2002考研数四真题及解析

Born to wi2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数，则(2) 已知f (x)的一个原函数为，则.(3) 设矩阵,则.(4) 设向量组,线性无关,则必须满足关系式.(5) 设随机变量的联合概率密度分布为 YX-101010.070.080.180.320.150.20则的相关系数.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则 ( )(A)当时，存在，使.(B)对任何，有.(C)当时，存在，使.(D)存在，使.(2) 设函数连续，则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 ( )(A) (B)(C) (D) (3) 设为阶矩阵, 分别为对应的伴随矩阵,分块矩阵，则 的伴随矩阵 ( )(A), (B), (C), (D)(4) 设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则 ( )(A)必为某一随机变量的概率密度.(B)必为某一随机变量的分布函数.(C)必为某一随机变量的分布函数.(D)必为某一随机变量的概率密度.(5) 设随机变量相互独立,则根据列维林德柏格中心极限定理, 当n充分大时,近似服从正态分布, 只要 ( )(A) 有相同的数学期望. (B) 有相同的方差.(C) 服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布.三、(本题满分5分)求极限 四、(本题满分7分)设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求.五、(本题满分6分)设求.六、(本题满分7分)设闭区域为上的连续函数,且求.七、(本题满分7分)设某商品需求量是价格的单调减少函数:,其需求弹性(1) 设为总收益函数,证明(2) 求时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义.八、(本题满分6分)设函数在上连续，且.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使 .九、(本题满分8分)设四元齐次方程组为且已知另一四元齐次线性方程组的一个基础解系为.(1) 求方程组的一个基础解系;(2)当为何值时,方程组与有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解.十、(本题满分8分)设实对称矩阵, 求可逆矩阵，使为对角形矩阵,并计算行列式的值.十一、(本题满分8分)设A, B 是任意二事件,其中A 的概率不等于0和1,证明：是事件A与B独立的充分必要条件.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作的时间 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】里面为型，通过凑成重要极限形式来求极限，(2)【答案】【详解】用分部积分法由题设知，所以 所以 (3)【答案】【详解】，故，所以 因为，故可逆，(经过初等行变换化为单位矩阵的同时，单位矩阵化为) 故 (4)【答案】【详解】方法1：由题设条件三个三维向量线性无关，则以为列向量的三阶矩阵的秩为3(阶矩阵的秩等于的充要条件是)故方法2：线性无关则以为列向量的三阶矩阵的秩为3齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数，故线性齐次方程组只有零解当齐次方程组对应矩阵为方阵时，有故 (5) 【答案】【详解】、和都是分布，而分布的期望值恰为取时的概率由离散型随机变量和的联合概率分布表可得的可能取值为0和1，且的可能取值也为0和1，且和的边缘分布为；故有 而边缘分布律：，所以，的联合分布及其边缘分布为 01001802204010320280600500501由上表同理可求得的分布律为01072028所以由分布的期望值恰为取1时的概率得到：二、选择题(1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法由题设在开区间内可导，所以在内连续，因此，对于内的任意一点，必有 即有故选(B)方法2：排除法(A)的反例：，有，但在内无零点(C)与(D)的反例， ，但(当)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论故选(B)(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令，则，令，则，所以所以(D)为偶函数同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如故应选(D)(3)【答案】(D)【详解】方法1：直接算出因为准对角矩阵可逆的充要条件是均可逆，且有，故均可逆. 又，故故应选(D)方法2：对四个选项逐个验算，选使(为矩阵，故这里的单位矩阵为阶方阵)成立的即可对(D)有(矩阵的乘法)(，)(提取公因子)(因为，故)(4) 【答案】D 【分析】函数成为概率密度的充要条件为：(1) (2)函数成为分布函数的充要条件为：(1)单调不减；(2)(3)右连续.我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导.【详解】方法1：(A)选项不可能，因为也不能选(B)，因为可取反例，令显然均是均匀分布的概率密度. 而，不满足条件.(C)当然也不正确，因为根据排除法，答案应选(D).方法2：令，显然也是一个随机变量. 的分布函数为.(5)【答案】C【分析】列维林德柏格中心极限定理要求随机变量相互独立、同分布且方差存在当充分大时，才近似服从正态分布，故本题只要求验证满足同分布和方差存在的条件【详解】方法1：当条件(C)成立时，同分布满足，方差存在也满足，因为指数分布的随机变量方差存在的，答案应选(C)方法2：条件(A)、(B)均不能保证具有相同的分布条件(D)不能保证方差的存在，根据排除法，唯一的正确选项只能是(C)三【详解】四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分由所确定，两边求全微分，有，解出 所以 方法2：(根据多元函数偏导数的链式法则)下面通过隐函数求导得到，由两边对求偏导数，有得，类似可得，代入表达式，再代入 中，得五【详解】首先要从求出命，则有，于是(通过换元求出函数的表达式)(换元积分法)(分部积分法)六【详解】令 于是把代入得而区域是以为圆心，以为半径的半圆面(如图所示)，所以 得到 解得 所以 七【分析】弹性公式：【详解】(1) 总收益 两端对求导得 (1)又因为是的单调减函数，故，按弹性公式有，即，代入(1)，得(2) 总收益对价格的弹性所以 经济意义：当时，若价格上涨，则总收益将增加八【详解】方法1：因为与在上连续，所以存在使得 ，满足又，故根据不等式的性质根据定积分的不等式性质有所以 由连续函数的介值定理知，存在，使即有 方法2：因为与在上连续，且，故与都存在，且记，于是即因此必存在使不然，则在内由连续函数的零点定理知要么恒为正，从而根据积分的基本性质得；要么恒为负，同理得，均与不符由此推知存在使，从而 九【详解】(1)对方程组的系数矩阵作初等行变换，有：系数矩阵的秩为2，故基础解系由4-2个线性无关解向量组成，选为自由未知量，分别取及，求得方程组的两个线性无关解由此可得方程组的基础解系为(2)方法1：由题设条件，根据齐次线性方程组的解的结构，方程组的通解为(数乘运算，数与向量的每个元素相乘)； (对应元素相加)方程组与有非零公共解，即方程组的有些解也是的解，把的通解表达式代入方程组，整理后得要使方程组有非零公共解，只需关于的方程组有非零解所以，当时，由知，方程组与无非零公共解；当时，无论为何值，恒成立，的通解满足方程组，即方程组的全部解都是的解，故时，是方程组、的全部非零公共解(为不全为零的任意常数)方法2：方程组的通解为，的通解为，则方程组的公共解应满足，即方程组与有非零公共解，即存在不全为零的使得上式成立，把看作未知数，问题转化为上式存在非零解，写成矩阵的形式对系数矩阵做初等变换当时，系数矩阵的秩为4，只有零解，方程组与无非零公共解若时，系数矩阵的秩为2(小于未知量的个数)，故上述方程组有无穷多解，一定有非零解，即方程组有非零公共解，其同解方程组为，取为自由未知量， 分别取，解得此时，故(或)，其中是不同时为零的任意常数，为方程组的非零公共解十【详解】矩阵的特征多项式(按第1行展开，其中中的两个1分别指所在的行数和列数)令，得矩阵的特征值对于特征值 由，即，系数矩阵进行初等行变换，故，基础解系中含有2个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为，选为自由未知量，取和，可得对应的两个线性无关的特征向量对于特征值，由，即，系数矩阵做初等行变换，故，基础解系中含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为，选为自由未知量，取，可得对应的特征向量令矩阵有由的特征值为，可得的特征值为. 阶矩阵的行列式等于它的个特征值的乘积，所以十一【详解】本题涉及条件概率及独立性应熟记有关的公式 及；方法1：由所以，是与独立的充分必要条件