中线倍长法及截长补短经典讲义

几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD (AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角BAD和CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。例2、中线一倍辅助线作法 ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 方式3：作CFAD于F， 延长MD到N， 作BEAD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD例3、ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4、 已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE课堂练习：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：C=BAE作业：1、在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，DABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE/AB交BC于E，求证：CT=BE.3：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF图1-1（二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180.图1-2分析：因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2BD平分ABC，DE=DF，在RtADE与RtCDF中，RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180.例2. 如图2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.图2-2分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图2-2在FCE与BCE中，FCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3. 已知，如图3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180.图3-1分析：与例1相类似，证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，图3-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,图4-1RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180例4. 已知：如图4-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.图4-2证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图4-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,图4-3ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图4-3在AFD与ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. 上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。作业：1、已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例1、如图1：已知AD为ABC的中线，且12,34,求证：BECFEF.2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图2：AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF. 练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF2AD。 3、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求证：ADBC4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图7：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图8：在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CEBD的延长于E 。求证：BD2CE. 6、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且ABDC，ACBD，求证AD.8、取线段中点构造全等三有形。例如：如图10：ABDC，AD 求证：ABCDCB.截长补短专题训练作业：1、如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若BEC=90，过点B作BFCD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CDBD2题图EAFC2如图，ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足DFA=2BAE（1）若D=105，DAF=35求FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF3、如图，直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，D=45（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，EFH=FHG，求证：HD=BE+BF 4、如图，梯形ABCD中，ADBC，点E在BC上，AE=BE，且AFAB，连接EF（1）若EFAF，AF=4，AB=6，求 AE的长（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BEAD5.在中，对角线，为延长线上一点且为等边三角形，、的平分线相交于点，连接交于，连接.（1）若的面积为，求的长；（2）求证：.6. 已知：如图，在矩形中，是对角线.点为矩形外一点且满足，.交于点，连接，过点作交于.（1）：若，求矩形的面积； （2）：若，求证：.7、如图，在正方形中，点是的中点，