆心处激发的场强为零，故，场强方向为从o点指向缺口中心点。ER填空题4图填空题5图S+q-q填空题6图Sq4q2q3q14. 半径为R的半球面置于场强为E均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示，则通过该半球面的E通量为。解：R 2 E5. 如图，点电荷q和-q被包围在高斯面S内，则通过该高斯面的E通量=，式中E为的场强。解：0；高斯面S上面积元dS处。6. 点电荷q1，q2，q3和q4在真空中的分布如图所示，图中S为高斯面，则通过该高斯的E通量= 。式中的E是高斯面上任一点的场强，它等于点电荷 单独存在时在该点产生场强的矢量和。解：(q 2 +q 4) /0 ，q 1 , q 2 ,q 3 ,q 47. 图中电场强度分量为Ex = b x1/2，Ey = Ez = 0，正立方体的边长为a，则通过这正立方体的E通量F =，正方体内的总电荷Q =。解：；yozaax填空题7图+ + +A B C D填空题8图E0 /3A BE0 /3E0填空题9图8. 三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度是+,则A，B，C，D四个区域的电场强度分别为：EA =，EB = ，EC = ，ED = 。（设方向向右为正）解：每个无限大均匀带电平面产生的场强为s / (2o)，根据场强的叠加原理可得：EA = -3s / (2o)；EB = -s / (2o)；EC =s / (2o)；ED =3s / (2o)9. A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E0，两平面外侧电场强度大小都为E0 /3，方向如图。则A、B两平面上电荷面密度分别为s A = ， sB = 。解：根据上题可得：，解得：sA = -20 E0 / 3 ；sB = 40 E0 / 310. 真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如图所示，设无穷远处为电势零点，则圆心o点的处的电势V0 = ，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到圆心o点，则电场力做功W= 。填空题10图RoQ填空题11图 A B o D+q-qRC解：V0 = Q / (4o R )；W= -q Q / (4o R )11. 图示BCD是以o点为圆心，以R为半径的半圆弧，在A点有一电量为+q的点电荷，o点有一电量为-q的点电荷，线段BA = R，现将一单位正电荷从B点沿半径圆弧轨道BCD移到D点，则电场力所作的功为 。解： 12. 质量为m电量为q的小球从电势VA的A点运动到电势为VB的B点，如果小球在B点的速率为vB，则小球在A点的速率vA= 。解：由能量守恒可求得vA=三 计算题1. 两个点电荷分别为q1= +210-7C，q2= -210-7C，相距0.3m。求距q1为0.4m、距q2为0.5m处P点的电场强度。（）解：P点与两个点电荷构成直角三角形，分别求出两个点电荷在P点的场强，然后分解到水平和垂直方向，最后求出场强大小0.699104 N.C-1，场强方向与x轴正向夹角51.8。zxyo-a/2a/2-ll计算题2图2. 如图所示，在x y平面内有与y轴平行、位于x = a / 2和x = - a / 2处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为+l和-l，求z轴上任一点的电场强度。解：过z轴上任一点（0，0，z）分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示, 按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强为E + - = l/ ( 20 r )式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外朝里，如图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为 方向如图所示或用矢量表示3. 一段半径为a的细圆弧，对圆心所张的角为0，其上均匀分布有正电荷q，试用a、q、0表示出圆心o处的电场强度。0+oqxy+解：取坐标xoy如图，由对称性可知：4. 线电荷密度为l的无限长均匀带电线，弯成如图形状，若图弧半径为R，试求图中O点场强。解：在o点建立坐标系。半无限长直导线A在o点产生的场强。oAB计算题4图半无限长直导线B 在o点产生的场强：圆弧在o点产生的场强为：所以合场强5. 一电荷面密度为s 的“无限大”平面，在距离平面a米远处的一点的场强大小的一半是由平面上一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的，试求该圆半径的大小。解：电荷面密度为s 的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为计算题5图aoRE以图中o点为圆心，取rr+dr的环形面积，其电量为它在距离平面为a的一点处产生的场强则半径为R的圆面积内的电荷在该点处产生的场强为根据题意，令，得到：6. 实验证明，地球表面上方电场不为零，晴天大气电场的平均强度为120V/m，方向向下，这意味着地球表面上有多少过剩电荷？试以每平方厘米的额外电子数来表示。解：设想地球为一均匀带电球面，总面积为S，则它所带总电量为 单位面积上所带电量为：额外电子数为：7. 图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为r。试求板内外的电场强度分布，并画出电场强度随坐标x变化的图线，即Ex图线（设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板）解：作圆柱高斯面S1、S2，如图1，由高斯定理得ExOd/2-d/2计算题7解图2计算题7解图1dS2S1xxxO平板内区域（|x|d/2）： ，即xd/2时，x-d/2时8. 一个电荷体密度为 r（常量）的球体。（1）证明球内距球心r 处一点的电场强度为；（2）若在球内挖去一个小球，如题图所示，证明小球空腔内的电场是匀强电场，式中a是球心到空腔中心的距离矢量。ooR计算题8图证明：（1）作与球体同心的球面为高斯面，根据高斯定理 即 矢量式 得证（2）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为r和-r的电荷球体，形成电荷密度分别为r和-r的大球体和小球体。对腔内任一点P，由（1）的结果有大球 ； 小球 得证9. 如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电量为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R远大于电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，求此过程中电场力所作的功。解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意一点的电势：式中的r为从电偶极子中心到场点的矢径。于是A、B两点的电势分别为：ABRP计算题9图 q从A点移到B点电场力所做的功为（与路径无关）：10. 在盖革计数器中有一半径为R2的金属圆筒，在圆筒轴线上有一条半径为R1的导线，如果在导线与圆筒之间加上U的电压，试分别求（1）导线表面处（2）圆筒表面处的电场强度的大小。解：设导线上的电荷密度为l，与导线同轴作单位长度的、半径为r（R1r R2）的高斯圆柱面，则按高斯定理有2r E = l /0得到 E = l/（20 r） ( R 1rR2)方向沿半径指向圆筒，导线与圆筒之间的电势差： 则 则：导线表面处 圆筒表面处 11. 如题图所示，一个均匀分布的带正电球层，电荷密度为，球层内表面半径为R1，球层外表面半径为R2，求A点和B点的电势（其分别到球心的距离为rA和rB）。AB rArBOR1R2计算题11图解：以r表示到球心的距离，则电荷的分布情况如下：按高斯定理，可得各区域的场强情况取无穷远为电势零点，由,可得或解：先求B点的电势。设B点的半径为r（），B点处的电势等于以r为半径的球面内的电荷和该球面外的电荷产生，A点的电势与内球面的电势相等，即在上式中取r=R1，即计算题12图BR1AR212. 一真空二极管，其主要构件是一个半径R1 =