10-13年微积分试题答案

整理by leo微积分试题答案 整理by leo2010年一、1. 求极限 解 原极限2. 求极限 解 原极限3. 求极限 解 原极限 （用到）4. 求极限 原极限。5. 已知 是的一个原函数，求。解 原积分。因，则原积分。二、1. 已知，求 .解 由等价无穷小的代换 ，原极限.注：不能使用洛必达法则。2. 设函数。 为何值时在处可导？解 可导时在处连续，则有。可导时，左右导数必相等。当时，。（P88,例6）因此。于是。3. 求的导数。解 4. 设确定了隐函数，求和。解 ，。则 。5.求不定积分解 令，原积分原积分6.求不定积分。解 原积分三经济应用题（9分）设厂商生产某产品的总收益和边际成本函数分别为（万元），其中为产量（吨）。已知固定成本为5万元，即（万元）。（1）求厂商的利润函数；（2）求产量为多少时厂商的总利润最大，并求最大利润；（3）若该产品在市场销售中，降价了，销量增长了，求该产品的需求价格弹性约为多少？解 由可得，。（1）利润函数。（2），则得到唯一的驻点。则 （万元）是唯一的极大值，也是最大值。（3）此时。四、证明下列各题1. 当时，证明解 只需证明。，则在上单调增加，由可知在时。从而 在上单调增加，由可知，在时。2.设在区间上连续，在上可导，。证明：对任意存在使得证 如果，由罗尔定理可知结论成立。令 ，则在区间上连续，在上可导。如果，因，则。又， 根据零点定理可知存在使得。又因，根据罗尔定理可知，存在使得，即。如果，因，则。又， 由零点定理可知存在使得。又因，根据罗尔定理可知，存在使得，即。五函数作图题（10分）确定函数的定义域、单调区间、极值点、凹凸区间、拐点及渐近线，并画出该函数的图形。解 该函数的定义域是。xy函数在上单调增加，在上单调减少。极大值。函数在是凸的，在上是凹的。拐点。，则是时的水平渐近线。无斜渐近线和垂直渐近线。2011年一、1. 求极限 解 原极限2. 求极限 解 原极限3. 求极限 解 原极限 4. 求极限 解 原极限5. 已知 ，求解 此时，于是二、1. 设 ，求。，。2. 设函数，确定的值，使得在处可导，并求。解 由可导必连续可知 。时，则。3. 设 ，其中二阶可导，求。解 。4. 设是由方程所确定的隐函数，求。解法1 在方程的两端求导数 。因时，于是。再求导数 ，时，。解法2 ，由，可知。，则。5.求不定积分。解 原积分6. 求不定积分。解 原积分。三、1.（8分） 证明不等式。证 只需证明 时，。令分子，则在时单调增加，于是当时，因此当时，在时单调增加。则当时，。则结论成立。2.（8分） 已知函数在区间上连续，在内可导，且，。证明：（1）存在使得。（2）存在两个不同的使得证 （1）做辅助函数，则区间上连续。，由零点定理可知存在，使得，即结论成立。（2）由（1）知存在，使得，从而。两式相除可得 ，即 由拉格朗日中值定理可知，存在及使得 .从而，从而结论成立。3.（8分）某服装公司正在推广某款套装。公司确定，卖出该款服装套，其单价应为（元）。已知生产套服装的总成本为，问（1）生产并销售多少套服装可使得总利润最大？并求最大利润。（2）在总利润达到最大时，服装的单价是多少？此时若价格下降，总收益增加还是减少？变化百分百将是多少？解 （1）利润函数 ，唯一驻点。，则销售套时可获得最大利润（元）（2）由 可得。时（元）。 ，当时，。此时若提价，则收益下降。若提价，则收益下降。4. 确定函数的定义域、单调区间、凹凸区间、极值点、拐点以及渐近线，并画出该函数的草图。解 函数的定义域为。，驻点。单调增加区间为，单调减少区间为。是极大值。xy。凸区间，是凹区间。无拐点。，是斜渐近线。是垂直渐近线2012年一、1. 求极限 解 原极限2. 求极限 解 原极限因 原极限3. 已知，求微分解法一 此时 解法二 。4. 在曲线上找出所有这样的点：曲线在该点处的切线与直线平行。解 此时在点处切线的斜率为 ，解得。因此切线上的点为和。5. 设，求极限。解 因 ， 故 。二、6. ，求。解 则 。7. 设 ，当取何值时在点可导？说明理由，并求。解 因可导必连续，应有，由导数的定义8. 设是由方程所确定的函数，求和。解 等式两端对求导可得 ，则。9. 求不定积分。解 原积分。原积分。10. 求不定积分原积分11. 设 的原函数是，利用这个已知条件求不定积分。解 原积分三、12（8分） 证明：当且时，。证 原不等式等价于 。该函数的定义域是，因恒有 ，则时，。于是单调增加。又，则当时，单调减少；当时，单调增加。因此是函数的最小值，因此当且时。13（8分）设不恒为常数的函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且。证明：存在使得。证 由于函数不恒为常数，则存在一点使得，不妨设，于是。由拉格朗日中值定理可知，使得。又，再由拉格朗日中值定理可知，使得。14（8分）已知某商品的销售价为时市场对该商品的需求量为.（1）在时，若价格上涨，需求量增加还是减少，将变化百分之几？总收入增加还是减少？将变化百分之几？（2）为何值时总收入最大？最大总收入是多少？（要求应用导数求解）解 （1）需求价格弹性。因此 。价格上涨时，需求量减少 。收益为，则，。若提价则收益减少。收益弹性 ，当时，收益弹性为，收益改变，即下降。（2）令，则有唯一的驻点。 则最大收益为。15（10分）确定函数的定义域、单调区间、凹凸区间、极值点、拐点以及渐近线，并画出该函数的草图。解 函数定义域是。，驻点。在上，函数单调减少；在是，函数单调减少，上，函数单调增加。是极小值。，。在上，是凹区间；在上，是凸区间；在上是凹区间；拐点。，是垂直渐近线。无其它渐近线。xy12013年（缺少14题经济应用题）一、1. 求极限解 原极限2. 求极限 解 原极限3. 求极限解法1 原极限解法2 原极限原极限。4.已知，求极限。解 令，则原极限 。二、5. 已知，求。解 令，则。于是，则 。6. 设 ，求。解 ，于是 。7. 设，其中在点连续。已知在处可导，求的值。解 考虑左右导数。由，则，当可导时，左右导数相等，则。8. 设是由方程所确定的隐函数，求解 方程两端对求导数 ，。，。9. 求不定积分 解 原积分。10. 求不定积分解 原积分11. 求不定积分。解 原积分。三、12.（8分） 证明 当时，。证 令，则，只需证明它是在区间上的最小值。，。于是是严格单调增加。又因，则是唯一的零点，于是是唯一的极小值点。因此是函数的最小值。13. （8分）设在闭区间上有连续的导函数，在开区间内二阶可导，且。令，证明：至少存在一点使得。证 ，则在上连续，在可导。又 ，则由罗尔定理可知，存在，使得。又因，再由罗