一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,当时，；,当时，；,当时，；,没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不相等的实数根,2.一元二次方程的根的情况怎样确定？,ax2+bx+c=0(a0),复习回顾，导入新课,3.一元二次方程的求根公式是什么？,（1）x2-7x+12=0,(2)x2+3x-4=0,(3)2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,3,4,12,7,1,-3,-4,-4,-1,-2,复习回顾，导入新课,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=,-,（韦达定理）,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,新知探究,(b24ac0),韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。他第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,x1+x2=,+,=,=,-,x1x2=,=,=,=,一元二次方程根与系数关系的证明,如果方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，,新知探究,(p、q为常数,b24ac0),不解方程说出下列各方程的两根之和与两根之积：,1、x2-2x-1=0,2、2x2-3x+=0,3、2x2-6x=0,4、3x2=4,x1+x2=0,x1x2=0,练一练,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=3,2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。(口答),（1）x2-6x-7=0（-1，7）（2）3x2+5x-2=0（，）（3）2x2-3x+1=0（3，1）（4）x2-4x+1=0（-2+，-2-）,练一练,例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2求：,(1)(2)x12+x22,解：,由题意可知x1+x2=-,x1x2=-3,(1),=,=,=,(2)(x1x2)2x12+x222x1x2,x12+x22(x1x2)2-2x1x2,(-)2,-2(-3)6,例题讲解,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解：,设方程的另一个根为x1,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得k=-2,由根与系数关系，得2x13k,即2x16,x13,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,例题讲解,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解二：,设方程的另一个根为x1,由根与系数的关系，得,x12=k+1,2x1=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,例题讲解,1、一元二次方程根与系数的关系,2、利用此关系解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：,（1）二次项系数a0,（2）根的判别式b2-4ac0,小结,1、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,解：,由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由x12+x22=4，得2k2-8k+44,k1=0,k2=4,经检验，k=4时，0；k