奥数辅导系列-全等三角形的运用(1)

奥数辅导系列,全等三角形的应用,试一试,（年武汉）如图,A在DE上,F在AB上,且AC=CE,1=2=3,则DE的长等于()A.DCB.BCC.ABD.AE+AC,(2004年重庆竞赛)如图，在中，分别是边，上的点，交于，的延长线交于点，若，则图中的全等三角形共有（）A.3对B.5对C.6对D.7对,A,B,C,H,D,E,F,1,2,C,D,例1：如图2-7-1，ABC和DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。求证：AE=BDCF=CG,思路证明ACEBCD。证明ABC和DCE都是等边三角形，CB=CA，CD=CE，BCA=ECD=60，BCD=ACE=120，BCDACE，AE=BD。,思路证明FCDGCE。证明由BCDDCE都是等边三角形可知CD=CE，BCA=ECD=60ACD=180-BCA-ECD=60FCDGCE，CF=CG,例2：如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MNMD，BN平分CBE。求证：MD=MN。,思路：取AD的中点P，连结PM，证明DMPMNB。证明：取AD的中点P，连结PM，则有DP=MB。DMMN，DMA+BMN=90，又由正方形ABCD知A=90，DMA+MDA=90，BMN=MDA又BN平分CBE，MBN=135又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，得PAM是等腰直角三角形，故DPM=135。DPM=MBN，DPMMBN，DM=MN。,问:若把条件“M是BC的中点”改为“M是BC边上任意一点”,其他条件不变,结论还成立吗?,B,C,A,D,M,N,答:结论仍成立.在BA上截取BP=BM,连结MP.,P,证APMMCN,有条件吗?,例3：如图2-7-3，ABC中，ABC=2C，BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC,思路1：延长AB到E，使BE=BD，证明AEDACD。证法1：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则E=BDE。ABD=E+BDE=2E又ABC=2C，C=EAD平分BAC，1=2，又AD=AD，ADEADC，AC=AE。即AC=AB+BE=AB+BD。,思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明AEDABD。证法2：在AC上取点E，使AE=AB，连结CD。由AD平分BAC得1=2又AD=AD，ADBADE，AED=ABC，DE=DB，又ABC=2C，AED=2C又AED=EDC+C，EDC=C，ED=EC，EC=BD，AB+BD=AE+EC+AC。,例4如图2-7-4，ABC中，ACAB，AD平分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PBAC-AB。,思路：通过构造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形两边之差小于第三边这一性质来证明本题结论。,证明：在AC上取点E，使AE=AB，连结PE，由AD平分ABC得1=2。又AE=AB，AP=AP，APEAPB，PE=PB，在EPC中，PC-PEEC，即PC-PBAC,AM为角平分线，则BM和MC的大小关系是_,A,B,C,M,BMMC,提示：如图，在AB上截取AD=AC，连结DM，易证ADMACM，从而MC=MD，又因为BDMAMD=AMCB,从而BMMD，所以BMMC。,D,8.如图2-7-10，在ABC中，经过BC的中点M，有垂直相交于M的两条直线，它们与AB、AC分别交于D、E，求证：BD+CEDE.,A,B,C,M,D,E,延长DM到D，使DM=MD,连结CD,DE.DDMEDE=EDBM=MCDM=MD,BMD=CMDBMDCMDBD=CD在EDC中有EC+CDED,故BD+CEDE.,D,9.(第五届希望杯2试)如图,在正方形ABCD内有一内接AEF,若EAF=45,AB=8,EF=7,求CEF的面积,A,B,C,D,E,F,G,解:延长EB到G,使BG=DF,连结AG.,AB=AD,可证ABGADF.得2=3,又1+2=EAF=45,1+3=45,即GAE=FAE.从而可证AEFAEG,EF=EG=7,CEF的面积正方形ABCD的面积个的面积,1,2,3,3,10.(2002年江苏）如图，已知等边ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，分别作等边三角形PCD，QAE，RAB。求证：P，Q，R是等边三角形的三个顶点。,R,A,Q,B,C,P,D,证明：连结BP,先证ADCBPC。有条件吗？,ACD=BCP（为什么？）,得AD=BP，CBP=CAD=