3第三章 多维随机变量及其分布ppt课件

联合分布边沿分布条件分布,第三章多维随机变量及其分布,独立性随机变量函数的分布,本章着重讨论二维随机变量,它的很多结论不难推广到n大于2的情形.,前面我们讨论了一个随机变量的情况,但在实际问题中，某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究儿童的身体发育情况，需要同时考虑身高X和体重Y.又如，考察某地区的气候情况，需要同时考虑气温X1，气压X2，风力X3和湿度X4四个随机变量.,二维随机变量,3.1,定义1设X,Y为定义在同一概率空间(,F,P)上的二个随机变量,则(X,Y)称为二维随机变量.（也称为二维随机向量）,定义2设(X,Y)为一个二维随机变量,记,称二元函数F(x,y)为X与Y的联合分布函数,（或简称为(X,Y)的分布函数）.,显然,几何上,若把(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随,(参见图3.1),机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下,方的无穷矩形内的概率.,联合分布函数F(x,y)具有下列性质：,对任意固定的x,当y2y1时,.,F(x,y)是变量x(或y)的单调不减函数,即,对任意固定的y,当x2x1时,.,对任意固定的x,.,对任意固定的y,关于x和关于y均右连续,即,;,.,(以上性质的证明略),有,对任意固定的,利用分布函数及其几何意义不难看出,随机点,(X,Y)落在矩形域,内的概率为（如图）,（x2,y2）,（x2,y1）,（x1,y1）,（x1,y2）,y,y2,y1,x1,x2,x,O,0,可以证明，若二元实值函数F(x,y)具有以上,注:二维随机变量(X,Y)的联合分布函数必须满足,四条性质,而一维随机变量X的分布函数只须满足,三条性质.,四条性质，则必存在随机变量X和Y，使F(x,y),是(X,Y)的联合分布函数.,例1判断二元函数,是否是某二维随机变量的分布函数.,F(x,y)对任意的x1x2,y1y2,应有,解:作为二维随机变量的分布函数,而本题中,若取,因此，函数F(x,y)不能作为某二维随机变量的联合分布函数.,（满足性质13，但不满足性质4）,1二维离散型随机变量,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.,(X,Y)在各个可能取值处的概率为：,定义若二维随机变量(X,Y)所取的值为有限多对,设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值为,或可列无穷多对,称,为(X,Y)的（联合）分布律，也称为（联合）概率函数.,与一维类似，(X,Y)的联合分布律还可以写成如下表格形式：,(2),.可以证明，若数集,具有以上两条性质,则它必可作为某二维,(X,Y)的分布律具有下列性质：,(1),离散型随机变量的分布律.,例2设(X,Y)的分布律为,求a的值.,或,.,解：由分布律性质,所以,即,（负值舍去）,的联合分布律可求得它的联合分布函数F(x,y).,此时有,根据(X,Y)的联合分布函数F(x,y)的定义,由(X,Y),.,例3设(X,Y)的,求:,(1)PX=0,(2)PY2,(3)PX1，Y2,(4)PX+Y=2,分布律为,解:(1),且事件X=0,Y=1,X=0,Y=2,X=0,Y=3,两两互不相容,所以,PX=0=,=0.1+0.1+0.3=0.5,X=0=,X=0,Y=1X=0,Y=2X=0,Y=3,PX=0,Y=1+,PX=0,Y=2+,PX=0,Y=3,且事件,两两互不相容,X=0,Y=1,X=1,Y=1,X=0,Y=2,X=1,Y=2,所以,(3),且事件,所以,(4),互不相容,解:,X与Y的可能值均为1,2,3,利用概率乘法公式,.,例4现有1,2,3三个整数,X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数,Y表示从1至X中随机抽取的一个整数,试求(X,Y)的分布律.,可得(X,Y)取各对数值的概率分别是,类似地有,而X=1,Y=2,及X=1,Y=3,X=2,Y=3,为不可能事件,所以其概率为零,即,(X,Y)的分布律为,例5,(二维两点分布),设X,Y由下表给出,二维两点分布显然满足联合分布率的两条性质.,称（X,Y）服从二维两点分布.,(00时，,其他区域,从而,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为,求：(1)常数a,b,c;(2)(X,Y)的概率密度,；,解：(1)由分布函数的性质知,例7,从上面第二式得,从上面第三式得,再从上面第一式得,从而概率密度函数为,定义设D为平面上的有界区域,其面积为S且,下面介绍两种重要的二维连续型随机变量的分布：,均匀分布与正态分布,则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布,S0,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为,记作(X,Y)UD,.,.,两个特殊情形：,此时,(1)D为矩形区域,(2)D为圆形区域,如(X,Y)在以原点为圆心,R为半径的圆域上服从均匀分布,此时,例8设(X,Y)服从下列区域D上（如图）的均匀分布,求:,.,解：如图,D的面积S=,所以(X,Y)的概率密度为,事件,意味着随机点落在阴影区域,其概率为：,其中D:,都是常数,且,则称(X,Y)服从二维正态分布,记为,若二维随机变量(X,Y)概率密度为：,(X,Y),二维正态分布的图形是曲面,其中,显然f(x,y)0,下面证明,令,先计算,记,所以,同样可得,若令,例9,设函数g(x)满足g(x)0，且,问,是否为某个二维连续型(X,Y)的联合密度函数？,解：,显然f(x,y)0,下面证明,所以，,令,是联合密度.,f(x,y),例10,设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,(1)求分布函数F(x,y);(2)求概率PYX,解:,F(x,y)=,即有,F(x,y),(1),(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即有,YX=(X,Y)G,其中G为平面xOy上直线y=x及其下方的部分，于是,PYX=P(X,Y)G=,3.2边沿分布,定义,设(X,Y)的联合分布函数为,F(x,y),F1(x)F(x,+),F2(y)F(+,y),令,分别称F1(x)和F2(y)为F(x,y)关于X和Y的边沿,根据定义可知：,分布函数.,由此可见，F(x,y)关于X和Y的边沿分布函数,下面分别研究连续型和离散型的边沿分布：,对于二维连续型随机变量(X,Y),若(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，,则,分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度，,即单个随机变量X和Y的概率密度.,就是单个随机变量X和Y的分布函数.,对于二维离散型随机变量(X,Y),若(X,Y)的联合概率函数为,显然有,同理,为关于X的边沿分布律，,记为,称,即,为关于Y的边沿分布律.,同样，称,显然，,关于X或Y的边沿分布律，,随机变量X或Y的分布列.,也就是单个,因此，,边沿分布律满足：,例11,12.n,12.n,Y,X,.,设关于X和Y的联合分布律如下表：,例12求例4中(X,Y)关于X和Y的边缘分布律.,解:,X和Y的可能取值均为l,2,3.,(X,Y)关于X的边缘分布律为：,(X,Y)关于Y的边缘分布律为：,可以将分布律与边缘分布律写在同一张表上,值得注意的是：对于二维随机变量(X,Y),虽然由它的联合分布可以确定它的两个边缘分,布,但在一般情况下,由(X,Y)的两个边缘分布是,不能确定(X,Y)的联合分布的.,例13设盒中有2个红球,3个白球,从中每次任取一球,连续取两次,X,Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数,分别对有放回摸球与不放回摸球两种情形求出(X,Y)的联合分布律与边缘分布律.,解：(1)有放回抽样,PX=0,Y=0=,PX=0,Y=1=,事件X=i与Y=j独立(i,j=0,1)，所以,PX=1,Y=0=,PX=1,Y=1=,有放回摸球情形,(2)不放回抽样,类似地有,不放回摸球情形,比较两表可看出：在有放回与不放回两种情况下,(X,Y)的边沿分布律完全相同,但联合分布律却不,相同,这表明(X,Y)的联合分布不仅反映了两个分量,的概率分布,还反映了X与Y之间的关系.,若两个分量的概率分布完全相同,但分量之间的关系,却不同,则它们的联合分布律也会不同.因此在研究,二维随机变量时,不仅要考察两个分量X与Y各自的,个别性质,还需要考虑它们之间的关系,即应将(X,Y),作为一个整体来研究.,例14,若(X,Y)服从矩形区域上的均匀分布,即联合密度为,容易证明，,关于X的边沿密度为,关于Y的边沿密度为,例15,若(X,Y)服从单位圆上的均匀分布,即联合密度为,求边沿密度.,解：,当|x|1时，,f(x,y)=0,所以,当|x|0,PX=xi|Y=yj=,(i=1,2,.),为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数,下面分别讨论离散型和连续型的条件分布.,容易验证，上述条件分布列具有分布列的两条性质.,则称,为在X=xi条件下随机变量Y的条件概率函数,PX=xi0,PY=yj|X=xi=,(j=1,2,.),(条件分布列).,同样，若,称,记为,为在Y=yj条件下X的条件分布函数,PXx|Y=yj,或,为在X=xi条件下Y的条件分布函数,同样，称,记为,PYy|X=xi,或,F(x|yj),F(y|xi),显然，F(x|yj)不仅依赖于x且依赖于yj.,2连续型,先考虑在限定aYb的条件下，X的条件分布.,有,PXx|aYb=,而,PXx,aYb=,PaYb=,PXx|aYb,由此得到,此为X的条件分布函数，对x求导，得到条件密度函数,下面研究在Y=y时X的条件分布PXx|Yy.,设(X,Y)的联合密度为f(x,y),显然不能使用上面的离散型的方法，因为PY=y=0.,（也不能使用前面aYb，令a=b）,设PyYy+y0,PXx|yYy+y,则有,F(x|yYy+y),利用积分中值定理，存在y,y(y,y+y)，使,Fx|yYy+y=,令y0，,如果上式极限存在，则应有,F(x|Y=y)=,对上式求导数，得到其密度函数为,f(x|Y=y)=,(如果上式极限存在意味着fY(y)0，且fY(y)在y点,连续，f(u,y)在y点连续，但在高等概率论中，,对连续不满足时也可证明上式成立.）,定义设连续型二维随机变量(X,Y)的联合密度函,为在Y=y条件下X的条件概率密度,记为fX|Y(x|y),即,称,为在Y=y条件下X的条件分布函数,记为,PXx|Y=y或FX|Y(x|y),数为f(x,y),Y的边沿密度为fY(y),且fY(y)0，,则称,类似地可以定义fY|X(y|x)和FY|X(y|x),(可以证明，,条件分布函数满足分布函数的三个条件.),条件密度满足密度函数的两个条件,条件密度公式fX|Y(x|y)=,可以改写成,这个公式相应于条件概率的公式P(AB)=P(B/A)P(A),同样，还有,例1,设(X,Y),求,解:,由此可以看出，二元正态分布的条件分布仍然是正态分布,这是正态分布的一个重要性质.,正态分布N(,2)关于点对称，就是分布的中心位置，而正态分布,的中心位置为,从这里可以看出刻画了X,Y之间的相依关系：,若0,则随着x的增加，Y(在X=x时)的条件分,布的中心点m(x)随x的增加而增加，这意味着，,当x增加时，Y取大值的可能性增加，即Y有随着,X的增加而增加的倾向(如身高和体重的关系).,反之，若0的情况称为“正相关”，0的情况称为“负相关”.,例2,(X,Y)服从单位圆x2+y21上的均匀分布,当|y|1时，,即X在Y=y时的条件分布为区间,上的均匀分布.,例3,设(X,Y)的联合密度函数为,求,X的边沿密度为,解：,所以,因此,同事件的独立性一样,随机变量的独立性也,3.4随机变量的独立性,Xx与Yy相互独立意味着Xx,Yy的,是概率统计中的一个重要的概念.,我们从两个事件相互独立的概念引出两个,随机变量相互独立的概念.,事件Xx与Yy的积事件是Xx,Yy.,概率等于Xx与Yy的概率的乘积,由此,引入随机变量X,Y相互独立的定义.,.,定义设X,Y是两个随机变量,若对任意实数x,y,则称X与Y相互独立.,由此可知,随机变量X与Y相互独立,即对任意,有,实数x,y,事件Xx与Yy相互独立.,若F(x,y),FX(x)和FY(y)分别是X,Y两个随机变量,F(x,y)=FX(x)FY(y),下面分别讨论二维离散型和连续型的独立性.,的联合分布函数和边缘分布函数,则式等价于,1二维离散型随机变量的独立性,设(X,Y)为二维离散型随机变量,其分布律为,边缘分布律为:,X与Y相互独立的充要条件为：对一切i,j,有,注意:X与Y相互独立要求对所有i,j的值式都成立.只要有一个i或j的值使得式不成立，则X,Y不独立.,式也可写为,证：若式成立，即,F(x,y)=,=FX(x)FY(y),反之，若式成立，,即F(x,y)=FX(x)FY(y),则对于任意实数x1，x2，y1，y2，,(其中x1x2，y1y2),有,Px1Xx2=FX(x2)FX(x1),Py1Yy2=FY(y2)FY(y1),上面两式左，右端相乘，得,Px1Xx2Py1Yy2,=Fx(x2)FY(y2)Fx(x1)FY(y2)FX(x2)FY(y1)+FX(x1)FY(y1),=F(x2，y2)F(x1，y2)F(x2，y1)+F(x1，y1),=Px11时,关于X的边缘密度为,同理关于Y的边缘密度为,易见,当|x|1,|y|1时,例5设(X,Y),证明：(X,Y)的概率密度为,先证充分性,设=0，,此时,证明X与Y相互独立的充分必要条件是=0,若X与Y相互独立,则对任意的x,y有,再证必要性,令,代入上式有,从而知,即,例6,设(X,Y)的联合分布函数为,(1)(X,Y)的联合密度函数,求:,(2)X,Y的边沿分布函数和边沿密度函数,(3)X,Y是否独立？,解：,（2）边缘分布,(X,Y)的联合概率密度函数为,（1）,因为f(x,y)=fX(x)fY(y),因此X与Y相互独立.,(或F(x,y)=FX(x)FY(y),(3),例7,设(X,Y)的联合分布函数为,求,(1)(X,Y)的联合密度,(2)X,Y的边沿分布函数和边沿密度,(3)X和Y是否独立?,解：,(1),(2),FX(x)=F(x,+),FY(y)=F(+,y),(3),f(x,y)fX(x)fY(y),不独立,我们在前面曾讨论了联合分布与边缘分布的关系：,是不能确定联合分布的.,然而由随机变量相互独立,的定义及充要条件可知,当X与Y独立时,(X,Y)的分布,可由它的两个边缘分布完全确定.,联合分布可确定边缘分布,但一般情形下,边缘分布,解：由已知条件得X,Y的概率密度分别为,例8设X与Y为相互独立的随机变量,X在1,1上服从均匀分布,Y服从参数=2的指数分布,求：(X,Y)的概率密度.,因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的概率密度为,最后需要说明的是，根据X和Y相互独立的定义，还可以得出,fX|Y(x|y)=fX(x)或fY|X(y|x)=fY(y),PXx|Y=y=PXx,Pa1Xb1,a2Yb2=Pa1Xb1Pa2Yb2,等等,(即FX|Y(x|y)=FX(x),在实际问题中,判断两个随机变量是否相互独立,往往不是用数学定义去验证,而是由随机变量的实际意义,去考证它们是否相互独立.如掷两颗骰子的试验中,两颗,骰子出现的点数.两个彼此没有联系的工厂一天产品,中各自出现的废品件数等都可以认为是相互独立的随,机变量.,3.5两个随机变量的函数的分布,一般地，设(X,Y)的联合密度为f(x,y)，,FZ(z)=PZz,对FZ(z)求导，可得fZ(z).,而Z=g(X,Y),则,但是，在一般情况下，积分区域g(x,y)z较难确定.,=Pg(X,Y)z=,而Z=g(X,Y),离散型的情况完全类似,设(X,Y)的联合分布率为PX=xi,Y=yj=pij,(i,j=1,2.),则Z的分布律为,PZ=zk=Pg(X,Y)=zk=,例1,设X和Y的分布列为,且X,Y相互独立，,解：,一和的分布,（X,Y）的联合分布律为,求,Z2=XY,Z1=X+Y,的分布列,p,(X,Y)Z1=X+YZ2=XY,0.18,(1,2)31,(1,4)53,(3,2)51,(3,4)71,0.12,0.42,0.28,所以，Z1和Z2的分布列为,Z1,Z2,357,0.180.540.28,311,0.120.460.42,定理,(离散卷积公式)设X和Y是相互独立的随机变量，它们都取非负整数值.其分布列分别为ak和bk(k=0,1,2,.),则Z=X+Y的分布列为,(n=0,1,2,.),证：,Z=n=X+Y=n,再根据X和Y的独立性，有,PZ=n=PX+Y=n,=PX=0PY=n+PX=1PY=n1+.+PX=nPY=0,=PX=0,Y=n+PX=1,Y=n1+.+PX=n,Y=0,=a0bn+a1bn1+.+anb0,=X=0,Y=n+X=1,Y=n1+.+X=n,Y=0,例2,设X和Y相互独立，且分别服从参数为1和2的泊松分布，求Z=X+Y的分布.,PZ=n=PX+Y=n,解：,Z的可能取值为0,1,2,.,n=0,1,2,.,此式说明，两个独立的且均服从泊松分布的随机变量，其和也服从泊松分布.,Z=X+YP(1+2),例3,设X和Y相互独立，且XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y的分布.,PZ=n=,解:,Z的可能取值为0,1,2,.,n1+n2,n=(0,1,2,.,n1+n2),所以，Z=X+YB(n1+n2,p),(证明中用到,此式是由,即Z=X+YB(n1+n2,p),比较等式两端xn的系数所得到),例4,设（X,Y）的联合分布律为,求,(1)Z=X+Y,(2)Z=XY,(3)Z=XY,(5)Z=max(X,Y),(4),的分布列,解:,(1)Z=X+Y,由此可得各函数的分布列:,定理,若(X,Y)的联合密度为f(x,y),则Z=X+Y为连续型，其密度为,证：,FZ(z)=PZz,=PX+Yz,令y=vx,得,因此,FZ(z)=,此时,FZ(z)已经表示为方括号内函数的变上限积分,于是,Z=X+Y仍是连续型，且,fZ(z)=,同理，改变积分次序可得另一表达式,fZ(z)=,特别地，当X和Y相互独立时，上面两式变为,fZ(z)=,这两个公式称为fX(x)和fY(y)的卷积公式(褶积公式),记为fX(x)fY(y),即fX(x)fY(y)=,或fX(x)fY(y)=,定理,若X和Y均为连续型随机变量且相互独立，,则Z=X+Y也是连续型随机变量，并且其密,度函数为X和Y的密度函数的卷积.,解：,因为X,Y都服从N(0,1)所以,例5,设X和Y相互独立，且它们都服从N(0,1),则,Z=X+Y服从N(0,2).,因为X和Y相互独立，用卷积公式可得:,此处用到,所以Z=X+YN(0,一般地，若X和Y相互独立，且分别服从,(逆命题也成立:若Z=X+Y服从正态分布，且,N(1,12),N(2,22),则Z=X+YN(1+2,12+22),X,Y相互独立,则X和Y都服从正态分布，称为正态,分布的“再生性”）证明较难.,不难证明，即使X,Y不独立,只要其联合分布为二,维正态分布N(1,12;2,22;),则Z=X+Y仍为正,态,且Z=X+YN(1+2,12+22+212).,例6,解：,因为X和Y相互独立，,所以(X,Y)的联合密度为,f(x,y)=fX(x)fY(y)=,Z的分布函数,FZ(z)=PZz,=PX2+Y2z,当z0且zx0，,当z0时，,设X和Y相互独立，且都服从=1的指数分布,求Z=X+Y的分布.,即0z,Yz,=1PXzPYz,=11FX(z)1FY(z),同样,=PNz,=1PNz,N=min(X,Y),=1Pmin(X,Y)z,设(X,Y)的联合密度为,例9,求max(X,Y)和,min(X,Y)的分布,解：,（注意：此题并没有说X,Y相互独立,不能套用前面的公式),设Z=max(X,Y),(1),当z0时,FZ(z)=PZz,=Pmax(X,Y)z,=PXz,Yz,=0,当z1时,FZ(z)=PZz,=PXz,Yz,=PX1,Y1,=1,当0z,=1PXz,Yz,=11,=0,当z1时,FZ(z)=Pmin(X,Y)z,=1PXz,Yz,当0z,Yz,=10=1,综上,Z=min(X,Y)的分布为,例10,设(X,Y)的联合密度为,求Z=XY的密度.,当z0时,解：,如图,FZ(z)=0,当z1时,FZ(z)=1,y,1,当0zz,所以,fZ(z)=,1,3.6n维随机变量,定义,若随机变量X1,X2,.,Xn定义在同一概率空间,(,F,P)上,变量或n维随机向量.,则称(X1,X2,.Xn)为一个n维随机,Xi称为第i(i=1,2,.,n)个分量.,（固然可以对每一个分量单独研究，但把它们,作为一个整体，则不仅能研究各个分量的性质，,还可以考察它们之间的联系.）,称n元函数,x1,x2,.,xn0，,则由密度函数,f(x1,x2,.,xn),给出的分布称为G上的均匀分布.,若B=(bij)是n阶正定矩阵,用B1=(rij)表示B的逆矩阵。|B|表示B的行列式的值，a=(a1,a2,.an)是任意实值行向量，则由密度函数,定义的分布称为n元正态分布，简记N(a,B).,这个密度函数也可改写为向量形式：,f(x1,x2,.,xn)=,f(x)=,此处(xa)T是(xa)的转置,x=(x1,x2,.,xn),n=2时，二元正态分布,B称为协方差矩阵.,例如,a1=1,a2=2,二边沿分布,(X1,X2,.，Xk)的,F(x1,x2,.,xn),令,F1,2,.,k(x1,x2,.,xk),=F(x1,x2,.,xk,+,.,+),F(x1,x2,.,xn),则称,F1,2,.,k(x1,x2,.,xk)为,设(X1,X2,.，Xn)的联合分布函数为,边沿分布函数.,同样可以证明，它就是(X1,X2,.,Xk)的联合,分布函数.,=,上述讨论同样对于,(边沿分布只是说明这样一个事实，若已知,类似地还有边沿概率函数，边沿密度函数.,也成立.,则可以得出其中,，反之不成立),(X1,X2,.,Xn)的联合分布，,某一部分的分布,n维随机变量的独立性,*三,定义,设n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的联合分布函数,为F(x1,x2,.,xn)，,Xi的分布函数为Fi(xi)(i=1,2,.n),若对于任意实数x1,x2,.,xn，有,F(x1,x2,.,xn)=F1(x1)F2(x2)Fn(xn),则称X1,X2,