第2章 随机变量及其分布PPT课件

2.1随机变量及其分布2.2随机变量的数学期望2.3随机变量的方差与标准差2.4常用离散分布2.5常用连续分布2.6随机变量函数的分布2.7分布的其他特征数,第二章随机变量及其分布,2.1随机变量及其分布,(1)掷一颗骰子，出现的点数X1，2，6.(2)n个产品中的不合格品个数Y0，1，2，n(3)某商场一天内来的顾客数Z0，1，2，(4)某种型号电视机的寿命T：0,+),2.1.1随机变量的定义,定义2.1.1设=为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.,注意点,(1)随机变量X()是样本点的函数，,其定义域为，其值域为R=(，),若X表示掷一颗骰子出现的点数，则X=1.5是不可能事件.,(2)若X为随机变量，则X=k、aXb、均为随机事件.,即aXb=；aX()b,注意点,(3)注意以下一些表达式：,X=k=XkXk；,ab=Xb.,(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.,精选,6,掷一枚骰子，令X=出现的点数,则X就是一个随机变量,它的取值为1，2，3，4，5，6我们还可以定义其它的随机变量，例如可以定义：,等等,实例,若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量.若随机变量X的可能取值充满某个区间a,b，则称X为连续随机变量.前例中的X,Y,Z为离散随机变量；而T为连续随机变量.,两类随机变量,定义2.1.2设X为一个随机变量，对任意实数x，称F(x)=P(Xx)为X的分布函数.基本性质：(1)F(x)单调不降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)右连续.,2.1.2随机变量的分布函数,用分布函数表示事件的概率,2.1.3离散随机变量的分布列,设离散随机变量X的可能取值为：x1，x2，xn，称pi=P(X=xi)，i=1,2,为X的分布列.分布列也可用表格形式表示：,Xx1x2xn,Pp1p2pn,分布列的基本性质,(1)pi0，(2),(正则性),(非负性),注意点(1),求离散随机变量的分布列应注意：,(1)确定随机变量的所有可能取值;,(2)计算每个取值点的概率.,精选,13,例2.1.1,从110这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值试求X的分布列,具体写出，即可得X的分布列：,解：X的取值为5，6，7，8，9，10,例2.1.2,已知X的分布列如下：,X012,P1/31/61/2,求X的分布函数并画图.,解：,注意点(2),对离散随机变量的分布函数应注意：,(1)F(x)是递增的阶梯函数;,(2)其间断点均为右连续的;,(3)其间断点即为X的可能取值点;,(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.,X012,P0.40.40.2,解：,例2.1.3,已知X的分布函数如下,求X的分布列.,2.1.4连续随机变量的密度函数,连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0，所以无法仿离散随机变量用P(X=x)来描述连续随机变量X的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.,定义2.1.4,设随机变量X的分布函数为F(x),则称X为连续随机变量，,若存在非负可积函数p(x)，满足：,称p(x)为概率密度函数，简称密度函数.,密度函数的基本性质,满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.,(非负性),(正则性),注意点(1),(1),(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;,(4)PaXb=PaXb=PaXa独立，,解:因为P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B),从中解得,且P(AB)=3/4,求常数a.,且由A、B独立，得,=2P(A)P(A)2=3/4,从中解得:P(A)=1/2,由此得00，有()F(a)=1F(a)=F(a)=F(a)F(a)=2F(a)1,课堂练习,2.2随机变量的数学期望,分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?,两种分法,1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4,2.2.1数学期望的概念,若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：,X0100,P1/43/4,甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.,2.2.2数学期望的定义,定义2.2.1设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数,绝对收敛，则称该级数为X的,数学期望，记为,数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.,注意点,例2.2.1,则,E(X)=,10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.,X1012,P0.20.10.40.3,例2.2.2分组验血,解,例2.2.3,解,连续随机变量的数学期望,定义2.2.2设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分,绝对收敛，则称该积分为X的,数学期望，记为,例2.2.4设随机变量X的概率密度函数为,求EX。,解,随机变量函数的数学期望,引例设随机变量X的分布律为,则有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,若Y=g(X),且,则有,2.2.3数学期望的性质,定理2.2.1（随机变量函数的数学期望）设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X)存在，则,例2.2.5设随机变量X的概率分布为,求E(X2+2).,=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4,=1+3/4+6/4=13/4,解:E(X2+2),X012,P1/21/41/4,数学期望的性质,(1)E(c)=c,(2)E(aX)=aE(X),例2.2.6,设X,求下列X的函数的数学期望.,(1)2X1,(2)(X2)2,解:(1)E(2X1)=1/3,(2)E(X2)2=11/6.,2.3随机变量的方差与标准差,数学期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的离散程度.,2.3.1方差与标准差的定义,定义2.3.1若E(XE(X)2存在，则称E(XE(X)2为X的方差，记为,Var(X)=D(X)=E(XE(X)2,(2)称,注意点,X=(X)=,(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.,为X的标准差.,标准差的量纲与随机变量的量纲相同.,2.3.2方差的性质,(1)Var(c)=0.性质2.3.2,(2)Var(aX+b)=a2Var(X).性质2.3.3,(3)Var(X)=E(X2)E(X)2.性质2.3.1,例2.3.1设X,求E(X),Var(X).,解:(1)E(X)=,=1,(2)E(X2)=,=7/6,所以,Var(X)=E(X2)E(X)2,=7/61=1/6,课堂练习,问题：Var(X)=1/6,为什么？,随机变量的标准化,设Var(X)0,令,则有E(Y)=0,Var(Y)=1.,称Y为X的标准化.,2.3.3切比雪夫不等式,设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则对任意正数，有下面不等式成立,例2.3.2设X,证明,证明:,E(X)=,=n+1,E(X2)=,=(n+1)(n+2),所以,Var(X)=E(X2)(EX)2=n+1,(这里,=n+1),由此得,定理2.3.2,Var(X)=0,P(X=a)=1,2.4常用离散分布,2.4.1二项分布记为Xb(n,p).X为n重伯努利试验中“成功”的次数,当n=1时，称b(1,p)为0-1分布或两点分布.,试验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=0.8,所以,Xb(4,0.8),思考：若Y为不合格品件数，Y？,Yb(4,0.2),一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数X服从二项分布.,200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,若规定,则随机变量Xb(1,0.04).,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.,说明,二项分布的图形,分析,解,图示概率分布,则有,两点分布的期望和方差,则有,二项分布的期望和方差,例2.4.1设Xb(2,p)，Yb(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).,解:由P(X1)=8/9，知P(X=0)=1/9.,由此得：P(Y1)=1P(Y=0),所以1/9=P(X=0)=(1p)2，,从而解得:p=2/3.,=1-(1p)4=80/81.,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例2.4.2,故所求概率为,若随机变量X的概率分布为,则称X服从参数为的泊松分布,记为XP().,2.4.2泊松分布,泊松分布的图形,则有,泊松分布的期望和方差,设XP()，其分布律为,所以,泊松定理,定理2.4.1,(二项分布的泊松近似),在n重伯努里试验中，记pn为一次试验中成功的概率.,若npn，则,设1000辆车通过,出事故的次数为X,则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例2.4.2续一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,记为Xh(n,N,M).,超几何分布对应于不返回抽样模型：,N个产品中有M个不合格品，,从中抽取n个，不合格品的个数为X.,2.4.3超几何分布,记为XGe(p),X为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.,几何分布具有无记忆性，即：,P(Xm+n|Xm)=P(Xn),2.4.4几何分布,负二项分布(巴斯卡分布),记为XNb(r,p).,X为独立重复的伯努里试验中，“第r次成功”时的试验次数.,注意点,(1)二项随机变量是独立0-1随机变量之和.,(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.,常用离散分布的数学期望,几何分布Ge(p)的数学期望=1/p,0-1分布的数学期望=p,二项分布b(n,p)的数学期望=np,泊松分布P()的数学期望=,常用离散分布的方差,0-1分布的方差=p(1p),二项分布b(n,p)的方差=np(1p),泊松分布P()的方差=,几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2,2.5常用连续分布,正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。,记为XN(,2),其中0，是任意实数.,是位置参数.,是尺度参数.,2.5.1正态分布,正态概率密度函数的几何特征,p(x),p(x),p(x),p(x),p(x),x,0,x,x,标准正态分布N(0,1),密度函数记为(x),分布函数记为(x).,(x)的计算,(1)x0时,查标准正态分布函数表.,(2)xa)=1(a);(3)P(aXb)=(b)(a);(4)若a0,则P(|X|a)=P(a0,反查表得:(1.66)=0.9515,故b=1.66,而(a)=0.04951/2,所以a0,(a)=0.9505,反查表得:(1.65)=0.9505,故a=1.65,例2.5.2,一般正态分布的标准化,定理2.5.1设XN(,2),则YN(0,1).,推论:,若XN(,2),则,若XN(,2),则P(Xa)=,设XN(10,4),求P(10X13),P(|X10|2).,解:P(10X13)=(1.5)(0),=0.93320.5,P(|X10|2)=,P(8Xk=PXk,则k=().,3,课堂练习(1),设XN(,42),YN(,52),记p1=PX4，p2=PY+5,则()对任意的，都有p1=p2对任意的，都有p1p2,课堂练习(2),设XN(,2),则随的增大，概率P|X|()单调增大单调减少保持不变增减不定,课堂练习(3),正态分布的期望和方差,则有,正态分布的3原则,设XN(,2),则,P(|X|)=0.6828.,P(|X|3)=2/3,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则Yb(3,2/3)，所求概率为,P(Y2)=,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,例2.5.5,均匀分布的期望和方差,则有,2.5.3指数分布,记为XExp(),其中0.,特别：指数分布具有无忆性，即：,P(Xs+t|Xs)=P(Xt),指数分布的期望和方差,则有,设XExp(),密度函数为,2.5.4伽玛分布,记为XGa(,),其中0，0.,为伽玛函数.,称,注意点,(1),(1)=1,(1/2)=,(n+1)=n!,(2),Ga(1,)=Exp(),Ga(n/2,1/2)=2(n),2.5.5贝塔分布,记为XBe(a,b),其中a0，b0.,称,为贝塔函数.,注意点,(1),(2),B(a,b)=B(b,a),B(a,b)=(a)(b)/(a+b),(3),Be(1,1)=U(0,1),常用连续分布的数学期望,均匀分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指数分布Exp():E(X)=1/,正态分布N(,2):E(X)=,伽玛分布Ga(,):E(X)=/,贝塔分布Be(a,b):E(X)=a/(a+b),常用连续分布的方差,均匀分布U(a,b)的方差=(ba)2/12,指数分布Exp()的方差=1/2,正态分布N(,2)的方差=2,例2.5.6已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数n,p的值为多少？,例2.5.7设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则E(X2)的值为多少？,解：从2.4=np,1.44=np(1p)中解得,解：因为E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以,n=6,p=0.4.,E(X2)=Var(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4,设E(X)=，Var(X)=2，则对任意常数C，必有（）.,课堂练习,2.6随机变量函数的分布,问题：已知X的分布，求Y=g(X)的分布。,例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=X2.,当X为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量.,将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.,2.6.1离散随机变量函数的分布,Y的分布律为,解,第一步先求Y=2X+8的分布函数,解,例2.6.2,2.6.2连续随机变量函数的分布,1当g(x)为严格单调时,第二步由分布函数求概率密度.,2.6.2连续随机变量函数的分布,定理2.6.1设XpX(x)，y=g(x)是x的严格单调函数，记x=h(y)为y=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:,例2.6.3设X,求Y=eX的分布.,y=ex单调可导,反函数x=h(y)=lny,所以当y0时,由此得,解：,解,2当g(x)为其他形式时,再由分布函数求概率密度.,