第二章基本定理ppt课件

精选,1,第二章基本定理第09讲解的存在性与唯一性定理2.1常微分方程的几何解释我们在1.1节已经给出了微分方程及其解的定义.本节将就一阶显式方程给出这些定义的几何解释.由这些解释，我们可以从方程(1.9)本身的特性了解到它的任一解所应具有的某些几何特征.首先，我们要给出“线素场”的概念.设(1.9)的右端函数f(x,y)在区域G内有定义(图2-1),即对G内任意一点(x,y)，都存在确定值.以(x,y)点为中点，作一单位线段，使其斜率恰为k=f(x,y)，称为在(x,y)的线素.于是在G内每一点都有一个线素.我们说，方程(1.9)在区域G上确定了一个线素场.图2-1,（19）,精选,2,下面来讨论方程(1.9)的解与它确定的线素场的关系.前面，我们已经把(1.9)的解的图象称为(1.9)的积分曲线.定理2.1曲线L为(1.9)的积分曲线的充要条件是：在L上任一点，L的切线与(1.9)所确定的线素场在该点的线素重合；亦即L在每点均与线素场的线素相切.证明（略）这个定理表明这样一个事实：(1.9)的积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切.或者直观地说成积分曲线是始终“顺着”线素场的线素行进的曲线.2.2解的存在唯一性定理本节利用逐次逼近法，来证明微分方程(2.1)的初值问题(2.2)的解的存在与唯一性定理.2.2.1存在性与唯一性定理的叙述定理2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域上满足如下条件：(1)在R上连续;(2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点(x,y)和有不等式：,精选,3,则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解其中在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:1.在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数f(x,y)在闭矩形域R上关于y的偏导数f_y(x,y)存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有其中满足，从而.如果f_y(x,y)在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.2.现对定理中的数h0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况.这时，过点的积,精选,4,图2-5分曲线当x=x_1或x=x_2时，其中，到达R的上边界y=y_0+b或下边界y=y_0-b.于是，当时，曲线便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间上存在.但是，由2.1节的常微分方程的几何解释可知，定理2.1就是要证明：在线素场R中，存在唯一一条过点(x_0,y_0)的积分曲线它在其上每点处都与线素场在这点的线素相切.现在定理假定f(x,y)在R上连续,从而存在,精选,5,于是，如果从点(x_0,y_0)引两条斜率分别等于M和-M的直线，则积分曲线(如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取则过点(x_0,y_0)的积分曲线(如果存在的话)当x在区间上变化时，必位于R之中.图2-6,精选,6,2.2.2存在性的证明求解初值问题（2.2）求解积分方程（2.3）.因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在上存在而且唯一就行了.下面用毕卡(Picard)逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:1.构造逐次近似序列.,精选,7,近似序列在每一项都在上有定义，这是因为于是这样，我们在区间上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)2.证明近似序列在区间上一致收敛（序列）.“函数序列的一致收敛1设（1）,精选,8,是定义在I上的函数序列，若对，数列收敛，则称x_0为序列（1）的收敛点收敛点的全体叫收敛域在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的一个函数，称为极限函数设此函数为S(x)，即2若对，总存在一个只与有关的自然数N，使得对I上任何一点，当时，有，则称序列（1）在I上一致收敛证明分如下二步：（1）序列在上一致收敛级数（2.7）在上一致收敛（级数）“函数项级数的一致收敛,精选,9,“函数项级数的一致收敛1设函数项级数（1）在区间I上收敛于和函数S(x)，即对，数项级数收敛于S(x_0)，或级数（1）的部分和所组成的数列,=,精选,10,3若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，则（1）的和函数在I上连续因为级数（2.7）的部分和（2）级数（2.7）在上一致收敛用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，“函数项级数的一致收敛判别法（魏尔斯特拉斯优级数判别法）函数项级数（1）,精选,11,若函数项级数（1）在区间I上满足（I）；（II）正项级数收敛则函数项级数（1）在区间I上一致收敛数项级数收敛的判别法（比值判别法，达朗贝尔（）判别法）若正项级数的后项与前项的比值的极限等于：则当时级数收敛，时（或）时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散,精选,12,级数(2.7)在区间上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为，从而近似序列在区间x_0-h_0,x_0+h_0上一致收敛于.由于在区间x_0-h_0,x_0+h_0上连续，因而也是连续的.3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解.在n次近似序列（2.6）两端取极限有因为所以要证明是积分方程（2.3）的解，即成立，只需证明下面用“-N语言”证明上面的极限成立,精选,13,由于序列在区间x_0-h_0,x_0+h_0上一致收敛，因此，对任给0,存在自然数N,当nN时，对区间x_0-h_0,x_0+h_0上所有x恒有从而由此推得换句话说，我们得到现在对恒等式(2.6)两端取极限，就得到此即表明函数是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕.,精选,14,2.2.3唯一性的证明下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman)不等式.贝尔曼引理设y(x)为区间a,b上非负的连续函数，.若存在使得y(x)满足不等式(2.9)则有证明先证明的情形.令，于是从(2,9)式立即有上式两端同乘以因子,则有上式两端从x0到x积分，则有,精选,15,即,由(2.9)知，,从而由上式得到,的情形类似可证，引理证毕.积分方程(2.3)解的唯一性证明，采用反证法.假设积分方程(2.3)除了解,之外，还另外有解,，我们下面要证明：在,上，必有,.事实上，因为,精选,16,及,将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有,令,从而由贝尔曼引理可知，在,上有,，即,.至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完.2.2.4二点说明为了加深对定理的理解，下面我们再作二点说明.1.（见教材）2.如果方程(2.1)是线性方程，即,其中p(x)和q(x)在区间,上连续，我们不难验证，此时方程的右端函数关于y满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理2.2中的方法，可以证明对任意初始值,精选,17,我们不难验证，此时方程的右端函数关于y满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理2.2中的方法，可以证明对任意初始值,.线性方程满足,的解在整个区间,上有定义.事实上，只要注意到，此时逐次近似序列的一般项(2.6),在区间,上存在且连续即可.由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的呢?下面的例子回答了这个问题.例1试证方程,经过xoy平面上任一点的解都是唯一的.证明右端函数除x轴外的上、下平面都满足定理2.2的条件，因此对于,轴外任何点,，该方程满足,的解都存在且唯一.于是，只有对于,轴上的点，还需要讨论其过这样点的解的唯一性.我们注意到y=0为方程的解.当y0时，因为,精选,18,故可得通解为,为上半平面的通解,为下半平面的通解.这些解不可能y=0相交.因此，对于,轴上的点,，只有y=0通过，从而保证了初值解的唯一性.但是，,因为,故不可能存在,使得,从而方程右端函数在y=0的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件.为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件.直到现在，唯一性问题仍是一个值得研究的课题.下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数f(x,y)在R上连续，不能保证任何,精选,19,初值问题(2.2)的解是唯一的.例2讨论方程,解的唯一性.解方程的右端函数,在全平面连续，当,时，用分离变量法可求得通解,，C为任意常数.又y=0也是方程的一个特解，积分曲线如图2-7.,图2-7,精选,20,从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过x轴上任一点,的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为,，它可表为：对任意满足,的a和b.,本节要点：1一阶显式方程在其定义域内定义了一个线素场，积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切2解的存在唯一性定理的证明3定理条件的理解（1）李普希兹条件是保证解唯一的充分条件而非必要条件（2）仅有连续条件不能保证解唯一（3）定理的结论：解的存在区间是局部的,精选,21,第10讲解的延展上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯一性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函数f(x,y)存在区域D可能是很大的，这样，我们自然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩大.,2.3.1延展解、不可延展解的定义定义2.1设,是初值问题（2，2）在区间,上的一个解，如果（2，2）还有一个在区间,上的解,，且满足(1),(2)当,时，,精选,22,则称解,是可延展的，并称,是,在I上的一个延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解,，则称,是初值问题(2.2)的一个不可延展解，(亦称饱和解).这里区间I和可以是开的也可以是闭的.3.2不可延展解的存在性定义2.2设,定义在开区域,上，如果对于D上任一点,，都存在以,为中心的，完全属于D的闭矩形域R，使得在R上,的关于y满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R的大小以及常数N可以不同，则称,在D上关于y满足局部李普希兹条件.,精选,23,定理2.3如果方程(2.1)的右端函数,在区域,上连续，且对y满足局部李普希兹条件，则对任何,，初值问题(2.2)存在唯一的不可延展解.证明思路：仅证,方向，（,方向同理）任取点,存在唯一解,在,=,上有定义又点,存在唯一解,在,=,上有定义,精选,24,图28由解的唯一性，在I0和I1的公共部分上，,的一个延展解继续这种延展过程，直到一个解,，它再也不能向左右两方延展了，这个解就是不可延展解，,就是初值问题（2.2）不可延展解的存在区间，这样，就完成了定理的证明显然，不可延展解的存在区间必定是一个开区间.因为如果区间右端点,是闭的,精选,25,那么解,的曲线可以达到,.于是点,，由定理2.2，可将,延展到,的右方，这与,是不可延展解矛盾.同理，这个区间的左端点也必定是开的.2.3.3不可延展解在端点的性状下面讨论初值问题(2.2)的不可延展解,，当x趋于区间,的端点时的性状引理设,是有界开区域，,在D上有界,、且对y满足局部李普希兹条件.如果,是初值问题(2.2)在D上的不可延展解，则当,时，相应积分曲线上的点,都趋于D的边界.,精选,26,证明首先证明极限,的存在性.事实上，由于初值问题(2.2)的解,满足下面的积分方程,因此对任意,有,精选,27,由柯西收敛判别准则，“柯西收敛准则1数列,收敛,对,，,N，使当,，,，就有,2,存在,对,，,N，使当,，,时，总有,精选,28,3,存在,对,，,A0，使当,，总有,”可知,和,都存在.记D的边界为,，现证明,.利用反证法，假如是,是D的内点，则由定理2.2可知，存在,，使得解,可以延,精选,29,到区间,上，这与是不可延展解,的存在区间的右端点的假设矛盾.因此点,属于D的边界点.同理，点,也属于D的边界点.证毕.现在我们可以给出不可延展解的重要性质：定理2.4如果方程(2.1)的右端函数,在(有界或无界)区域D上连续，且关于y满足局部李普希兹条件，那么对于D上任意一点,，方程(2.1)的以,为,精选,30,初值的不可延展解,，当,时，相应积分曲线上的点,都趋于D的边界.证明作有界区域,，使得,且,.,精选,31,显然，当D为平面上有界区域时，只要取Dn为D的边界,的内侧邻域即可.当D为无界时，可取D与闭圆域,的交集,.如此取的Dn满足上面的条件.,精选,32,对于区域D，由于,，由引理可知积分曲线,可以到达D的边界点A和B对于区域D，再次利用引理，积分曲线,又可以到达,的边界点A和B如此继续下去，积分曲线可以到达Dn的边界点An和Bn，于是我们在积分曲线上得到两个点列,因为当,分别趋于D的边界，证毕注1.“积分曲线趋于D的边界”是指积分曲线上的点,当,和,可以与,无限接近，但是极限不一定存在.,精选,33,通常把向,右侧延展的解称为右行解，反之则称为左行解.由上面的证明，不难得到.推论在定理2.4中的右行不可延展解的存在区间必为下列情形之一：(1),，），(见图2-9-1)，或(2),，b)，b为有限数在后一种情形下，有且仅有下面二种可能当xb-0时，,无界；(见图2-9-2),在x0,b上有界，且,精选,34,注2.,在x0,b)上有界时，若,存在有限值d，那么(b,d),(见图2-9-3).若,不存在，xb-0时，,的值振荡,那么,.(见图2-9-4).左行不可延展解的存在区间有相同结论.,精选,35,图2-9-1图2-9-2,图2-9-3图2-9-4,精选,36,例1试讨论方程,通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间.解此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是,故通过(1,1)的积分曲线为,它向左可无限延展，而当x2-0时，y+,所以，其存在区间为(-,2),精选,37,参看图2-10.,图2-10通过(3,-1)的积分曲线为,它向左不能无限延展，因为当x2+0时，y-,所以其存在区间为(2,+).顺便指出：这个方程只有解y=0可以向左右两上方向无限延展.,精选,38,这个例子说明，尽管,在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域D的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例2讨论方程,解的存在区间.解方程右端函数在无界区域,内连续，且对y满足李普希兹条件，其通解为,过D内任一点,的初值解.,精选,39,图2-11,在(0,+)上有定义，且当x0时，该积分曲线上的点无限接近D的边界线x=0，但不趋向其上任一点(图2-11).在区域内的讨论是,类似的.延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的.,精选,40,例3考虑方程,假设,及,在,平面上连续，试证明：对于任意,及,方程满足,的解都在(-,+)上存在.,精选,41,图2-12证明根据题设，可以证明方程右端函数在整个,平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，,为方程在(-,+)上的解.由延展定理可知，满足,任意，,的解,上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，,又不能穿过直线,，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-,+)上存在(图2-12).,精选,42,本节要点：1不可延展解的定义2不可延展一定存在3不可延展在区间端点的性状（1）右端函数,与不可延展解的关系，（2）如何判断方程解在(-,+)上整体存,精选,43,2.4.1奇解在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程,的通解是,，还有一解,，除解,外，其余解都满足唯一性，只有解,所对应的积分曲线上每一点，唯一性都被破坏.这样的解在许多方程中存在.例1求方程,的所有解.,精选,44,解该方程的通解是,此外还有两个特解,和,.由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，,图2-13显然解,和,所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。,精选,45,本节主要讨论一阶隐式方程,(1.8)和一阶显式方程,(1.9)的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用,无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一,精选,46,般来说，若能解出几个显式方程,那么对每一个方程，应用定理2.2即可。其次对于方程(1.8)，如果函数F(x,y,y)对所有变量连续且有连续偏导数，并且在,的邻域内有,成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得,其中函数f(x,y)是连续的且有连续偏导数，特别有,精选,47,这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。定义2.3如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线,由上述定义，可见2.2节例2中的解,是方程,的奇解，而例1中的解,和,是方程,的奇解。,精选,48,2.4.2不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数,在区域,上有定义，如果,在D上连续且,在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。如果存在唯一性定理条件不是在整个,有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。,精选,49,例2判断下列方程(1),(2),是否存在奇解。解(1)方程右端函数,均在全平面上连续，故方程(1)在,精选,50,全平面上无奇解。(2)方程右端函数,在区域,上有定义且连续，,在yx上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y=x，即若方程(2)有奇解必定是y=x，然而y=x不是方程的解，从而方程(2)无奇解。,精选,51,2.4.3包络线及奇解的求法下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分,求它奇解的方法。当任意常数C变化时，通积分,给出了一个单参数曲线族(C)，其中C为参数，我们来定义(C)的包络线。,精选,52,定义2.4设给定单参数曲线族,(2.10)其中C为参数，,对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L，其上任一点均有(C)中某一曲线与L相切，且在L上不同点，L与(C)中不同曲线相切，那么称此曲线L为曲线族(C)的包络线或简称包络。见图2-14,图2-14,精选,53,定理2.5方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。证明只须证明(C)的包络线L是方程(1.9)的积分曲线即可。设p(x,y)为L上任一点，由包络线定义，必有(C)中一曲线l过p点，且与L相切，即l与L在p点有公共切线。由于l是积分曲线，它在p点的切线应与方程(1.9)所定义的线素场在该点的方向一致，所以L在p点的切线也就与方程(1.9)在该点的方向一致了。这就表明L在其上任一点的切线与方程(1.9)的线素场的方向一致，从而L是(1.9)的积分曲线。证毕。有了这个定理之后，求方程(1.9)的奇解问题就化为求(1.9)的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法。,精选,54,定理2.6若L是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C-判别式,(2.11)反之，若从(2.11)解得连续可微曲线,精选,55,且满足：,和,（称为非退化条件），则,是曲线族的包络线.证明对L上任取一点p(x,y)，由包络线定义，有(C)中一条曲线l在p点与L相切，设l所对应的参数为C，故L上的点坐标x和y均是C的连续可微函数，设为,又因为p(x,y)在l上，故有恒等式,(2.12),精选,56,L在p点的切线斜率为,l在p点的切线斜率为,因为l与L在p点相切，故有,，即有关系式,(2.13)另一方面，在(2.12)式两端对C求导得,精选,57,此式与(2.13)比较，无论是在,同时为零，或不同时为零的情况下均有下式,(2.14)成立.即包络线满足C-判别式(2.11).反之，在,上任取一点q(C)=(C),(C),则有,(2.15)成立.,精选,58,因为,不同时为零，所以对(2.10)在q点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线,它在q点的斜率为,(2.16)另一方面，在q点的斜率为,(2.17),精选,59,现在，由(2.15)的第一式对C求导得,再利用(2.15)的第二式推出,(2.18)因为,和,分别不同时为零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出,即曲线族(2.10)中有曲线在q点与曲线相切.因此，是曲线族(2.10)的包络线。,精选,60,例3求,的奇解.解在本章2.2节已解得方程通解为,由C-判别式,解得,.由于,所以,为原方程的奇解.例4求方程,的奇解。,精选,61,解由上面的例1，该方程的通解为,由C-判别式,(2.19)的第二式解出,代入第一式，得到,。因为,，故,为方程的奇解。例5求克莱洛方程,精选,62,的奇解，其中是二次可微函数且,。解由第1章1.6节的例2可知该方程的通解为,C-判别式为,(2.19)因为,故由(2.19)所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解.即克莱洛方程总有奇解。,精选,63,本节要点：1.奇解的定义。2.不存在奇解的判别方法。（1）全平面上解唯一,不存在奇解。（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解,无奇解。3.求奇解的包络线求法。包络线,满足C判别式。在非蜕化条件下，从C判别式解出的曲线,包络线,精选,64,2.5解对初值的连续依赖性直到现在，我们都是把初值,看成固定的数值，然后再去研究微分方程(2.1)经过点,的解.这个解是自变量x的函数.易于看出，当初值x0和y0变动时，对应的解也要跟着变动.所以，方程(2.1)的解也应该是初值,的函数.例如，方程,精选,65,过点,的解为,，它显然是所有变量,和,的函数.对于一般情形，为了表示微分方程(2.1)过点,的解是所有变量,和,的函数，我们采用记号.,按记号的定义，应有,精选,66,现在提出一个应用上很重要的问题：当初值发生变化时，对应的解是怎样变化的?我们知道，很多自然现象的研究都可以归结为求某些微分方程满足其初值的解.但是这些初值是要通过实验来测定的，因此