一元向量值函数及多元函数微分法的几何应用ppt课件

第六节微分法在几何上的应用,二空间曲线的切线与法平面,三曲面的切平面与法线,一一元向量值函数及其导数,1,引言：,在多元函数部分，我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切线和空间曲面的切平面。,在一元函数微分学中，我们可以利用导数确定曲线上某点处的切线斜率，并求出其切线和法线方程。,2,设空间曲线的参数方程为,一、预备知识：一元向量值函数及其导数,若记,则方程成为：,3,1、一元向量值函数的定义：,其中D叫函数的定义域，t为自变量，叫因变量。,说明：,（1）向量值函数是数量值函数的推广,（2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为f1(t)、f2(t)、f3(t),则可表示为,4,（3）向量值函数的图像,设向量的起点在坐标原点，则终点M随t的改变而移动，点M的轨迹称为向量值函数的终端曲线，也称为该函数的图像，记作,反过来，向量值函数,称为曲线的向量方程。,5,2、一元向量值函数的极限：,6,说明,计算方法,等价条件,7,3、一元向量值函数的连续性：,说明：,（1）向量值函数连续等价于它的分量函数都连续；（2）若在某个区域内每一点都连续，则称该函数是该区域上的连续函数,8,4、一元向量值函数的导数：,记作：,9,说明,（1）向量值函数可导等价于它的分量函数都可导，且,（2）若在某个区域内每一点都可导，则称该函数是该区域上的可导函数；,（3）向量值函数的导数与数量值函数的导数运算法则形式相同（教材P92）.,（4）向量值函数导向量的几何意义：,10,得切线的方向向量：,11,结论：,注意：该切向量指向与t的增长方向一致！,12,（5）向量值函数导向量的物理意义：,小结,求向量值函数的极限：各分量取极限,求向量值函数的导数：各分量求导数,13,例1,解：,14,例2,解：,所求单位切向量一个是：,其指向与t的增长方向一致,另一个是：,其指向与t的增长方向相反,15,例3,（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量；（2）滑翔机在任意时刻t的速率；（3）滑翔机的加速度与速度正交的时刻.,16,设空间曲线的方程,二、空间曲线的切线与法平面,则向量方程为：,设与点M对应的参数为t0,则点M处曲线的一个切向量.,17,曲线在M处的切线方程,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,18,设空间曲线的方程,切线方程,切向量,法平面,结论：,19,解：,在（1，1，1）点对应参数为t=1,切线方程：,法平面方程：(x-1)+2(y-1)+(z-1)=0,即：x+2y+3z=6,例1求曲线在点处的切线及法平面方程。,20,21,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,22,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,23,24,所求切线方程为,法平面方程为,25,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,三、曲面的切平面与法线,26,令,则,切平面方程为,27,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,28,设曲面方程为,在M(x0,y0,z0)处的法向量,切平面方程为,法线方程为,结论：,29,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,法向量为：,（指向偏向z轴负方向）,30,解,切平面方程为,法线方程为,31,解,切平面方程为,法线方程为,32,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,设空间曲面方程,33,其中,34,空间曲线的切线与法平面